y(x0 ) y0
的如下格式
yn1 ayn1 byn chf (xn , yn )
如假设 yn1 y(xn1), yn y(xn ) 问常数 a,b, c 为多少时使得该格式为
二阶格式？
2005-2006 第二学期
一．填空（3*5）
1.设近似数 x1* 1.2250, x2* 0.5168 都是四舍五入得到的，则相对误
y' f (x, y)
六．证明求解初值问题
y(x0 ) y0
的如下单步法
yn1 yn K2 K1 hf (xn , yn )
K
2
hf
( xn
1 2
h,
yn
1 2
K1 )
是二阶方法。（10 分）
七．试证明复化梯形求积公式
b a
f
( x)dx
h( 2
f
(x0 )
n1
2
i 1
f
3 1
f
( x)dx
2
f
(2)
有几次的代数精确度？
二． 取初值 x0 1.6 ，用牛顿迭代法求 3.1 的近似值，要求先论证
收敛性。当 xn1 xn 105 时停止迭代。
y a 1 bx2
三．用最小二乘法确定 x 中的常数 a 和 b，使该曲线拟合
于下面的四个点（1，1.01）（2，7.04）（3，17.67）（4，31.74）
4．给出拟合三点 A (0,1), B (1, 0) 和 C (1,1) 的直线方程。
5．推导中矩形求积公式
b f (x)dx (b a) f ( a b) 1 f '' ()(b a)3
a
2 24
6．试证明插值型求积公式
b
a
f
( x)dx
n
i0
Ai
f
( xi
)
的代数精确度至少
是 n 次。
7．已知非线性方程 x f (x) 在区间 a,b 内有一实根，试写出该实
根的牛顿迭代公式。
8．用三角分解法求解线性方程组
1 2 1 x1 0
2
2
3
x2
3
1 3 0 x3 2
二．给出下列函数值表
xi
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
f (xi )
0.38
0.47
0.56
0.64
0.71
942
943
464
422
736
要用二次插值多项式计算 f (0.63891) 的近似值，试选择合适的插 值节点进行计算，并说明所选用节点依据。（保留 5 位有效数字）（12 分）
三． 已知方程 x ln x 0 在 (0,1) 内有一实根 （ 1） 给出 求 该 实 根 的 一个 迭 代公式 ，试 之对任意的初始近似 x0 (0,1) 迭代法都收敛，并证明其收敛性。 （ 2） x0 0.5 试 用 构 造 的 迭 代 公 式 计 算 的 近 似 值 xn ， 要 求 xn xn1 103 。 四． 设有方程组
(xi )
f
(xn ))
h ba n
对任意多的积分节点数 n+1,该公式都是数值稳定的。（6 分）
2003-2004 第一学期
一．填空（3*5）
1．近似数 x* 0.231关于真值 x 0.229 有_____-位有效数字。
2． n x* 的相对误差为 x* 的相对误差的_______倍。 3．设 f (x) 可微，求 x f (x) 根的牛顿迭代公式______。
max
出解向量的近似向量，要求满足 1i3
x(k 1) i
x(k) i
106
。
六．用校正一次的欧拉预估校正格式求解初值问题
y' y2 +1
y(0) 0
的解函数在 x 0.6 处的近似值，要求写出计算格式。（步长 h 0.3,
小数点后保留 5 位有效数字）
y' f (x, y)
七．设有求解初值问题
a 1 3 x1 b1
1
a
2
x2
b2
3 2 a x3 b3
当参数 a 满足什么条件时，雅可比方法对任意的初始向量都收敛。
写出与雅求解初值问题
y'
y
2x
y
(0 x 0.2)
y(0) 1
取 h=0.1，小数点后保留 5 位。（8 分）
P(x) ，并写出误差的表达形式。
三．（1）用复化辛浦森公式计算
1 e x dx 0
为了使所得的近似值有
6
位
有效数字，问需要被积函数在多少个点上的函数值？
（ 2） 取 7 个 等 距 节 点 （ 包 括 端 点 ） 用 复 化 辛 浦 森 公 式 计 算
7 1
x2
lg
xdx
，小数点后至少保留
4
位。
差 er (x1*x2*) ______。
2.矛盾方程组
x1 x1
2.8 3.2
的最小二乘解为_______。
3.近似数 x* 0.01999 关于真值 x* 0.02000 有______位有效数字.
4.取 3 1.732 ，迭代过程 yn1 yn 0.1 3 是否稳定？
5.求积公式
四．曲线 y x3 与 y 1 x 在点（0.7，0.3）附近有一个交点 (x, y) ，试用
牛顿迭代公式计算 x 的近似值 xn ，要求 xn xn1 103
五． 用雅可比方法解方程组
1 2 2 x1 5
1 1
1
x2
1
2 2 1 x3 3
是否对任意的初始向量 x(0) 都收敛，为什么？取 x(0) (0, 0, 0)T ，求
（计算结果保留到小数点后 4 位）
四．用乘幂法求矩阵 A 的按模最大的特征值 1的第 k 次近似值
1(k) 及相应的特征向量 x1 ，要求取初值 u0
4．
插
值
型
求
积
公
式
b a
f
( x)dx
n
i0
Ai
f
( xi
)
的
代
数
精
确
度
至
少
是
______次。
5．拟合三点 A (1, 0), B (1,3) 和 C (2, 2) 的常函数是 ________。
二．已知 f (x) 有如下的数据
xi
1
2
3
f (xi )
2
4
12
f ' (xi )
3
试写出满足插值条件 P(xi ) f (xi ) 以及 P '(2) f '(2) 的插值多项式
2002-2003 第一学期
一．计算及推导（5*8） 1．已知 x* 3.141, x ，试确定 x *近似 x 的有效数字位数。 2． 有 效 数 x1* 3.105, x2* 0.001, x3* 0.100 ， 试 确 定 x1* x2* x3* 的 相 对 误差限。
3．已知 f (x) 0.5x3 0.1x 2 ，试计算差商 f 0,1, 2,3