2012年合肥一中自主招生数学试题详解一、选择题 1.C 解不等式组可得2≤x ＜m,∵x 有2个整数解，∴x 为2和3；∴3＜m ≤4；固选C 。
2．B∵圆锥底面半径为2㎝，∴圆锥底面周长为4π㎝，即扇形弧长为4π㎝。
∵圆锥母线长为3㎝，即扇形半径为3㎝，根据扇形弧长公式C=1800r n π可得：4π=18030πn ，n=2400。
∴扇形半径为3㎝；圆心角为2400。
题目中提供的矩形中，第一个矩形即：6㎝×4㎝的矩形面积最小，但它不能画出要求的扇形。
为什么呢？我们先看第二个矩形，之后你就会明白第一个为什么不行了。
如图为第二个矩形，AD=DC=3㎝,DB=1.5㎝，∴∠BCD=300, ∠BDC=600,扇形的圆心角为2400，刚好符合要求。
因此第一个矩形就不行。
固选B 。
3.C 如上图可知。
4.A如图：过M 、N 点分别作Y 轴和X 轴的垂线，交Y 轴、X 轴于B 、C 点。
、 设M 点坐标为（a,b ）,则N 点坐标为（-b,a ）。
把两点坐标代入y=43x+3 解方程组可得：a=2512,b=2584。
tan ∠AON=a:b=71。
固选A 。
二、填空题。
5.（0，1）；（-2，1）当x=0时，无论k 为何值，y 都等于1；当x=-2时，无论k 为何值，y 都等于1。
6.（9，-22） 如图，由图观察可知：以数字1为图形中心，边长为2的正方形右下角的数字是9，即（2+1）2=9，这点的坐标为（1，-1）即： （2÷2，-2÷2）；边长为4的正方形右下角的数字是25，即（4+1）2=25，这点的坐标为（2，-2）即：（4÷2，-4÷2）；那么边长为44的正方形右下角(第2题图)（第6题图）的数字为（44+1）2=2025，这点的坐标为（44÷2，-44÷2），即（22，-22）。
2012在2025的左边第13个，所以2012的对应的点的坐标为（9，-22）。
7.23 过D 点作DE ⊥x 轴于E ，延长BC,交y 轴于F ，设S △ODE =m ,则S △OCF =m, S △OAB =9m= S △OBF,∵S △OBF =S △OCF + S △OBC ,∴9m=m+6,m=43,即21xy=43,xy=23,即k=23。
8.34 如图，延长MN 、BC 交于F,不难证明△MND ≌△FNC, ∴MN=NF,MD=CF 。
∵∠NMB=∠MBC, ∴MF=BF 。
设AM=a,则MD=CF=4-a,BF=8-a,MF=8-a,MN=21(8-a)。
在△MDN 中，MD 2+DN 2=MN 2, (4-a)2+22=41(8-a)2a 1=4(舍去)；a 2=349.15如图，∵AC=10, ∴EC=5; ∵∠ACB=900, ∠ABC=300; ∴AB=20; ∵P 为A ’B’中点，∴CP=10; ∴P 点在以C 为圆心，以AC 为半径的圆上，当P 点转到P ’点时，EP 最长，即EP=15。
10.如上图。
设图①中每个小正方形的面积为5s ，则图②中每个小正方形的面积为4s 。
正方形ABCD 的面积为40s ，那么正方形EFGH 的面积也是40s ，而图②中每个小正方形的面积为4s 。
则正方形EFGH 在图②中应由40s ÷4s=10个小正方形组成。
如果把小正方形的边长看为1，则正方形EFGH 的面积为10，边长则为10，上图即所求。
(第8题图)（第9题图）(第10题②图)BCB11. 解：（1）设PB=x,PD=BD-PB=16-x ∵PF ⊥AD∴在Rt △PFD 中，DF=DP ·cos ∠ADB=54(16-x)① 当⊙P 与⊙D 外切时：情况一：当P 点在点O 的左侧时，PO=OB-BP=8-x ，这时PO+DF=PD∴(8-x)+54(16-x)= 16-x, 解得，x=6情况二：当P 点在O 点的右侧时，PO=PB-OB=x-8,此时PO+DF=PD,(x-8)+54(16-x)= 16-x,解得，x=328②当⊙P 与⊙D 内切时： 情况三：PO=PB-OB=x-8 ∵PD ＞PF∴PO-DF=PD(两圆的圆心距等于两圆的半径之差)（x-8）-54(16-x)=16-x ，解得，x=792情况四：当P 点在D 点的右侧时，PD=PB-BD =x-16, PO=PB-OB=(x-8),DF=DP ·cos ∠ADB=54(x-16) PO-DF=PD(两圆的圆心距等于两圆的半径之差) (x-8)-54(x-16)=x-16,解得，x=26（2）578如图：当P 点在BD 间移动时，PE+PF=FG=AHAH 固定不变，所以当P 移到O 点时， PE+PF+PC 最小。
在△BOC 中， sin ∠BCO=BC BO =AC AH =54,∴AH=548PE+PF+PC= AH+OC=548+6=578。
当P 点在D 右边移动时，PE+PF ＞AH ，PC ＞OC PE+PF+PC ＞AH+OC 。
((B综上所述，∴PE+PF+PC 最小值为578。
12.菱形ABCD 的高为153 ，分五种情况： ①如图，当0＜t ≤20时，即P 在AB 上，Q 在AD 上。
