{1 ， 2，3} ；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如
{ 有理数 } ， { x x 0} 分
别表示有理数集和正实数集。
定义 2 子集：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，则 A 叫做 B 的
子集，记为 A B ，例如 N Z 。规定空集是任何集合的子集，如果 A 是 B 的子集， B 也是 A 的子集，
y x 上的点组成的点集； 集合 x y x 中的元素是 x ，这个集合表示函数 y x 中自变量 x 的取值范围；
集合 y y x 中的元素是 y ，这个集合表示函数 y x 中函数值 y 的取值范围；
集合 y x 中的元素只有一个（方程 y x ），它是用列举法表示的单元素集合．
（ 4）常见题型方法：当集合中有 二、基础例题（必会）
n 个元素时，有 2n 个子集，有 2n-1 个真子集，有 2n-2 个非空真子集。
例 1 已知 A y y x2 4x 3， x R ， B y y x2 2 x 2，x R ，求 A I B ．
正解 ： ∵ y
2
x
4x 3
(x
2
2)
1≥
1，
y x2 2x 2 (x 1)2 3≤ 3 ，
∴A y y≥ 1 ， B y y≤3 ，
则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元素不属于 A，则 A 叫 B 的真子集。
便于理解： A B 包含两个意思：① A 与 B 相等 、② A 是 B 的真子集
定义 3 交集， A B { x x A且 x B}.
定义 4 并集， A B { x x A或 x B}.
定义 5 补集，若 A I ,则 C1 A { x x I , 且x A} 称为 A 在 I 中的补集。 定义 6 集合 { x a x b, x R, a b} 记作开区间 (a, b) ，集合
若 A I B ，求实数 m的取值范围． 解析：由不等式 ax2 4 x 1≥ 2 x2 a 恒成立，
可得
(a 2) x2 4x ( a 1) ≥ 0 ，
（※）
（ 1）当 a 2 0 ，即 a
2 时，（※）式可化为 x≥ 3 ，显然不符合题意． 4
（ 2）当 a 2 0 时，欲使（※）式对任意
x 均成立，必需满足
）．
k3 k3
（ A）充分条件 （ C）充要条件
（ B）必要条件 （ D）既不充分又不必要条件
解析：方程 x2
y2
1 表示双曲线
k3k3
(k 3)( k 3) 0 k 3 或 k 3 ．故选（ A）．
二、集合与函数
5. 已知集合 P { y y x2 2， x R}，Q { x y x 2，x R} ，那么 P I Q 等于（
∴ A I B y 1≤ y ≤ 3 ．
解析：这道题要注意研究的元素（看竖线前的元素），均是 y ，所以要求出两个集合中 y 的
范围再求交集， A 中的 y 范围是求表达式的值域、因此 此题是表示两个函数值域的集合． 例 2 若 A 2，4， a3 2a2 a 7 ，
B 1，a 1，a2 2a 2， 1 (a2 3a 8)，a3 a2 3a 7 ，且 A I B 2
）．
（ A）（ 0， 2），（ 1， 1） （ C）｛ 1， 2｝
（B）｛（ 0， 2），（ 1， 1）｝
（ D） { y y ≤ 2}
解析：由代表元素可知两集合均为数集，又
P 集合是函数 y x2 2 中的 y 的取值范围，故 P 集合
的实质是函数 y x2 2 的值域．而 Q集合则为函数 y x 2 的定义域， 从而易知 P I Q { y y ≤ 2} ，
A, y∈ B，且 f(x)=y（即 x 对应 B 中的 y），则 y 叫做 x 的象， x 叫 y 的原象。集合 { f(x)|x∈ A} 叫函数的值域。
通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的-1 的
定义域为 { x|x≥ 0,x∈ R}.
