北师版八年级数学上册
1.1.1勾股定理
同步训练卷
一、选择题（共10小题，3*10=30）
1．在△ABC中，∠A＝90°，则下列式子不成立的是( )
A．BC2＝AB2＋AC2B．AB2＝AC2＋BC2
C．AB2＝BC2－AC2D．AC2＝BC2－AB2
2．已知一个直角三角形三边长的平方和为800，则斜边长为()
A．10 B．20 C．30 D．40
3．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE＝BE，AD＝2，CE＝5，则CD等于()
A．2 B．3 C．4 D．4.5
5．如果直角三角形两直角边长分别为4，5，那么以斜边为边长的正方形的面积为( )
A．41 B．1 C．9 D．以上答案都不对
6. 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少要飞行( )
A．8米B．10米C．12米D．14米
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( ) A．5 B．6 C．8 D．10
8．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( ) A．48 B．60 C．76 D．80
9．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B′处，点A的对应点为点A′，且B′C＝3，则CN的长是( )
A．1 B．4 C．9 D．16
10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为()
A．9B．6 C．4D．3
二．填空题（共8小题，3*8=24）
11．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则勾与股的和是____．
12. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.当∠C＝90°，b＝4 m，c＝5 m时，a＝_______．13．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为________．
14．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形
的两直角边长分别为a，b，那么(a－b)2的值是________．
15．如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，已知其中两个正方形的面积，则正方形A 的面积是____，B 的面积是________．
16．斜边长为17 cm ，一条直角边长为15 cm 的直角三角形的面积为______________．
17．在“寻找滨河最美，拒绝不文明行为”系列活动中，细心的董明同学发现：学校有一块长方形花圃，如图，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了____步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．
18．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，最大正方形的边长为2 cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积和是____ cm 2.
三．解答题（共7小题， 46分）
19．(6分) 如图，在△ABD 中，∠D ＝90°，点C 是BD 上一点，已知CB ＝9，AB ＝17，AC ＝10，求AD 的长．
20．(6分)如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，AC ＝4，BC ＝3，BD ＝95
，求：CD 、(2)AB 的长．
21．(6分) “中华人民共和国道路交通管理条例”规定小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街道上直向行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A正前方30 m 的B处，过了2 s后，测得小汽车到达点C处与车速检测仪A间距离为50 m，这辆小汽车超速了吗？(参考数据：1 m/s＝3.6 km/h)
22．(6分)如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD＝13，BC⊥AB，对角线AC⊥CD，求四边形ABCD的面积．
23．(6分) 1876年，美国总统伽菲尔德(James Abram Garfield)利用如图验证了勾股定理．你能利用它验证勾股定理吗？
24．(8分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝20 m，BC＝15 m，CD＝7 m，求四边形ABCD的面积．
25．(8分) 如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.
(1)求DB的长；
(2)在△ABC中，求BC边上的高的长．
参考答案
1-5BBBCA 6-10BCCBD
11. 17
12. 3m
13. 3
14. 1
15. 20,256
16. 60 cm 2
17. 4
18. 4
19. 解：设CD 长为x.在Rt △ACD 中，AD 2＝102－x 2.
在Rt △ABD 中，AD 2＝172－(x ＋9)2.
∴102－x 2＝172－(x ＋9)2，
解得x ＝6，
∴所以AD 2＝64，AD ＝8
20. 解：在Rt △BCD 中，CD 2＝BC 2－BD 2＝32－⎝⎛⎭⎫952
＝14425，
所以CD ＝125
. 在Rt △ACD 中，AD 2＝AC 2－CD 2＝42－⎝⎛⎭⎫1252＝25625，
所以AD ＝165
. 所以AB ＝AD ＋BD ＝165＋95
＝5. 21. 解：由题意得AB ＝30 m ，AC ＝50 m ．
由勾股定理得BC 2＝AC 2－AB 2＝502－302＝402.于是BC ＝40 m ． 此时小汽车的速度为40÷2＝20(m/s)．
∵20 m/s ＝72 km/h ＞70 km/h ，
∴这辆小汽车超速了
22. 解：在Rt △ABC 中，∵AC 2＝AB 2＋BC 2＝32＋42＝25，
∴AC ＝5，
在Rt △ACD 中，∵CD 2＝AD 2－AC 2＝132－52＝144，
∴CD ＝12，
∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12AB·BC ＋12AC·CD ＝12×3×4＋12
×5×12＝36 23. 证明：因为梯形的面积可以表示为12(a ＋b)(a ＋b)，也可以表示为12ab ＋12c 2＋12
ab ， 所以12(a ＋b)(a ＋b)＝12ab ＋12c 2＋12
ab. 整理，得12a 2＋ab ＋12b 2＝ab ＋12
c 2. 即a 2＋b 2＝c 2.
24. 解：如图，连接AC.
因为∠B ＝∠D ＝90°，所以△ABC 与△ACD 都是直角三角形．
在Rt △ABC 中，根据勾股定理，
得AC2＝AB2＋BC2＝202＋152＝625，则AC ＝25 m.
在Rt △ACD 中，根据勾股定理，
得AD2＝AC2－CD2＝252－72＝576，则AD ＝24 m.
故S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12AB·BC ＋12AD·CD
＝12×20×15＋12×24×7＝234(m2)．
25. 解：(1)因为DB ⊥BC ，BC ＝4，CD ＝5，
所以在Rt △BCD 中，根据勾股定理得DB ＝3.
(2)如图，延长BD 至E ，使DE ＝DB ，连接AE.
因为D 是AC 边的中点，所以AD ＝CD.
在△EDA 和△BDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDB ，DE ＝DB ，
所以△EDA ≌△BDC(SAS)．所以∠DAE ＝∠DCB.所以AE ∥BC.
因为DB ⊥BC ，所以△ABC 中BC 边上的高的长等于BE 的长． 易知BE ＝2BD ＝6，所以在△ABC 中，BC 边上的高的长为6.。