AP=t,AQ=1.5t,QE=433t 。
s=21AP ·QE=21·t ·433t=833t 2。
② 如图，当20＜t ≤30时，即P 在AB 上，Q 在CD 上。
AP=t, ,QE=153。
s=21AP ·QE=21·t ·153=2315t 。
③如图，当30＜t ≤40时，即P 在BC 上，Q 在CD 上。
PC=60-t,PF=23(60-t),CQ=60-1.5t,DQ=1.5t-30,BP=t-30。
S △ABP =21BP ·QE=21(t-30)·153S △PCQ =21DQ ·QE=21(1.5t-30)·153 S △ADQ =21CQ ·PF=21(60-1.5t)·23(60-t)， S ABCD =AB ·QE=30×153=4503 S=S ABCD-S △ABP-S △PCQ-S △ADQ=4503-21(t-30)·153-21(1.5t-30)·153-21(60-1.5t)·23(60-t)= -833t 2+4375t 。
④如图，当40＜t ＜48时，即P 、Q 均在BC 上，且P 在Q 左侧。
PQ=120-(1+1.5)t=120-2.5t,s=21·PQ ·153=21·(120-2.5t)·153=-4375t+9003。
⑤如图，当48＜t ≤60时，即即P 、Q 均在BC 上，且P 在Q 右侧。
PQ=(1+1.5)t-120=2.5t-120,(第12题图①)B(第12题图②)B (第12题图③)B (第12题图④)Bs=21·PQ ·153=21·(2.5t-120)·153=4375t-9003。
（2）①当0＜t ≤20时，即P 在AB 上，Q 在AD 上。
∠PAQ=1200,AP ≠AQ,∴△APQ 不可能为等腰三角形。
② 如图，当20＜t ≤30时，即P 在AB 上，Q 在CD 上。
∵AD=30,∴DF=15。
DQ=1.5t-30,QF=45-1.5t=AE 。
AQ 2=2.25t 2-135t+2700。
∵AP=t, ∴PE=t-1.5t+45=45-0.5t, AP 2=t 2。
PE 2=0.25t 2-45t+2025 PQ 2=0.25t 2-45t+2700。
当AP 2=AQ 2时，t 2=2.25t 2-135t+2700。
t=54+621, 54+621＞30(舍去)，∴t=54-621当AP 2= PQ 2时，t 2=0.25t 2-45t+2700。
t=18+669（均不符合取值范围，舍去）当AQ 2=PQ 2时，2.25t 2-135t+2700=0.25t 2-45t+2700。
t 1=0,t 2=45（均不符合取值范围，舍去） ③如图，当30＜t ≤40时，即P 在BC 上，Q 在CD 上。
QG=1.5t-45,AQ 2=2.25t 2-135t+2700。
CQ=60-1.5t,PC=60-t,CF=21PC=30-0.5t,FQ=CQ+CF=90-2t 。
FQ 2=4t 2-360t+8100。
PF 2=PC 2-CF 2=0.75t 2-90t+2700。
PQ 2=PF 2+FQ 2=4.75t 2-450t+10800。
BE=15,BP=t-30，PE=45-t ，AP 2=AE 2+PE 2, AP 2=t 2-90t+2700。
当AQ 2=AP 2时，2.25t 2-135t+2700=t 2-90t+2700。
t 1=36，t 2=0（舍去）当AQ 2=PQ 2时，2.25t 2-135t+2700=4.75t 2-450t+10800。
t 1=36,(已有)t 2=90（舍去）当AP 2=PQ 2时，t 2-90t+2700=4.75t 2-450t+10800。
无解。
④如图，当40＜t ＜45时，即P 、Q 均在BC 上，且P 在Q 左侧。
PQ=120-t-1.5t=120-2.5t ，PQ 2=6.25t 2-600t+14400, PB=t-30，PE=45-t, PE 2=t 2-90t+2025,AP 2=t 2-90t+2700, EQ=75-1.5t,EQ 2=2.25t 2-225t+5625,AQ 2=2.25t 2-225t+6300, 当AP 2=AQ 2时，t 2-90t+2700=2.25t 2-225t+6300, t 1=48，t 2=60, （均不符合取值范围，舍去）。
当AP 2=PQ 2时，t 2-90t+2700=6.25t 2-600t+14400，t 1=60，t 2=7260, （均不符合取值范围，舍去）。
⑤如图，t=45时，AP ⊥BC,AP=153,PQ ＜PC,PC=15, AP ≠PQ,△APQ 不可能是等腰三角形。
⑥如图，当45＜t ＜48时，∠APQ 为钝角，AP ＞153,,PQ ＜EC,EC=15, AP ≠PQ,△APQ 不可能是等腰三角形。
(第12题图⑤)B(第12题图③)(第12题图④)(第12题图(2)②)B (第12题图(2)⑤)B⑦当t=48时，P 、Q 在BC 上重合，APQ 不能形成三角形。