2019年高三第一次模拟考试理科数学本试卷共4页，150分。

考试时间长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知全集，集合2{|1},{|4}M x x N x x =≤=>，则 A. B. C. D. 【答案】B ,所以，所以(){21}MC N =x x -≤≤R ，选B.2.已知为等差数列，为其前项和.若，则 A. B. C. D. 【答案】D由得，解得，所以，选D.3.执行如图所示的程序框图．若输出， 则框图中① 处可以填入C.D.【答案】B第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第一四次循环，，此时满足条件，输出，所以选B.4.在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为A.B.C.D.【答案】A直线的标准方程为。

由得，即，所以，所以圆的圆心为。

所以圆心到直线的距离为，选A.5.下面四个条件中，“函数存在零点”的必要而不充分的条件是A.B.C.D.【答案】C函数存在零点,则，即。

所以“函数存在零点”的必要但不充分条件可以是，选C.6. 在△ABC中，，点满足条件，则等于A. B. C. D.【答案】A因为，所以C()C C C C3⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅=⋅AC AD A AB BD A AB A BD A BD A BC23C (C B)33A A A AC =⋅-==，选A.7.某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是A. B. C. D. 【答案】C由三视图可知该几何体是个底面是正三角形，棱垂直底的三棱锥。

其中4,4,23AD BD EC ===,取的中点，则22224(23)27AF AD DF =+=+=，所以的面积为，选C.8.设集合是的子集，如果点满足：00,,0a x M x x a ∀>∃∈<-<，称为集合的聚点.则下列集合中以为聚点的有：① ； ②； ③； ④ A.①④ B. ②③ C. ①②D. ①②④ 【答案】A①中，集合中的元素是极限为1的数列， 除了第一项0之外，其余的都至少比0大， ∴在的时候，不存在满足得0＜|x|＜a 的x ， ∴0不是集合的聚点②集合中的元素是极限为0的数列，对于任意的a ＞0，存在，使0＜|x|=，∴0是集合的聚点③对于某个a ＜1，比如a=0.5，此时对任意的x ∈Z ，都有|x ﹣0|=0或者|x ﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x ﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z 的聚点 ④故选A二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 已知复数满足，其中为虚数单位，则 . 【答案】因为，所以222(1)2211(1)(1)2i i i i i z i i i i ++====-+--+。

10.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为，且过点，则它的渐近线方程为 .【答案】由题意知，所以。

又点在双曲线上，所以2222(22)(30)(22)(30)2a ++---+-=，即，所以22413b c a =-=-=。

双曲线的渐近线方程为。

11.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施个程序，其中程序A 只能在第一或最后 一步实施，程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有 种.(用数字 作答) 【答案】若A 只能在第一或最后一步实施，此时有. 12.如图，从圆外一点引圆的切线和割线， 已知，，, 则 , 圆的半径等于 .【答案】因为2()12PA PB PA PB PB BC =⋅=⋅+=，所以.，连接AB,AC,在中，由余弦定理得2222cos307AB PB PA PA PC =+-⋅=,所以.在中，由余弦定理得2222cos3084AC PC PA PA PC =+-⋅=，即. 在中，227cos 7227ABC ==,所以。

设圆的半径为R ，则由正弦定理得,所以圆的半径为.O PB A13.某商品在最近天内的单价与时间的函数关系是22(040,)4()52(40100,)2tt t f t t t t ⎧+≤<∈⎪⎪=⎨⎪-+≤≤∈⎪⎩N N日销售量与时间的函数关系是109()(0100,)33t g t t t =-+≤≤∈N .则这种商品的日销售额的最大值为 . 【答案】解：由已知销售价22(040,)4()52(40100,)2tt t f t t t t ⎧+≤<∈⎪⎪=⎨⎪-+≤≤∈⎪⎩N N ，销售量109()(0100,)33t g t t t =-+≤≤∈N∴日销售额为，即当0≤t ＜40时，21109172398()(22)()4331243t t s t t t =+-+=-++此函数的对称轴为，又t ∈N ，最大值为1617(10)(11)808.52s s ===；当40≤t ≤100时，211091213265()(52)()233663t t s t t t =-+-+=-+，此时函数的对称轴为，最大值为． 综上，这种商品日销售额的最大值为。

