中南大学信息科学与工程学院数字信号处理实验报告学生学院信息科学与工程学院专业班级通信工程1201学号学生姓名____指导教师李宏2014年6月2日实验一 常见离散时间信号的产生和频谱分析1）实验指导：一.实验目的（1） 熟悉MATLAB 应用环境，常用窗口的功能和使用方法；（2） 加深对常用离散时间信号的理解；（3） 掌握简单的绘图命令；（4） 掌握序列傅里叶变换的计算机实现方法，利用序列的傅里叶变换对离散信号进行频域分析。

二.实验原理（1） 常用离散时间信号a ）单位抽样序列⎩⎨⎧=01)(n δ 00≠=n n 如果)(n δ在时间轴上延迟了k 个单位，得到)(k n -δ即：⎩⎨⎧=-01)(k n δ0≠=n k n b ）单位阶跃序列⎩⎨⎧=01)(n u 00<≥n n c ）矩形序列 ⎩⎨⎧=01)(n R N 其他10-≤≤N n d ）正弦序列)sin()(ϕ+=wn A n xe ）实指数序列f ）复指数序列()()n x n a u n =()()jw n x n e σ+=（2）离散傅里叶变换：设连续正弦信号()x t 为0()sin()x t A t φ=Ω+这一信号的频率为0f ，角频率为002f πΩ=，信号的周期为00012T f π==Ω。

如果对此连续周期信号()x t 进行抽样，其抽样时间间隔为T ，抽样后信号以()x n 表示，则有0()()sin()t nT x n x t A nT φ===Ω+，如果令w 为数字频率，满足000012s sf w T f f π=Ω=Ω=，其中s f 是抽样重复频率，简称抽样频率。

为了在数字计算机上观察分析各种序列的频域特性，通常对)(jw e X 在[]π2,0上进行M 点采样来观察分析。

对长度为N 的有限长序列x(n), 有∑-=-=10)()(N n n jw jw k k e n x e X其中 1,,1,02-==M k k Mw k ，π 通常M 应取得大一些，以便观察谱的细节变化。

取模|)(|k jw e X 可绘出幅频特性曲线。

（3）用DFT 进行普分析的三种误差三种误差：混叠现象、泄露现象、栅栏效应a) 混叠现象当采样频率小于两倍信号（这里指是信号）最大频率时，经过采样就会发生频谱混叠，这使得采样后的信号序列频谱不能真实地反映原信号的频谱。

所以在利用DFT 分析连续信号的频谱时，必须注意这一问题。

避免混叠现象的唯一方法是保证采样速率足够高，使频谱交叠现象不致出现。

也就是说，在确定采样频率之前，必须对信号的性质有所了解，一般在采样前，信号通过一个防混叠低通滤波器。

b) 泄漏现象实际中的信号序列往往很长,为了方便我们往往用截短的序列来近似它们,这样可以使用较短的DFT来对信号进行频谱分析,这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数。

泄漏是不能与混叠完全分离开的,因为泄漏导致频谱的扩散，从而造成混叠。

为了减小泄漏的影响，可以选择适当的窗函数，使频谱的扩散减到最小。

c) 栅栏效应因为DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，所以他不可能将频谱视为一个连续函数。

这样就产生了栅栏效应，就一定意义上看，DFT来观看频谱就好像通过一个尖桩的栅栏来观看一个图景一样，只能在离散点上看到真实频谱，这样就可能发生一些频谱的峰点或谷点被“尖桩的栅栏”所挡住，不能被我们观察到。

减小栅栏效应的一个方法就是借助在原序列的末端添补一些零值，从而变动DFT的点数。

这一方法实际上是人为地改变了对真实谱采样的点数和位置，相当于搬动了每一根“尖桩栅栏”的位置，从而使得频谱的峰点或者谷点暴露出来。

当然，这是每根谱线所对应的频率和原来的不同了。

综上所述，DFT可以用于信号的频谱分析，但必须注意可能产生的误差，在应用过程中要尽可能减少和消除这些误差的影响。

2）实验步骤：问题一：1.实验内容及要求：用MATLAB编程产生上述任意3种序列（长度可输入确定，对(d) (e) (f)中的参数可自行选择），并绘出其图形；2.实验程序：%单位抽样序列n=-5:5;y=[zeros(1,5),1,zeros(1,5)];stem(n,y)axis([-5,5,0,1.5]);xlabel('n');ylabel('y(k)');title('单位抽样序列')%矩形序列R4(n)n=-5:10;y=[zeros(1,5),ones(1,4),zeros(1,7)]; stem(n,y)axis([-5,5,0,1.5]);xlabel('n');ylabel('y(k)');title('矩形序列R4(n)')%正弦序列n=-6:0.5:6;y=sin(0.5*pi*n);stem(n,y)axis([-6,6,-2,2]);xlabel('k')ylabel('y(k)')title('正弦序列')3.程序运行结果：问题二：1.实验内容及要求：(a)混叠现象对连续信号01()sin(2***)x t pi f t =其中，01500f Hz =进行采样，分别取采样频率2000,1200,800s f Hz Hz Hz =，观察|)(|jw e X 的变化，并做记录(打印曲线),观察随着采样频率降低频谱混叠是否明显存在，说明原因。

