2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（试题及答案解析）一、选择题：（本题共12小题，每小题 5分，共 60分）1．已知集合 A ( x, y) x 2 y 2 1 ， B( x, y) y x ，则 AB 中元素的个数为（）A ． 3B ． 2C ． 1D ． 0【答案】 B221 上所有点的集合， B 表示直线 yx 上所有点的集合，【解析】 A 表示圆 x y 故 A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即 A B 元素的个数为2，故选 B.2．设复数 z 满足 (1 i) z 2i ，则 z （）1 B ．2 C ． 2D ． 2A ．22【答案】 C2i 2i 1 i 2i 2 122 ，故选 C.【解析】由题， z1 i 1 ii 1 ，则 z 121 i23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月份D ．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳【答案】 A【解析】由题图可知， 2014年8月到 9月的月接待游客量在减少，则 A 选项错误，故选 A.4． ( x y)(2 x y)5 的展开式中 x 3 y 3 的系数为（）A ．B ．C ． 40D ． 80【答案】 C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含x 3 y3的项为x 22 x 23y 33240x 333 3C 5y C 5 2xyy，则 x y 的系数为 40，故选 C.225x ，且与椭圆5．已知双曲线C ：x2y 2 1（ a 0 ， b 0 ）的一条渐近线方程为 yx 2 y 2ab21 有公共焦点．则 C 的方程为（）123A ． x 2 y 2 1B ． x 2 y 21C ． x 2 y 21D ． x 2 y 218104 55443【答案】 B【解析】 ∵双曲线的一条渐近线方程为y5 x ，则 b5 ① 又∵ 椭圆x 2y 22 a21 与双曲线有公共焦点，易知 c 3 ，则 a 2b 2 c29 ②123x2y2由①② 解得 a 2,b5 ，则双曲线 C 的方程为1，故选 B.456．设函数 f ( x)πcos(x) ，则下列结论错误的是（）38πA ． f (x) 的一个周期为2πB ． y f ( x) 的图像关于直线 x对称3C ． f ( xπ π ) 的一个零点为 xD ． f (x) 在 ( , π) 单调递减【答案】 D 62【解析】函数 fx cos xπ的图象可由 y cosx 向左平移π个单位得到，3 3 如图可知， f x在 π, π 上先递减后递增， D 选项错误，故选 D.2y- Ox67．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于 91，则输入的正整数N的最小值为（） A ． 5 B ．4 C ．3 D ． 2【答案】 D【解析】程序运行过程如下表所示：SM t 初始状态 0 100 1 第1次循环结束 100 10 2 第2次循环结束 90 1 3此时 S 90 91 首次满足条件，程序需在 t 3 时跳出循环，即 N2 为满足条件的最小值，故选 D.8．已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．πB ．3π ππ4C ．D ．【答案】 B２41 2【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径23 ， r122则圆柱体体积 Vπ 23πrh，故选 B.49．等差数列 a n 的首项为 1，公差不为 0．若 a 2 ， a 3 ， a 6 成等比数列，则a n前 6项的和为（）A ． 24B ． 3C ． 3D ． 8【答案】 A【解析】 ∵ a n为等差数列，且 a 2 , a 3 , a 6 成等比数列，设公差为 d .则 a 32 a 2 a 6 ，即 a 12d 2a 1 d a 15d又∵ a 1 1 ，代入上式可得 d 2 2d 0又∵ d 0 ，则 d 2∴ S 66a 1 6 5 d 1 6 6 5 224 ，故选 A.2 222xya b 0A 1A 2A 1 A 210．已知椭圆 C : a 2 b 21（ ）的左、右顶点分别为， ，且以线段 为直径的圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为（）A ．