14.已知函数的定义域是D ，若对于任意，当时，都有，则称函数在D 上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个 条件：①； ②； ③.则 ， .【答案】令，则，，所以，。

因为，所以根据根据非减函数的定义可知，函数在区间上的函数值都等于，所以。

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+- （Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是，，，若且， 试判断△ABC 的形状．DFCP16.（本小题满分14分）在四棱锥中，侧面⊥底面， 为直角梯形，//，， ，，为的中点．（Ⅰ）求证：P A //平面BEF ；（Ⅱ）若PC 与AB 所成角为，求的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A 的余弦值．17.（本小题满分13分）是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在微克/立方米以下空气质量为一级；在微克/立方米微克/立方米之间空气质量为二级；在微克/立方米以上空气质量为超标．某城市环保局从该市市区年全年每天的监测数据中随机的抽取天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）． （Ⅰ）从这天的日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）从这天的数据中任取三天数据，记表示抽到监测数据超标的天数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据这天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．18. (本小题满分13分)已知函数21()(1)ln 2f x ax a x x =-++ , . （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数的单调区间；（Ⅲ）当时，函数在上的最大值为，若存在，使得 成立，求实数b 的取值范围.19. (本小题满分14分)已知抛物线的焦点坐标为，过的直线交抛物线于两点，直线分别与直线：相交于两点. （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）证明△ABO 与△MNO 的面积之比为定值.20.（本小题满分13分）对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用记号表示．例如811.20.2 1.20.877=-==,,.对于实数，无穷数列满足如下条件： ，11000n n nn a a a a +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,,其中 （Ⅰ）若，求数列的通项公式；（Ⅱ）当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集合； （Ⅲ）若是有理数，设 （是整数，是正整数，,互质），对于大于的任意正整数，是否都有成立，证明你的结论．房山区高三年级第一次模拟考试参考答案数 学 （理科） xx.04一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1B 2D 3B 4A 5C 6A 7C 8A二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 10. 11. 12.13. 14.三、解答题: 本大题共6小题,共80分. 15（本小题满分13分）（Ⅰ）1cos sin 32cos 2)(2-+=x x x x f………………………………………4分 )2sin 232cos 21(2x x +=…………………6分 周期为 ……………………………………7分（Ⅱ）因为 所以因为 所以 ……………………………………8分所以 所以 ……………………………………………………9分222222cos c a b ab C a b ab ab =+-=+-= ………………………………………11分整理得 …………………………………………12分所以 三角形ABC 为等边三角形 …………………………………………13分16. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接AC 交BE 于O ，并连接EC ，FO // ,, 为中点AE//BC ，且AE=BC四边形ABCE 为平行四边形O 为AC 中点 ………………………………….………………..1分 又 F 为AD 中点// ……………………………………………...….2分,OF BEF PA BEF ⊂⊄平面平面 ……………...….3分 //平面 ………………………………………..……..…..4分（Ⅱ）解法一：PA PD E AD PE AD =∴⊥为中点,,PAD ABCD PAD ABCD AD PE PAD ⊥⋂=⊂侧面底面侧面底面平面………………………….…………………6分 易知 BCDE 为正方形建立如图空间直角坐标系，（）则()()()()()0,1,1,,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0-C t P B A E()()0,1,1,,1,1-=--=AB t PC245cos 22011cos 02==+++==><t PC ，…….