|| UA||2 || AV ||2 || UAV ||2 || A ||2
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定理 5 设 A C nn，则 (1) || A ||2 max | y H Ax |
|| x|||| y||1
(2) || A ||22|| A ||1|| A ||
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第三章
矩阵的分解
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§1 矩阵的三角分解
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例 1 设 x Pn, A Pnn，则
nn
|| A ||m1
| aij |
j1 i1
是与向量范数|| • ||1 相容的矩阵范数.
例 2 设 x Pn, A Pnn，则|| A ||m2 是与|| x ||2
相容的矩阵范数.
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定理 1 设 || x ||a 是P n上的向量范数, A P nn ,则
一、n 阶方阵的三角分解
1.上三角矩阵R 的逆 R1 也是上三角矩阵,且对角 元是R 对角元的倒数;
2.两个上三角矩阵 R1 、R2 的乘积 R1R2也是上三角
矩阵,且对角元是 R1与 R2对角元之积; 3.酉矩阵U 的逆 U 1也是酉矩阵;
4.两个酉矩阵之积 U1U2也是酉矩阵.
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3. D Crrn，则DH Crnr , DDH Crrr 那么 DDH (DDH )1 Er 右逆
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§5 矩阵的奇异值分解 定理 1 设 A Crmn , 则有
(1) rank( A) rank( AH A) rank( AAH ) (2) AH A、AAH的特征值均为非负实数
几何重复度
定义 3 若矩阵A的每个特征值的代数重复度
与几何重复度相等，则称矩阵A为单纯矩阵
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定理3
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Ai的性质:
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定理4
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二、正规矩阵及其分解
定义 3 若n阶复矩阵A满足 AAH AH A
则称 A为正规矩阵.
引理 1 设A为正规矩阵，A与B酉相似，则 B为正规矩阵
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引理 2 (Schur) 设A C nn，则存在酉矩阵
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(2) i R,
i ( A)
(3) Axi i xi , Ax j j x j , i j ( xi , x j ) 0
Ep
(4)
A与矩阵
0
0
0 Er p
0
0
0
合同,
其中rank
(
A)
r
0
(5)
UH
AU
1
M
L O
0 L
0 M ,其中U为酉矩阵.
n
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3. 正定Hermite矩阵的基本性质与分解
||u||a 1
||
Au
||a
)
3) 它是自相容矩阵范数(推论1).
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定理 2 设 || • ||m 是相容的矩阵范数，则存在向量 范数|| x || ，使
|| Ax |||| A ||m || x ||
P63页，相容的矩阵范数一定存在与之相容 的向量范数。
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定理 3 如果|| • ||m: C nn R 是一相容的矩 阵范数，则对任一A C nn，有
U，使得
A URU H
其中，R是一个上三角矩阵且主对角线上的
元素为A的特征值.
引理 3 设A正规矩阵且是三角矩阵，则A是 对角矩阵.
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定理 5 n 阶复矩阵A是正规矩阵的充要条件 是A与对角矩阵酉相似. 即存在n阶酉矩阵U， 使得
A Udiag(1, 2 , , n )U H 其中，1, 2, , n是A的n个特征值.
(1) 正定性 || A || 0,当且仅当A 时，|| A || 0;
(2) 齐次性 || A ||| | || A ||, P,A Pmn;
(3) 三角不等式 || A B || || A|| || B ||, A, B Pmn.
则称映射 || || 为pmn上的矩阵范数.
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例 1 设 A P mn，则
则称映射 || || 为C n上向量x的范数.
向量范数的性质：
(1) || 0 || 0； (2) x 0时，|| 1 x || 1;
|| x || 返回
(3) 对任意x Cn，有|| x |||| x ||;
(4) 对任意x, y Cn，有||| x || || y || ||| x y || .
i 1
其中，|| ai ||22 aiH ai .
n
(2) || A ||m2 2 tr( AH A) i ( AH A)
i 1
(3) 对任意的酉矩阵U、V P nn，有
|| A ||2m2 || U H AV ||2m2 || UAV H ||2m2
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推论 1 设A P nn , 对任意的酉矩阵U、V P nn， 有
C1 || x ||a || x ||b C2 || x ||a x Vn(P) 则称|| x ||a 与|| x ||b 等价. 定理 3 Vn(P)上的任意两个向量范数均等价.
