R2 E t v0 (t ) (e e R1 R2 R1 R2 C
若:

R1 R2 t R1R2C
)
R1 R2 R1 R2 c
则特解为:
B(t ) Bte
t
将B(t)代入微分方程,并用初始条件求出待定系数：
E v 0 (t ) te R1 c
R1 R2 t R1 R2 c
s1 2，s2 4
yh (t ) K1e—2t K2e—3t
特征根为 齐次解yh(t)
2) 求非齐次方程y‘’(t)+6y‘(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t) 由输入f (t)的形式，设方程的特解为 yp(t)=Ce-t
将特解带入原 n / 2
yh (t ) e1t (K1 cos1t K1 sin 1t ) e it (Ki cosit Ki sin it )
• 常用激励信号对应的特解形式
输入信号 K Kt 特解 A
K e-at ( 特征根 s a) K e-at ( 特征根 s= a)
3) 求方程的全解
y (t ) yh (t ) y p (t ) Ae 1 y ( 0) A B 1 3 1 y ' ( 0 ) 2 A 4 B 2 3
2t
Be
4t
1 t e 3
解得 A=5/2，B= 11/6
5 2t 11 4t 1 t y (t ) e e e , t 0 2 6 3
K sin 0 t 或 K cos 0 t K e-at sin 0 t 或 K e-at cos 0 t
A +B t A e-at At e-at
A sin 0 t+ B cos 0 t A e-at sin 0 t+ B e-at cos 0 t
例1 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
t
dv0 (t ) R1 R2 1 v0 (t ) e(t ) dt R1 R2 c R1c
e(t)
R2
V0(t)
Ae
R1 R2 t R1R2C
因激励信号为 则：
P46.表2—2若
R2 E B R1 R2 R1 R2 c
B(t ) Bet
R1 R2 t E t Be Be e R1 R2 c R1c
t
R1 R2 R1 R2 c
v(0 ) v(0 )


v0 (t ) Ae
R1 R2 t R1R2C
R2 E t e R1 R2 R1 R2 c
R2 E v0 (0) 0 A R1 R2 R1 R2C R2 E A R1 R2 R1 R2C
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y’(0)=2, 输入信号f(t)=et u(t)，求系统的完全响应y(t)。
解：
(1)求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t) 特征方程为
s 2 6s 8 0
齐次解yh(t)的形式
(1) 特征根是不等实根s1, s2, , sn
yh (t ) K1es1t K2es2t Knesnt
(2) 特征根是等实根s1=s2==sn
yh (t ) K1es t K2tes t Knt n1es t
(3) 特征根是成对共轭复根
例2 :电路如图所示，激励信 号 e(t ) Ee u (t ),求输出信号v0 (t ).
R1
R2
t
e(t )
C
v0 (t )
解:
v0 (t ) dv0 (t ) e(t ) c R1 v0 (t ) dt R2
R1
c
e(t ) Ee u(t )
R1 R2 1 0齐次解: R1 R2 c