6B ．3C ．21 33D ．３3【答案】 A【解析】 ∵ 以 A 1 A 2 为直径为圆与直线 bx ay2ab 0 相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴ d2aba22又∵ a0,b0 ，则上式可化简为 a 2 3b 2 ∵ b 2 a 2c 2，可得 a 23 a2c2，即 c22a 23∴ ec 6，故选Aa311．已知函数 f ( x) x 2 2xa(e x 1e x 1 ) 有唯一零点，则a（）1 1 1A ． ２B ． 3C ． 2D ． 1【答案】 C【解析】由条件，f ( x) 22xx 1e x 1x a(e) ，得：f (2x) (2 x) 2 2(2x) a(e 2 x 1e (2 x ) 1 )x 2 4 x 4 42x a(e 1 x e x 1 )22 x x 1e x 1x a(e ) ∴ f (2x) f (x) ，即 x 1 为 f (x) 的对称轴，由题意， f (x) 有唯一零点，∴ f ( x) 的零点只能为 x 1 ，即 f (1) 12 2 1 a(e 1 1e 1 1) 0 ，解得 a 1．212．在矩形 ABCD 中， AB 1， AD2 ，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若APABAD ，则的最大值为（）yA ． 3B ． 2 2P gC ． 5D ． 2BC【答案】 A【解析】由题意，画出右图．设 BD 与 C 切于点 E ，连接 CE ．E以 A 为原点， AD 为 x 轴正半轴，xA(O)DAB 为y轴正半轴建立直角坐标系，则 C 点坐标为 (2,1) ． ∵|CD| 1，|BC | 2．22．∴BD 1 25 ∵ BD 切 C 于点 E ．∴CE ⊥BD ．∴ CE 是 Rt △ BCD 中斜边 BD 上的高 ．1 |BC| |CD|2 S △ BCD 22 2 2|EC ||BD | 5 5|BD |5即 C 的半径为 25 ．5∵P 在 C 上．∴ P 点的轨迹方程为 ( x 2)2( y 1)245 ．设 P 点坐标(x 0, y 0)，可以设出 P 点坐标满足的参数方程如下：2x 0 2 5 cos 2y 0 15 sin而 AP (x 0 , y 0 ) ， AB (0,1) ， AD (2,0) ．∵ AP AB AD (0,1) (2,0) (2 , )∴115，y 01 2 5 sin ．x 05cos52两式相加得：1 2 5sin15cos552( 2 5 )2 ( 5 )2 sin( )5 5 2 sin( ) ≤ 3(其中 sin5， cos2 5 )55当且仅当π2 k π， kZ 时，取得最大值 3．2二、填空题：（本题共4小题，每小题 5分，共 20分）x y ≥ 0,13．若 x ， y 满足约束条件xy 2 ≤ 0, 则 z 3x 4 y 的最小值为 ________．y ≥ 0,【答案】 1【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为 z 3 x 4 y ，则直线 3 zz 值越小．yx 纵截距越大， 由图可知： z 在 A 1,1 4 4处取最小值，故 z min 3 1 4 1 1 ．x y 2 0yA(1,1)B x(2,0)x y 014．设等比数列 a n满足 a 1 a 21 ， a 1 a 33 ，则 a4 ________．【答案】 8【解析】a n 为等比数列，设公比为 q ．a 1 a 2 1a 1 a 1 q 1 ① a 1 a 33 ，即 a 1 a 1 q 2 3 ② ， 显然 q 1， a 1 0 ，②得 1 q3 ，即 q2 ，代入 ① 式可得 a 1 1 ，①a 4 a 1q 3 138 ．2f (x)x 1,x ≤ 0, f ( x1115．设函数 2x , x 0,则满足 f (x))的 x 的取值范围是 ________．2【答案】1 ,4【解析】fxx 1,x ≤ 0， f x f x1 1 1 1 f x2 x , x 02，即 f x2由图象变换可画出yf x1 与 y1 fx的图象如下：2yyf (x 1)2( 1,1)4 4x1 122y 1 f (x)由图可知，满足 f x1 1 1 f x 的解为,.2416． a ， b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边①当直线 AB 与 a 成②当直线 AB 与 a 成AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论： 60 角时， AB 与 b 成 30 角；60 角时， AB 与 b 成 60 角；③直线 AB 与 a 所成角的最小值为45 ； ④直线 AB 与 a 所成角的最大值为60 ．