………8分解得： …………………………………………………………………….9分解法二：由BCDE 为正方形可得 由ABCE 为平行四边形 可得 // 为 即…………………………………..…5分PA PD E AD PE AD =∴⊥为中点,,PAD ABCD PAD ABCD AD PE PAD ⊥⋂=⊂侧面底面侧面底面平面……………………………………………………………….…7分…………………………………………………………………….8分 …………………………………..………9分 （Ⅲ）为的中点，所以，,设是平面BEF 的法向量则 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅==⋅．0222121,0z y x y EB n 取，则，得 ……………………………………………….11分是平面ABE 的法向量 ………………………………………………….12分33cos ==< ………………………………………………….13分 由图可知二面角的平面角是钝角，所以二面角的余弦值为．………………………………………….14分 17（本小题满分13分）（Ⅰ）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天 记“从天的日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件 则 ……………………………………3分（Ⅱ）的可能值为， ……………………4分……………………………………………8分…………………………………9分24452030123191919191E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ………………………………10分（Ⅲ）天的空气质量达到一级或二级的频率为 ………………11分，所以估计一年中有天的空气质量达到一级或二级. ……………… 13分 （说明：答243天，244天不扣分）18（本小题满分13分）（Ⅰ）当时， ……………………1分………………………………………….…2分所以曲线在点处的切线方程…………………………….…3分（Ⅱ）21(1)1(1)(1)'()(1)(0)ax a x ax x f x ax a x x x x-++--=-++==>………4分① 当时，解，得，解，得所以函数的递增区间为，递减区间为在………………………5分② 时，令得或 i ）当时，………………………6分函数的递增区间为，，递减区间为……………………7分 ii ）当时，在上，在上 ………………………8分函数的递增区间为，递减区间为 ………………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上是增函数，在上是减函数， 所以， …………………………………11分 存在，使即存在，使，方法一：只需函数在[1，2]上的最大值大于等于所以有9(1)89(2)8g g ⎧≥-⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩即791288794488b b ⎧-+≥-⎪⎪⎨⎪-+≥-⎪⎩解得： ………………………………………………13分方法二：将整理得从而有所以的取值范围是. …………………………………………………13分19（本小题满分14分） （Ⅰ）由焦点坐标为 可知所以x)f’(x) + - + f(x)增减增所以抛物线的方程为…………………………………4分（Ⅱ）当直线垂直于轴时，与相似，所以 …………………………………….…6分当直线与轴不垂直时，设直线AB 方程为………………………7分设，，，，解 整理得 ，所以 …………………………………………………………….9分121sin 121224sin 2ABOMNO AO BO AOB S x x AO BO S MO NO MO NO MON ∆∆⋅⋅⋅∠∴==⋅=⋅=⋅⋅⋅∠…………………….14分 综上20（本小题满分13分）（Ⅰ），21111a a ==== ……….2分若，则1111k k a a +⎡⎤⎤===⎢⎥⎦⎣⎦所以 ……………………………………3分（Ⅱ） ， 所以 ，从而 ①当，即时，211111a a a a a ===-= 所以解得： （，舍去） ……………….4分②当 ，即 时，211112a a a a a ===-=， 所以解得 （ ，舍去） ………………5分③ 当 时，即 时，211113a a a a a===-= 解得 （ ，舍去） ………………6分综上，集合，，. ………………7分（Ⅲ）结论成立. ……………………8分 由是有理数，可知对一切正整数，为0或正有理数，可设（是非负整数，是正整数，且互质）由，可得；…………………………………9分若，设（，是非负整数）则，而由得，故，，可得………11分若则，若均不为0，则这正整数互不相同且都小于，但小于的正整数共有个，矛盾.故中至少有一个为0，即存在，使得.从而数列中以及它之后的项均为0，所以对于大于的自然数，都有……………………………………………13分R28928 7100 焀29737 7429 琩20360 4F88 侈29375 72BF 犿33755 83DB 菛35626 8B2A 謪32862 805E 聞&-•1x37858 93E2 鏢32054 7D36 紶。