微专题64 利用空间向量解立体几何问题一、基础知识（一）刻画直线与平面方向的向量1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定 例如：()()2,4,6,3,0,2A B ，则直线AB 的方向向量为()1,4,4AB =--2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面α垂直的直线称为平面α的法线，法线的方向向量就是平面α的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？ （1）所需条件：平面上的两条不平行的直线（2）求法：（先设再求）设平面α的法向量为(),,n x y z =，若平面上所选两条直线的方向向量分别为()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则可列出方程组：1112220x y z x y x y z x y z z ++=⎧⎨++=⎩ 解出,,x y z 的比值即可 例如：()()1,2,0,2,1,3a b ==，求,a b 所在平面的法向量解：设(),,n x y z =，则有20230x y x y z +=⎧⎨++=⎩ ，解得：2x yz y =-⎧⎨=⎩::2:1:1x y z ∴=- ()2,1,1n ∴=-（二）空间向量可解决的立体几何问题（用,a b 表示直线,a b 的方向向量，用,m n 表示平面,αβ的法向量）1、判定类（1）线面平行：a b a b ⇔∥∥ （2）线面垂直：a b a b ⊥⇔⊥ （3）面面平行：m n αβ⇔∥∥ （4）面面垂直：m n αβ⊥⇔⊥ 2、计算类：（1）两直线所成角：cos cos ,a b a b a bθ⋅==（2）线面角：cos ,sin a m a m a m θ⋅==（3）二面角：cos cos ,m n m n m nθ⋅==或cos cos ,m n m n m nθ⋅=-=-（视平面角与法向量夹角关系而定）（4）点到平面距离：设A 为平面α外一点，P 为平面α上任意一点，则A 到平面α的距离为A AP n d nα-⋅=，即AP 在法向量n 上投影的绝对值。

（三）点的存在性问题：在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧1、理念：先设再求——先设出所求点的坐标(),,x y z ，再想办法利用条件求出坐标2、解题关键：减少变量数量——(),,x y z 可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断： （1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标 （2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标 规律：维度=所用变量个数3、如何减少变量：（1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理——若,a b R λ⇒∃∈∥使得a b λ= 例：已知()()1,3,4,0,2,1A P ，那么直线AP 上的某点(),,M x y z 坐标可用一个变量表示，方法如下：()()1,3,4,1,1,3AM x y z AP =---=---——三点中取两点构成两个向量 因为M 在AP 上，所以AM AP AM AP λ⇒=∥ ——共线定理的应用（关键）11334343x x y y z z λλλλλλ-=-=-⎧⎧⎪⎪∴-=-⇒=-⎨⎨⎪⎪-=-=-⎩⎩，即()1,3,43M λλλ---——仅用一个变量λ表示 （2）平面上的点：平面向量基本定理——若,a b 不共线，则平面上任意一个向量c ，均存在,R λβ∈，使得：c a b λβ=+例：已知()()()1,3,4,0,2,1,2,4,0A P Q ，则平面APQ 上的某点(),,M x y z 坐标可用两个变量表示，方法如下：()()()1,3,4,1,1,3,2,2,1AM x y z AP PQ =---=---=-，故AM AP PQ λβ=+，即121232324343x x y y z z λβλβλβλβλβλβ-=-+=-+⎧⎧⎪⎪∴-=-+⇒=-+⎨⎨⎪⎪-=--=--⎩⎩二、典型例题例1：（2010 天津）在长方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱1,BC CC 上的点，2CF AB CE ==，1::1:2:4AB AD AA =（1）求异面直线1,EF A D 所成角的余弦值 （2）证明：AF ⊥平面1A ED （3）求二面角1A ED F --正弦值解：由长方体1111ABCD A B C D -得：1,,AA AB AD 两两垂直∴ 以1,,AA AB AD 为轴建立空间直角坐标系（1）()()()131,,0,1,2,1,0,0,4,0,2,02E F A D ⎛⎫ ⎪⎝⎭()110,,1,0,2,42EF A D ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭1113cos ,55EF A D EF A D EF A D⋅∴===-⋅3cos 5θ∴=（2）()1,2,1AF =，设平面1A ED 的法向量为(),,n x y z =()110,2,4,1,,02A D DE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭240::1:2:1102y z