其中正确的是 ________（填写所有正确结论的编号）【答案】 ②③【解析】由题意知， a 、 b 、AC 三条直线两两相互垂直，画出图 形如图 ．不妨设图中所示正方体边长为 1，故|AC| 1， AB2，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心， 1为半径的圆 ．以 C 为坐标原点，以 CD 为 x 轴正方向， CB 为 y 轴正方向，CA 为 z 轴正方向建立空间直角坐标系．则 D(1,0,0) ， A(0,0,1) ，直线 a 的方向单位向量 a(0,1,0) ， | a | 1 ．B 点起始坐标为 (0,1,0) ，直线 b 的方向单位向量 b (1,0,0) ， | b | 1 ．设 B 点在运动过程中的坐标B (cos ,sin,0) ， 其中 为 BC 与CD 的夹角， [0,2 π) ． 那么 AB '在运动过程中的向量 AB ( cos, sin ,1) ， | AB | 2 ．设 AB 与 a 所成夹角为[0, π] ，2则cos 故设AB( cos , sin ,1) (0,1,0)2| sin| [0,2] ．a AB22π π[ ,] ，所以③正确，④错误．4 2与 b 所成夹角为π[0, ]，2AB bcosb AB(cos,sin,1) (1,0,0) .b AB2| cos |2当AB与 a 夹角为60π时，即3，sin2cos 2 cos 2 12 ．∵ cos2sin 2322 1，∴ | cos| 2 ．2∴ cos2| cos| 1 ．22π∵[0, ]． 2π∴=，此时AB与b夹角为60．3∴② 正确，①错误．三、解答题：（共70分．第 17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22， 23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．17．（ 12分）ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A 3 cos A 0 ，a 2 7 ，b 2．（ 1）求 c；（ 2）设D为 BC 边上一点，且AD AC ，求△ ABD 的面积．【解析】（1）由 sin A 3 cos A0 得2sin A π0 ，3即 A πkπk Z ，又A0, π，3∴ A ππ，得A2π33.1由余弦定理222.又∵a 27, b 2,cosAa b c 2 bc cos A代入并整理22得 c25 ，故c 4 .1（2）∵ AC2, BC27, AB 4 ，2 2 22 7 .由余弦定理 cosCab c2ab 7∵ AC AD ，即 △ACD 为直角三角形，则 ACCD cosC ，得 CD 7 .由勾股定理 AD CD 223 .AC 又 A2π DAB2π π π，则32 ，36 S △ ABD1AD AB sinπ3 .2618．（ 12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4元，售价每瓶 6元，未售出的酸奶降价处理， 以每瓶 2元的价格当天全部处理完． 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间 20 ，25 ，需求量为 300瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10 ，1515 ，2020 ，25 25 ，3030 ，3535 ，40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（ 1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X （单位：瓶）的分布列； （ 2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量 n （单位：瓶）为多少时， Y 的数学期望达到最大值？