2021届一轮复习人教A 版 单调性与最大（小）值 教案一、教学目标设置1.通过学生画出两个特殊的一次函数、二次函数的图像能直观地判断函数的变化趋势，并 能用文字语言描述函数的变化趋势。

2.通过老师几何画板动画演示和学生的类比探究让学生体会并理解“任意……都……”的含义。

3.通过例题1和定义辨析进一步让学生理解单调性的定义.4.在两个特殊函数探究中归纳抽象出单调性的定义，从而培养学生“数学抽象”这一素养。

5.在类比增函数的探究方法探究减函数定义过程中，让学生体会“类比方法”。

6.通过生活实例引入，让学生感受数学来源于生活高于生活，体会数学的应用价值。

7.通过活动设计，问题串联，让学生经历过程探究、经历从直观到抽象、从特殊到一般、类 比研究的过程，形成理性数学思维，体会事物互相联系互相影响的辩证主义唯物观。

二、学生学情分析（1）学生已有的认知基础学生通过初中阶段对一次函数、二次函数、反比例函数的学习，以及高中阶段对函数概念的学习和函数表示方法的学习，已经明确了研究函数的一些基本思路和基本方法。

初中阶段学生也接触过“单调性”它是用描述性的语言即“y 随x 的增大而增大（或减小）”来描述变量之间的依赖关系，而一次函数、二次函数、反比例函数都可以很好地呈现这一规律，这位我们抽象函数单调性的定义提供了认知基础。

此外通过学生小学初中阶段的学习，学生具备了一定的数学素养：如抽象概括、类比推理、数据处理等，为新知学习提供了一定的保障。

（2）达成教学目标所需要认知基础本节课目标的达成需要学生有一定的“数学抽象”能力和“有限”与“无限”的观点，需要 学生有一定的“数形结合”的思想。

（3）“已有基础”与“需要基础”之间的差异学生对两个具体数据的比较应该是清楚的，但要将具体的数据比较转化为“任意”两个数据大小的比较存在一定认知差异；学生用文字语言描述“y 随x 的增大而增大（或减小）也是没有问题的，但要将“文字语言”的描述抽象为为“符号语言”的描述还存在一定差异。

（4）教学难点及突破策略难点1：如何用符号语言刻画“y 随x 的增大而增大（或减小）”。

突破策略：通过回顾2)(x x f =图像直观感受“y 随x 的增大而增大（或减小）”；再通过“列 表法”由形入数在表中任选两对数据比较其大小第一次发现“y 随x 的增大而增大（或减小）”在解析式上的体现：如当21<时，有)2()1(f f <；再通过几何画板动画演示在x 轴上任取两个数及图像上对应的函数值12(),()f x f x ，比较其函数值的大小，引导学生体会数字表示与字母表示的区别；从而实现对“y 随x 的增大而增大（或减小）”的符号化描述。

难点2：如何理解“任意……都……” 突破策略：1. 结合学生熟悉的问题举例说明“任意……都……”的含义：如：“我班任意一位同学都是好人”，帮助学生理解其含义。

2. 在增函数定义探究中老师通过几何画板动画演示在x 轴上任取两个数及图像上对应的函数值12(),()f x f x ，比较其函数值的大小让学生观察、体会“任意……都……”的含义。

在学生类比探究减函数的定义过程中让学生自己动手用几何画板操作再次体会“任意……都……”的含义。

3. 通过概念辨析中设计的三个思考问题，帮助学生理解“任意……都……”的含义。

思考1：若定义在某区间D 上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数在区间上D 上一定是增函数吗？ 通过思考1让学生举出反例体会特殊数据的比较不能代表所有数据的比较，体会“任意”的含义。

思考2：函数在区间(1,3) 和[3,5]都是增函数，则函数在区间 (1,5]上一定也是增函数吗？ 通过思考2设计的问题让学生再次体会“任意……都……”的含义，结合分段函数的反例让学生一方面体会“任意……都……”的含义另一方面体会正因为单调性强调“任意……都……”从而导致了单调性是函数的局部性质这一特征。

思考3：反比例函数xx f 1)(=在整个定义域上是减函数吗？ 通过思考3的设计让学生结合思考2和自己比较熟悉的反比例函数对比再次体会“任意……都……”的含义 三、教学策略分析（1）教学材料分析首先从学生身边实例（最高气温随时间变化曲线图）出发，让学生通过自身对温度变化的体验和数据统计曲线图直观感受两个变量之间的变化关系。

再从学生非常熟悉的一次函数、二次函数入手通过图像语言、文字语言描述函数变化趋势；提出问题：如何用符号语言描述函数变化趋势？而在后续的“分析问题—解决问题”的过程中，以学生熟悉的二次函数2)(x x f =为载体探究其内在规律，通过几何画板动画演示如何任取两点比较自变量和函数值的大小，实现学生对“任意……都……”的理解，实现由“形”到“数”的过度。

通过三个思考的辨析加强学生对定义的理解和认识，通过例题1和学生练习让学生理解定义掌握定义，也体现了数学的应用价值。

（2）教学方法分析本节课活动设计较多，所以采用“导学案”的形式让学生开展探究式学习，同时通过幻灯片 及动画展示、学生活动展示等手段采用观察发现、启发引导、合作探究的教学方式开展教学。