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定义 3 设x(k) ( x1(k) , x2(k) , , xn(k) )T C n，如果
lim
k
xi(k )
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3.半正定矩阵的基本性质
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定理1 设 A, B C nn , A为正定矩阵, BH B, 则存在可逆矩阵T ,使得 T H AT En ,T H BT D.
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§4 矩阵的最大秩分解
定理 1 设 A Crmn , 则存在矩阵B Crmr ,
D Crrn，使得
A BD
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被称为极大行和范数.
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定义 2 设 A C nn，i是A的特征值，则 r( A) max | i | 称为A的谱半径.
i
例 6 设 A Pmn，则从属于|| x ||2 的算子 范数（又称为谱范数）为
|| A ||2 r( AH A)
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三、 谱范数的性质 定理 4 设 A C nn，则 (1) || A ||2 || AH ||2 || AT ||2 || A ||2 (2) || AH A ||2 || AH A ||2 || A ||22 (3) 对任何n阶酉矩阵U及V都有
ai
(i 1,2, , n)
则称向量序列x(k)收敛于a (a1, a2, , an ).
定义 4 lim x(k) a
k
lim || x(k) a || 0
k
定理 4 设 || || 是C n上的任一向量范数，则
lim x(k) a
k
lim || x(k) a || 0
k
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§2 矩阵的范数 定义 1 设A Pmn，若映射|| || ：Pmn R 满足
若p, q 1，且 1 1 1， pq
则对C n任意向量x ( x1, x2 ,L , xn )T , y ( y1, y2 ,L , yn )T 都有
n
n
n
| xi | | yi | ( | xi |p )1/ p ( | yi |q )1/q
i 1
i 1
i 1
例 2 设x ( x1, x2 ,L , xn ) C n，则
例如 A B 11 11
AB
2 2
2 2
|| AB ||m 2 || A ||m || B ||m 1
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例 3 || ||m1 和|| ||m2 是相容的矩阵范数.
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定理 3 设A P nn ,
(1) 若A (a1, a2 , , an ), 则
n
|| A ||2F || A ||m2 2 || ai ||22
例 1 设x (x1 , x2 ,L , xn ) C n，则
n
(1) || x ||1 | xi | i 1
n
(2) || x ||2 ( | xi |2 )1/ 2 i 1
(3)
||
x
||
max
1 i n
|
xi
|
1 范数 2 范数 无穷范数
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定理
..
1 (H o lder不等式)
||
A
||a
max
x
|| Ax ||a || x ||a
(
max
||u||a 1
||
Au
||a )
是与向量范数|| x ||a 相容的矩阵范数.
推论 1 设 || x ||a 是P n上的向量范数, A、B P nn , || A ||a 是从属于|| x ||a 的算子范数，则它是相容的 矩阵范数，即
|| AB ||a || A ||a || B ||a
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算子范数的特性：
1) 它是所有与向量范数|| x ||a 相容的矩阵范数中 最小的.
||
A
||a
max
x
|| Ax ||a || x ||a
||
A ||
2) 它的两种表达形式
||
A ||a
max
x
|| Ax ||a || x ||a
(
max
| i ||| A ||m
其中，i 是A的特征值.
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二、算子范数 的计算:
例 4 从属于向量范数|| x ||1 的算子范数为
n
|| A ||1 max ( | aij |) j i 1
被称为极大列和范数.
例 5 从属于|| x || 的算子范数为
n
|| A || max ( | aij |) i j1
矩阵的最大秩分解步骤：
一、进行行初等变化，化为行标准形：
i1
i2
ir