【解析】 ⑴易知需求量 x 可取 200,300,500P X 2 16 1200 3 530 P X 36 2300 3 530 P X 25 7 4 2500 3 .30 5则分布列为：X 200 300 500P122555⑵① 当 n ≤ 200 时： Y n 6 4 2n ，此时 Y max 400 ，当 n 200 时取到 .②当 2004 2n 1 2 n 200 2 n ≤ 300 时： Y 2005 58 800 2n 6n 800n5 55此时 Y max 520 ，当 n 300 时取到 .③当 300n ≤ 500 时，Y1200 2n200223002n 30022n 25553200 2n5此时 Y 520.④当 n ≥ 500 时，易知 Y 一定小于 ③ 的情况 .综上所述：当 n 300 时， Y 取到最大值为 520 .19．（12分）如图，四面体 ABCD 中，△ABC 形．?ABD ?CBD ，AB= BD．（1）证明：平面 ACD ^ 平面 ABC ；（2）过 AC 的平面交BD于点E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D- AE- C的余弦值．是正三角形，△ACD 是直角三角DECB【解析】⑴取 AC 中点为 O ，连接 BO ， DO ；A DABC 为等边三角形∴ BO AC E∴ AB BC CAB BCOBD BD ABDCBD .B ABDDBC∴ AD CD ,即ACD 为等腰直角三角形，ADC A为直角又 O 为底边 AC 中点∴DO AC令 AB a ，则 AB AC BC BD a易得：OD 2， OB3 a a22222∴ OD OB BD由勾股定理的逆定理可得DOB2即OD OBOD ACOD OB z AC OBO OD平面 ABC D AC平面 ABCOB平面 ABC又∵OD 平面ADC平面 ADC C E由面面垂直的判定定理可得平面 ABC ⑵由题意可知V D ACE V B ACE即B , D 到平面ACE的距离相等即E为 BD中点以 O 为原点， OA 为x轴正方向，OB 为y轴正方向， OD 为 z 轴正方向，设 AC a ，建立空间直角坐标系，则O 0,0,0 ， Aa a3,0,0 ， D 0,0,，B 0,a,0222OB yAx3 a，E 0, a,44a3a a a a易得： AE,a,， AD,0, ， OA,0,0244222设平面 AED的法向量为 n1，平面 AEC 的法向量为n2，AE n 1 03,1, 3则n 1 ，解得 n 1 ADAE n 2 0 0,1, 3OA n 2，解得 n 2若二面角 D AE C 为，易知为锐角，则 cosn 1 n 27n 1 n 272lC于 A ，B 两点，圆 M 是以2012分）已知抛物线 C : y = 2x2 0）的直线 交 ．（，过点（ ， 线段 AB 为直径的圆．（ 1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（ 2）设圆 M 过点 P （ 4， - 2 ），求直线 l 与圆 M 的方程．【解析】 ⑴显然，当直线斜率为 0 时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设 l : x my 2 ， A( x 1 , y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ， 联立：y 22 x得 y 22my 40 ，x my24 m216 恒大于 0 ， y 1 y 22m ， y 1 y 24 ．uuruuurOA OBx 1 x 2 y 1 y 2(my 1 2)( my 2 2)(m 2 1)y 1 y 2 2m( y 1 y 2 ) 4 uur uuur 4( m 2 1) 2 m(2 m) 4∴ OA OB ，即O 在圆 M 上．uuur uur⑵若圆 M 过点 P ，则 AP BP(x 1 4)( x 2 4) ( y 1 2)( y 2 2) 0(my 1 2)( my 2 2) ( y 1 2)( y 2 2) 0(m 2 1)y 1 y 2 (2 m 2)( y 1y 2 ) 8 02m 10 解得 m 1或 1化简得 2m21①当 m时， l : 2xy4 0 圆心为 Q(x 0 , y 0 ) ，2y 0y 1y 2 1， x 01y 0 29 ，22249 22半径 r|OQ |142则圆 M : ( x 9 )2 ( y 1 )2 854 2 16②当 m 1 时， l : x y 2 0 圆心为 Q(x 0 , y 0 ) ，y 0 y 1 y 2 1 ， x 0 y 0 2 3 ， 2半径 r|OQ |32 12则圆 M : ( x 3)2 ( y 1)21021．