第二章 推理与证明第一课时 2.1.1 合情推理（一）教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 教学重点：能利用归纳进行简单的推理. 教学难点：用归纳进行推理，作出猜想. 教学过程： 一、新课引入：. 二、讲授新课： 1. 教学概念：① 概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. ②归纳推理的几个特点;1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的围.2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上 归纳推理的一般步骤：⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
归纳练习：(i )由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？(ii )由直角三角形、等腰三角形、等边三角形角和180度，能归纳出什么结论？(iii )观察等式：2221342,13593,13579164+==++==++++==，能得出怎样的结论？ ③ 讨论：(i )统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ (ii )归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段） (iii )归纳推理的结果是否正确？（不一定） 2. 教学例题：① 出示例题：已知数列{}n a 的第1项12a =，且1(1,2,)1nn na a n a +==+，试归纳出通项公式. （分析思路：试值n =1，2，3，4 → 猜想n a →如何证明：将递推公式变形，再构造新数列）3. 小结：①归纳推理的药店：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子：哥德巴赫猜想的提出；数列通项公式的归纳. 三、巩固练习：22221.:5124,7148,111120,131168,...24,,?-=-=-=-=观察所得的结果都是的倍数继续试验你能得到什么猜想1122.{},1,(*),2.nn n na a a a n N a +==∈+在数列中试猜想这个数列的通项公式123.,2(1).n n n -+对于任意正整数猜想与的大小关系教学反思：第二课时 2.1.1 合情推理（二）教学要求：结合已学过的数学实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理. 教学难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想. 教学过程： 一、复习准备：二、讲授新课： 1. 教学概念：① 概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的几个特点;1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发现的功能2. 教学例题：① 出示例1：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格）思维：直角三角形中，090C ∠=，3条边的长度,,a b c ，2条直角边,a b 和1条斜边c ； →3个面两两垂直的四面体中，090PDF PDE EDF ∠=∠=∠=，4个面的面积123,,S S S 和S 3个“直角面”123,,S S S 和1个“斜面”S . → 拓展：三角形到四面体的类比. 3. 小结：类比推理的一般步骤:1. 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征2. 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想3. 检测猜想教学反思：第三课时 2.1.2 演绎推理教学要求：结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。
.教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理. 教学难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式. 教学过程： 一、复习准备：复习:合情推理归纳推理的一般步骤：类比推理的一般步骤：二、讲授新课：观察与思考1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电.2.一切奇数都不能被2整除因为(2100+1)是奇数, 所以(2100+1)不能被2整除.3.三角函数都是周期函数, 因为tan 三角函数, 所以是tan 周期函数1. 教学概念：①概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。
要点：由一般到特殊的推理。
②讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？合情推理⎧⎨⎩归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊；演绎推理：由一般到特殊.“三段论”是演绎推理的一般模式：第一段：大前提——已知的一般原理；第二段：小前提——所研究的特殊情况；第三段：结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.②举例：举出一些用“三段论”推理的例子.2. 教学例题：练习:(0){},.n n n a cq cq a =≠1.证明通项公式为的数列是等比数列并分析证明过程中的三段论,,,,:ABC AC BC CD AB ACD BCD ∆>∠>∠2.如图在中是边上的高求证,,ABC CD AB AC BC AD BD ACD BCD∆⊥>>∠>∠证明：在中因为 所以于是指出上面证明过程中的错误。
3. 比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？（从推理形式、结论正确性等角度比较；演绎推理可以验证合情推理的结论，合情推理为演绎推理提供方向和思路.）• ①归纳是由特殊到一般的推理; ②类比是由特殊到特殊的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理.• 从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确.演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程. 教学反思：第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.D BCA教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程： 一、复习准备： 二、讲授新课： 1. 教学例题：① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立. 框图表示：要点：顺推证法；由因导果.④ 出示例3：在△ABC 中，三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.2. 练习：、1.已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b ca b c+-+-+-++> 2,A B 为锐角，且tan tan 3tan 3A B A B +=求证：60A B +=. （提示：算tan()A B +） 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P44 练习 1题）2. ABC ∆的三个角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c+=++++. 3. 作业：教材P 46 A 组 1题. 教学反思：第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？2.讨论：如何证明基本不等式(0,0)2a ba b +>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件） 二、讲授新课： 1. 教学例题：22()()0,:.828a b a b a b a b a b-+->><<例2.已知求证222224.,(),sin cos 2sin ,(1)2sin cos sin ,(2)1tan 1tan :.1tan 2(1tan )k k Z παβπθθαθθβαβαβ≠+∈+=⋅=--=++已知且求证③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+. 先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例4：见教材P 48. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） ⑤ 出示例5：见教材P 49. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求） 2. 练习：>+1.求证21,,,2,(),22a b c S ab S a b c S a ==++<2.设为一个三角形的三边且试证222tan sin ,tan sin ,()16a b a b ab αααα+=-=-=3.已知求证3. 小结：分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意） 三、巩固练习：1. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S是三角形的面积，求证：2224c a b ab --+≥.略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 4sin ab C ab C -+≥，即证：2cos 23sin C C -≥，即：3sin cos 2C C +≤，即证：sin()16C π+≤（成立）.2. 作业：教材P 46练习 2、3题. 教学反思：第三课时 2.2.2 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程： 一、复习准备：A 、B 、C 三个人，A 说B 撒谎，B 说C 撒谎，C 说A 、B 都撒谎。