3.2《导数的概念与几何意义》学案
1.理解导数的概念,能利用导数的定义求函数的导数.
2.理解函数在某点处的导数的几何意义是该函数图像在该点的切线的斜率,并利用其几何意义解决有关的问题.
3.掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法.
4.在学习过程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的数学思想方法.
如图,当点P n(x n,f(x n))(n=1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近点P(x0,f(x0))时,割线PP n的变化趋势是什么?
问题1:根据创设的情境,割线PP n的变化趋势是.
问题2:导数的概念与求法:
我们将函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为f(x)在x=x0处的导数,即有f'(x0)==,所以求导数的步骤为:
(1)求函数的增量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)算比值:=;
(3)求极限:y'=.
问题3:函数y=f(x)在x=x0处的导数,就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率
k=f'(x0)=.相应的切线方程
是:.
问题4:曲线上每一点处的切线斜率反映了什么?直线与曲线有且只有一个公共点时,直线是曲线的切线吗?
它反映的是函数的情况,体现的是数形结合,以曲代直的思想.
不一定是,有些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反,有些切线与曲线的交
点.
1.下列说法正确的是().
A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点
B.过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点
C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线
D.若y=f(x)在点(x0,f (x0))处有切线,则f'(x0)不一定存在
2.如果曲线y=f (x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么().
A.f'(x0)>0
B.f'(x0)<0
C.f'(x0)=0
D.f'(x0)不存在
3.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为.
4.函数y=3x+2上有一点(x0,y0),求该点处的导数f'(x0).
导数概念的理解
已知f'(x0)=2,求.
求切线方程
已知曲线y=上两点P(2,-1),Q(-1,).
(1)求曲线在点P,Q处的切线的斜率;
(2)求曲线在P,Q处的切线方程.
导数几何意义的综合应用
抛物线y=x2在点P处的切线与直线4x-y+2=0平行,求P点的坐标及切线方程.
已知f(x)=x3-8x,则=;=;=.
过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时割线的斜率,并求曲线在点P处的切线的斜率.
已知曲线C:y=x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程;
(2)上述切线与曲线C是否还有其他公共点?
1.已知函数y=f(x)的图像如图,则f'(x A)与f'(x B)的大小关系是().
A.f'(x A)>f'(x B)
B.f'(x A)<f'(x B)
C.f'(x A)=f'(x B)
D.不能确定
2.已知y=,则y'的值是().
A.B.
C.2
D.
3.已知y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则=.
4.求y=x2在点A(1,1)处的切线方程.
已知函数y=f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0,则f(1)+2f'(1)的值是().
A.B.1 C.D.2
考题变式(我来改编):
第2课时导数的概念与几何意义
知识体系梳理
问题1:点P n趋近于点P时,割线PP n趋近于确定的位置PT,PT为曲线的切线问题3:=y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
问题4:瞬时变化不止一个
基础学习交流
1.D当切线平行于y轴时,切线斜率不存在,则f'(x0)不存在.
2.B由x+2y-3=0知斜率k=-,∴f'(x0)=-<0.
3.(1,0)或(-1,-4)
f'(x)=
==3x2+1,由于曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1,所以f(x)在P0处的导数值等于4,设P0(x0,y0),有f'(x0)=3+1=4,解得x0=±1,这时P0点的坐标为(1,0)或(-1,-4).
4.解:f'(x0)=
==3.
重点难点探究
探究一:【解析】由已知得:=2,
当h→0,2h→0,-4h→0,
==2.
上面的解答遵循导数的定义吗?
没有,在导数的定义形式中,增量Δx的形式多种多样,但是无论增量Δx选择哪种形式,Δy 必须保持相应的形式.即:f'(x0)===(其中a为非零常数).
于是,正确解答为:
=-4=-4=-4f'(x0)=-8.
【小结】对极限的理解和计算,也是对导数概念的准确理解.通过此题可以看出学生是否掌握了导数的概念.
探究二:【解析】将P(2,-1)代入y=,得t=1,
∴y=.
∴
=
==.
(1)曲线在点P处的切线斜率为y'|x=2==1,曲线在点Q处的切线斜率为y'|x=-1=.
(2)曲线在点P处的切线方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0,曲线在点Q处的切线方程为y-=,即x-4y+3=0.
【小结】1.因为“在某点处”和“过某点的”切线方程求法不同,所以解答这类问题需判断点是否在曲线上.
2.求曲线y=f(x)在点(x0, f(x0))处的切线方程.
(1)函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)即为切线的斜率.
(2)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
(3)若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的导数f'(x0)不存在,则切线与x轴垂直;若f'(x0)>0,则切线与x轴正向夹角为锐角;若f'(x0)<0,则切线与x轴正向夹角为钝角;若f'(x0)=0,则切线与y轴垂直.
探究三:【解析】设P点坐标为(x0,y0),
y'====(2x+Δx)=2x.
∴y'=2x 0,又由切线与直线4x-y+2=0平行,
∴2x0=4,∴x0=2.
∵P(2,y0)在抛物线y=x2上,∴y0=4,
∴点P的坐标为(2,4),
∴切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
【小结】1.解决本题应用了方程的思想,这其实是已知切点求切线方程的逆应用过程.
2.根据斜率求切点坐标的方法步骤为:
(1)先设切点坐标(x0,y0);
(2)求导函数f'(x);
(3)求切线的斜率f'(x0);
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;
(5)点(x0,y0)在曲线f(x)上,将(x0,y0)代入求y0,得切点坐标.
思维拓展应用
应用一:44-2f'(x)==
=
=(3x2+3x·Δx+Δx2-8)
=3x2-8,
∴f'(2)=4.
=f'(2)=4.
==f'(2)=4.
=-
=-f'(2)=-2.
应用二:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-1=3Δx+3(Δx)2+(Δx)3,
==(Δx)2+3Δx+3.
当Δx=0.1时,割线PQ的斜率为
k1==(0.1)2+3×0.1+3=3.31.
曲线在点P处的切线的斜率为k2==3.
应用三:(1)将x=1代入y=x3得y=1,∴切点P(1,1),
y'==
==3x2.
∴y'|x=1=3,
∴点P处的切线方程为y=3x-2.
(2)由得(x-1)(x2+x-2)=0,∴x=1或-2.
∴公共点为(1,1)或(-2,-8),
∴还有其他公共点(-2,-8).
基础智能检测
1.B f'(x A)与f'(x B)分别表示函数图像在点A, B处的切线斜率,故f'(x A)<f'(x B).
2.BΔy=-,
=,
=
==’
∴y'=.
3.2由题意=(aΔx+2a)=2a=2,∴a=1,又3=a×12+b,∴b=2,∴=2.
4.解:f'(1)==
===(Δx+2)=2,
印刷版
即切线的斜率k=2,
所以y=x2在点A(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
全新视角拓展
D∵点(1,f(1))在切线x-2y+1=0上,∴f(1)=1,又f'(1)=,∴f(1)+2f'(1)=1+2×=2.
高中数学。