（ 12分）已知函数 f (x)x 1 a ln x ．（ 1）若 f (x) ≥ 0 ，求 a 的值；（ 2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n ， (1 + 1 1 1m ，求 m 的最)(1 + 2 ) 鬃?(1 n ) <2 2 2小值．【解析】 ⑴ f (x) x 1 a ln x ， x 0则 f ( x)1 a xa，且 f (1) 0当 a ≤ 0 x x上单调增， 所以 0x 1时， f x 0 ， f x 在 0 ， 时， f x0 ，不满足题意；当 a 0 时，当 0 x a 时， f (x) 0 ，则 f (x) 在 (0, a) 上单调递减；当 x a 时， f ( x) 0 ，则 f (x) 在 (a,) 上单调递增．①若 a 1 ， f (x) 在 (a,1) 上单调递增 ∴ 当 x (a,1) 时 f ( x) f (1) 0 矛盾 ②若 a 1 ， f (x) 在 (1,a) 上单调递减 ∴ 当 x (1,a) 时 f ( x)f (1) 0 矛盾③若 a1 ， f ( x) 在 (0,1) 上单调递减， 在 (1,) 上单调递增 ∴ f (x) ≥ f (1)0 满足题意综上所述 a 1 ．⑵ 当 a 1 时 f ( x) x 1 ln x ≥ 0 即 ln x ≤ x 1则有 ln( x 1) ≤ x 当且仅当 x0 时等号成立∴ ln(11 1 ， kN *k)k22一方面： ln(11 ) ln(11 ... ln(11 1 1 ...1 1 ，2 2 )n )22n 1n 122222即 (111 1e ．)(122 )...(12 n)2另一方面： (11 11 (1 1 1 )(1 1 1352)(1 2 )...(1 2 n ) )(1 2 2 3 ) 642 2 2 2 当 n ≥3 时， (1 1 1 1 (2,e))(1 2 2 )...(12 n )2 ∵ m *(1 1 1 1 m ，N ， )(1 2 )...(1 2 n )2 2∴ m 的最小值为 3 ．22． [选修 4-4：坐标系与参数方程 ] （ 10分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l的参数方程为x t ,（ t 为参数），直线l的参数方程ykt,xm,为m（ m 为参数），设 l 与 l 的交点为 P ，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C ．y,k（ 1）写出 C 的普通方程：（ 2）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 设 l : cos( nis ) ，M 为 l 与 C 的交点，求 M 的极径．【解析】 ⑴将参数方程转化为一般方程l 1 : y k x 2⋯⋯ ① l 2 : y1 x2 ⋯⋯ ②k① ② 消 k 可得： x 2y 24即 P 的轨迹方程为 x 2 y 2 4 ； ⑵将参数方程转化为一般方程l 3 : x y 2 0⋯⋯ ③联立曲线 C 和 l 3x y2x2y24x3 22解得2y2x cos5 由sin 解得y即 M 的极半径是 5 ．23． [选修 4-5：不等式选讲 ]（10分）已知函数 f ( x) | x | | x | ．（ 1）求不等式 f ( x) 的解集；（ 2）若不等式 f ( x) x x m 的解集非空，求 m 的取值范围．3, x ≤ 1【解析】 ⑴ f x| x1| | x2| 可等价为 f x2x 1, 1x 2 .由 f x ≥ 1 可得：3,x ≥ 2①当 x ≤ 1 时显然不满足题意； ②当 1 x 2时， 2x 1≥1 ，解得 x ≥1 ；③当 x ≥ 2 时， f x 3 ≥ 1 恒成立 .综上， f x1的解集为 x | x ≥ 1 .⑵不等式 f x ≥ x 2x m 等价为 f xx 2x ≥ m ，令 g xf xx 2 x ，则 g x ≥ m 解集非空只需要g xmax ≥ m .x 2 x 3, x ≤ 1而 g xx 2 3 x 1, 1 x 2 .2x 3, x ≥ 2x①当 x ≤ 1 时， gxmaxg13 1 15 ；2②当 1 x 2 时， g xmaxg 333 3 1 5 ；222 4③当 x ≥ 2 时， g x maxg 22 22 3 1 .综上， g xmax5，故 m5 .44。