（b ）截断效应 给定()cos()4x n n π=，截取一定长度的信号()()()y n x n w n =，()w n 为窗函数，长度为N ，()()N w n R n =。

做2N 点DFT 变换，分析当N 逐渐增大时，分析是否有频谱泄露现象、主瓣的宽度变化？如何减小泄露？（c ）栅栏效应给定()4()x n R n =，分别计算()jw X e 在频率区间[]0,2π上的16点、32点、64点等间隔采样，绘制()jw X e 采样的幅频特性图，分析栅栏效应，如何减小栅栏效应？2.实验程序：%混叠现象%%取采样频频率为2000Hz 时N=200;T=0.1;t=linspace(0,T,N);x=sin(2*pi*500*t);dt=t(2)-t(1);f=1/dt;X=fft(x);F=X(1:N/2+1);f=f*(0:N/2)/N;subplot(2,1,1)plot(t,x)title('x=sin(2*pi*500*t)') xlabel('t')ylabel('Amplitude')axis([0,0.1,-1,1]);subplot(2,1,2)plot(f,abs(F))xlabel('Frequency');ylabel('|X(e^{jw})|')%%取采样频频率为1200Hz 时N=120;T=0.1;t=linspace(0,T,N);x=sin(2*pi*500*t);dt=t(2)-t(1);f=1/dt;X=fft(x);F=X(1:N/2+1);f=f*(0:N/2)/N;subplot(2,1,1)plot(t,x)title('x=sin(2*pi*500*t)') xlabel('t')ylabel('Amplitude')axis([0,0.1,-1,1]);subplot(2,1,2)plot(f,abs(F))xlabel('Frequency');ylabel('|X(e^{jw})|')%%取采样频频率为800Hz时N=80;T=0.1;t=linspace(0,T,N);x=sin(2*pi*500*t);dt=t(2)-t(1);f=1/dt;X=fft(x);F=X(1:N/2+1);f=f*(0:N/2)/N;subplot(2,1,1)plot(t,x)title('x=sin(2*pi*500*t)')xlabel('t')ylabel('Amplitude')axis([0,0.1,-1,1]);subplot(2,1,2)plot(f,abs(F))xlabel('Frequency');ylabel('|X(e^{jw})|')%截断效应%% N=20的截断信号N=20;u = [ones(1,N-1) zeros(1,100-N+1)]; xn=cos(pi/4*n).*u;w0=pi/4;Xk=fft(xn,2*N);kx=[-N:1:N-1]/(2*N)*2;figuresubplot(2,1,1)stem(xn)title('N=20截断信号')xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');subplot(2,1,2)plot(kx,abs(Xk))title('频谱图')xlabel('w / pi');ylabel('|X(e^jw)|');%% N=30的截断信号n=0:1:99;N=30;u = [ones(1,N-1) zeros(1,100-N+1)]; xn=cos(pi/4*n).*u;w0=pi/4;Xk=fft(xn,2*N);kx=[-N:1:N-1]/(2*N)*2;figuresubplot(2,1,1)stem(xn)title('N=30截断信号')xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');subplot(2,1,2)plot(kx,abs(Xk))title('频谱图')xlabel('w / pi');ylabel('|X(e^jw)|');%% N=50的截断信号n=0:1:99;N=50;u = [ones(1,N-1) zeros(1,100-N+1)]; xn=cos(pi/4*n).*u;w0=pi/4;Xk=fft(xn,2*N);kx=[-N:1:N-1]/(2*N)*2;figuresubplot(2,1,1)stem(xn)title('N=50截断信号')xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');subplot(2,1,2)plot(kx,abs(Xk))title('频谱图')xlabel('w / pi');ylabel('|X(e^jw)|');%% N=100的截断信号n=0:1:99;N=100;u = [ones(1,N-1) zeros(1,100-N+1)]; xn=cos(pi/4*n).*u;w0=pi/4;Xk=fft(xn,2*N);kx=[-N:1:N-1]/(2*N)*2;figuresubplot(2,1,1)stem(xn)title('N=100截断信号')xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');subplot(2,1,2)plot(kx,abs(Xk))title('频谱图')xlabel('w / pi');ylabel('|X(e^jw)|');%栅栏效应n=0:1:10;xn=[ones(1,4),zeros(1,7)];Xk16=fft(xn,16);Xk32=fft(xn,32);Xk64=fft(xn,64);subplot(2,2,1);stem(n,xn);title('(a) x_1 (n)');xlabel('n');ylabel('x_1 (n)');k=0:15;wk=2*k/16;subplot(2,2,2);stem(wk,abs(Xk16));title('(c) 16点DFT的幅频特性图'); xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度');k=0:31;wk=2*k/32;subplot(2,2,3);stem(wk,abs(Xk32));title('(d) 32点DFT的幅频特性图'); xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度');k=0:63;wk=2*k/64;subplot(2,2,4);stem(wk,abs(Xk64));title('(d) 64点DFT的幅频特性图'); xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度');3.程序运行结果：混叠：fs=2000fs=1200fs=800实验结果分析：从图看出，随着采样频率的减小，当采样频率小于原频率的2倍时，发生混频现象。