定义 3 反函数， 若函数 f: A→ B（通常记作 y=f(x)）是一一映射， 则它的逆映射 f-1: A→ B 叫原函数的反函数， 通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是： 在解析式 y=f(x) 中反解 x 得 x=f-1(y)，然后将 x, y 互换得 y=f -1( x)，
高考数学复习宝典
目录 一、 2011 年高考数学全部知识点整理 + 经典例题详细解析
高中数学必修一、高中数学必修二、高中数学必修三、高中数学必修四、
高中数学必修五、
高中数学必修一
第一章、集合
一、基础知识（理解去记）
定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合
∴ p : 2 ≤ x ≤ 2． 3
∵ q : ( x 1)(x 2) 0 ，即 x 1或 x 2 ，
∴ q : 1≤ x≤ 2 ．
由集合关系知： p
q ，而 q ? p ．
∴ p 是 q 的充分条件，但不是必要条件．故选（Ａ）．
4. 若 k R ，则“ k 3 ”是“方程 x2
y2 1 表示双曲线”的（
综上，所求 m的取值范围是 ( ， 1] ．
第二章、函数
一、基础知识（理解去记）
定义 1 映射，对于任意两个集合 A，B，依对应法则 f，若对 A 中的任意一个元素 x，在 B 中都有唯一一 个元素与之对应，则称 f: A→ B 为一个映射。 定义 2 函数，映射 f: A→B 中，若 A， B 都是非空数集，则这个映射为函数。 A 称为它的定义域，若 x∈
最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数
y= 1 的反函数是 y=1- 1 (x 0).
1x
x
补充知识点：
定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。
定理 2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。
x2 mx y 2 0，
由
，得
x y 1 0(0 ≤ x ≤ 2)，
x2 ( m 1)x 1 0(0 ≤ x ≤ 2) ，
①
∵ AI B ，
∴方程①在区间［ 0， 2］上至少有一个实数解．
首先，由
(m 1)2 4 ≥ 0 ，得 m≥ 3 或 m≤ 1 ．
当 m≥3 时，由 x1 x2 (m 1) 0 及 x1 x2 1 知，方程①只有负根，不符合要求； 当 m≤ 1时，由 x1 x2 (m 1) 0 及 x1x2 1 0 知，方程①有两个互为倒数的正根，故必有一 根在区间 (0，1] 内，从而方程①至少有一个根在区间［ 0， 2］内．
中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素
x 在集合 A 中，称 x 属于 A，记为 x A ，否则称 x 不
属于 A，记作 x A 。
例如，通常用 N，Z， Q， B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何
元素的集合称为空集，用
来表示。集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如
（ 3）无序性 集合中的元素的次序无先后之分．如：由
都表示同一个集合．
1，2，3 组成一个集合，也可以写成 1，3，2 组成一个集合，它们
帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题
（ 1）注意 a 与 a 的区别． a 是集合 a 的一个元素，而
a 是含有一个元素 a 的集合，二者的关系是
a a． （ 2）注意 与 0 的区别． 是不含任何元素的集合，而 0 是含有元素 0 的集合．
则由 A I B ，可得两种情况：
①A
，则由
( p 2) 2 4 0 ，得 4 p 0 ；
②方程 x2 ( p 2) x 1 0 无正实根，因为 x1x2 1 0 ，
≥ 0，
则有
于是 p≥ 0 ．
( p 2) 0，
综上，实数 p 的取值范围为 { p p 4} ．
四、集合与不等式 7. 已知集合 A { a ax2 4x 1≥ 2 x2 a恒成立 }， B { x x2 (2 m 1)x m(m 1) 0} ，
a 2 0， ≤ 0，
a 2，
即
42 4(a 2)(a 1)≤ 0，
解得 A { a a ≥ 2} ．
集合 B是不等式 x2 (2m 1)x m( m 1) 0 的解集，
可求得 B { x m x m 1} ，
结合数轴，只要 m 1 2 即可，解得
五、集合与解析几何
m 1．
例 6 已知集合 A {( x， y) x2 mx y 2 0} 和 B {( x， y) x y 1 0，0 ≤ x ≤ 2} ，
{ x a x b, x R, a b} 记作闭区间 [a, b] ，R 记作 ( , ).
定义 7 空集 ?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
补充知识点 对集合中元素三大性质的理解
（ 1）确定性
集合中的元素，必须是确定的．对于集合
A 和元素 a ，要么 a A ，要么 a A ，二者必居其一．比
当 a 2 时， A 2，4，5 ， B 1，3，2，5，25 ，此时 A I B 2，5 满足题意，故 a 2 为所求．
解析：此题紧紧抓住集合的三大性质：①确定性
②互异性 ③无序性
三、趋近高考（必懂） 1.（ 2010 年江苏高考 1） 设集合 A={-1,1,3} ，B={ a+2,a 2+4},A ∩ B={3}，则实数 a=______________
选（ D）． 评注： 认识一个集合， 首先要看其代表元素，