（3）设计“问题串”引导学生数学思维活动分析 以学生对函数已有的认知基础为主线展开问题设计。

通过11个关键问题串联引导学生开展探究。

同时在定义辨析、示范证明过程中通过对细节的一些追问加深学生的问题的认识和理解。

（4）缩小认知差距分析通过3个探究活动、三个定义辨析、1个例题、1个练习和学生小结交流，让学生充分参与活 动体验，在老师问题设计下实施探究，体会知识的生成过程，逐步缩小认知差距。

（5）学习反馈分析通过类比探究反馈学生对“任意……都……”的理解是否清晰，通过例题1反馈学生对单调性定义的理解，通过三个思考问题的辨析反馈学生对概念的理解是否深刻，通过小结反馈学生对本节课涉及的数学知识、方法、思想的认识。

四、教学流程（一）问题1：你能结合天气预报给我的好朋友一些建议吗？生：抽1学生回答、其他学生补充。

问题2：如果把时间设为x，最高气温设为y，y是x的函数吗？生：一起回答。

问题3：若果y是x的函数，那么函数图像反应了哪些变化规律？生：抽1学生回答、其他学生补充。

师：那么如何研究函数这种变化趋势呢？这就是今天我们要学习的函数的单调性。

（二）问题4：画图基本步骤是：1. ，2. ，3.生：一起回顾画图基本步骤后、再学案上画图研究。

师：巡视课堂根据学生完成情况随机抽取一个学生上台展示其研究成果。

（三）师：问题5：函数的表示方法有？生：图像法、列表法、解析法。

师：问题6：我们已经用图像法研究过了函数的变化趋势，那我们可否再从列表法、解析法的角度去研究函数的变化趋势呢？探究方向1：列表探究在下表中任取一些自变量的值，比较它们的函数值大小，你能发现什么结论？xf(x),0(+∞内的所有的数都比较完吗？问题7：列表法能把),0(+∞内的所有的数都比较完呢？问题8：如何才能把)师：停顿30秒让学生思考、引导学生发现要在函数上任取两个点作比较，然后用几何画板演示为怎么任取两个点，为什么任取两,0(+∞内的所有的数都比较完。

个点就可以把)探究方向2：解析法（利用解析式研究）：师：几何画板演示探究过程.问题9：你能用符号语言描述2)(x x f =在),0(+∞y 随x 的增大而增大这一规律了吗？学生总结如何用符号语言描述y 随x 的增大而增大：问题10：对任一函数而言，如果满足：在定义域I 的某个区间D 上任意取的两个数21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，能说明函数是上升的吗？ 抽象增函数的定义：问题11：我们应该如何类比探究呢？ 生：只需要在函数图像上任取两个点比较它们自变量和函数值的大小即可。

师：下面请大家通过几何画板上在函数图像上任取两个点比较它们自变量和函数值的大小它们有何关系？ 探究完成后老师引导学生完成下列问题：1.学生用符号语言描述y 随x 的增大而减小：2.学生类比增函数定义得出减函数的定义： 师：学生叙述减函数的定义时，老师在PPT 上同步播放定义。

辨析1：若定义在区间[-2,3]的函数f(x)满足f(-2）<f(3),则函数在该（五）例1 下图是定义在[-5,5]上的函数y=f(x），根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？师生共答。

（六）第九届全国高中青年数学教师观摩与评比活动优秀课《函数单调性与最值》授课教师：贵阳市第三实验中学秦孟彬点评教师：贵阳市第十中学葛磊本节课教师有效采用了探究式教学，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试、体验活动，有效达成了本节课的教学目标，教学环节处理恰当，亮点纷呈。

一、情境引入，注重学生核心素养的培育。

秦老师通过贵阳市2018年国庆期间的天气情况的实际问题作为引入，引导学生将实际问题抽象成数学问题，接着去掉实际背景，从函数的角度来描述时间和气温的变化规律，让学生直观认识到函数的增减性，这是完成数学建模的一个过程，反映教师重视学生数学建模及数学抽象等数学核心素养的培育。

二、新知探究，符合新课程重视过程与方法的理念。

本节“概念教学课”，教师把重点放在概念的形成和探究上，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“函数单调性”为基本探究内容，符合新课程标准重视过程与方法的理念，克服了传统教学只注重结论的倾向。

三、概念形成，重视观察实验与学生体验。

概念的探究与形成，是本节课的重点和难点，教师让学生画出函数(),=2f x xf=的图象，又让学x)(x生直观感受函数图象“上升（下降）”的趋势，引导学生用文字语言描述“y 随x 的增大而增大（或减小）”。

然后教师选择大家都熟悉的二次函数2)(x x f =图象为切入点，让学生体验了“观察—实验—归纳—猜想—类比”的数学思想方法，形成了“函数单调性”这一概念，这是本节课的亮点。

四、目标达成，反映教师教学基本功扎实。

教学过程中，教师充分利用现代教育技术手段：如手机拍照等展示，使得教学过程更为流畅，在知识的形成、发展过程中展开思维和反馈，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。

《函数单调性与最值第一课时》学案（一）创设情境、引入新课问题1：你能结合天气预报给我的好朋友一些建议吗？问题2：如果把时间设为x ，最高气温设为y ，y 是x 的函数吗？ 问题3：若果y 是x 的函数，那么函数图像反应了哪些变化规律？（二）由形入数、提出问题探究1：画出下列函数x x f =)(，2)(x x f =图像，并描述函数有何变化趋势。

问题4：画图基本步骤：1. ，2. ，3.f(x)=x 的变化趋势 f(x)=x 2的变化趋势1. 图像从左至右 。