x y z x y -=⎧⎪∴⇒=⎨-=⎪⎩ ()1,2,1n ∴= AF n ∴∥ AF ∴⊥平面1A ED（3）设平面EDF 的法向量(),,m x y z =()11,,0,1,0,12DE DF ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()10::1:2:120x y x y z x z ⎧-=⎪∴⇒=-⎨⎪+=⎩ ()1,2,1m ∴=- ()1,2,1n =42cos ,63mn m n m n⋅∴=== sin θ∴=例2：如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =，若MN 分别为棱,PD PC 上的点，O 为AC 中点，且22AC OM ON == （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD（2）求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值 （3）求点N 到平面ACM 的距离 解：PA ⊥平面ABCD ,PA AB PA AD ∴⊥⊥矩形ABCD AB AD ∴⊥ 故,,PA AB AD 两两垂直以,,PA AB AD 为轴建立空间直角坐标系()()()()()0,0,4,2,0,0,2,4,0,0,4,0,1,2,0P B C D O 22AC OM ON ==，且,OM ON 分别为,AMC ANC 的中线 ,AN PC AM PD ∴⊥⊥设点(),,M x y z ，因为,,P M D 三点共线PM PD λ∴= 而()(),,4,0,4,4PM x y z PD =-=-()0,4,4PD λλλ∴=- 0444x y z λλ=⎧⎪∴=⎨⎪-=-⎩()0,4,44M λλ∴- 而0AM PD AM PD ⊥⇒⋅=∴ ()11644402λλλ--=⇒=()0,2,2M ∴同理，设点(),,N x y z ，因为,,P N C 三点共线PN PC μ∴= 而()(),,4,2,4,4PN x y z PC =-=-()2,4,4PD μμμμ∴=- 2444x y z μμμ=⎧⎪∴=⎨⎪-=-⎩()2,4,44N μμμ∴- 而0AN PC AN PC ⊥⇒⋅=∴ ()44+1644409μμμμ--=⇒=81620,,999N ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭（1）设平面ABM 的法向量为()1,,n x y z = ()()2,0,0,0,2,2AB AM ==()1200,1,1220x n y z =⎧∴⇒=-⎨+=⎩设平面PCD 的法向量为()2,,n x y z = ()()2,4,4,2,0,0PC DC =-=()224400,1,120x y z n x +-=⎧∴⇒=⎨=⎩ 120n n ∴⋅= 12n n ∴⊥∴ 平面ABM ⊥平面PCD（2）设平面ACM 的法向量为(),,n x y z()()2,4,0,0,2,2AC AM == ()2402,1,1220x y n y z +=⎧∴⇒=-⎨+=⎩而()2,0,0CD =-∴设直线CD 与平面ACM 所成角为θ，则sin cos ,32CD n CD n CD nθ⋅====⋅⋅（3）89N ACMAN n d n-⋅⋅===平面 例3：已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且2,1,AD AB PA ==⊥平面ABCD ，,E F 分别是线段,AB BC 的中点（1）求证：PF FD ⊥（2）在线段PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD ，若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由（3）若PB 与平面ABCD 所成的角为45，求二面角A PD F --的余弦值解：因为PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 是矩形 ∴ 以,,PA AD AB 为轴建立空间直角坐标系，设PA h =()()()()()10,0,,1,0,0,0,2,0,1,2,0,1,1,0,,0,02P h B D C F E ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭（1）()()1,1,,1,1,0PF h FD ∴=-=- 0PF FD ∴⋅=PF FD ∴⊥（2）设()0,0,G a 1,0,2EG a ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭设平面PFD 的法向量为(),,n x y z =()()1,1,,1,1,0PF h FD =-=-002x hx y zh y h x y z =⎧+-=⎧⎪∴⇒=⎨⎨-+=⎩⎪=⎩(),,2n h h ∴= EG ∥平面PFD EG n ∴⊥1202EG n h a ∴⋅=-+=解得14a h =∴ 存在点G ，为AP 的四等分点（靠近A ）（3）PA ⊥底面ABCD PB ∴在底面ABCD 的投影为BAPBA ∴∠为PB 与平面ABCD 所成的角，即45PBA ∠= PBA ∴为等腰直角三角形 1AP AB ∴==即1h =∴平面PFD 的法向量为()1,1,2n =平面APD 为yOz 平面，所以平面APD 的法向量为()0,1,0m = 设二面角A PD F --的平面角为θ，可知θ为锐角cos cos ,6m n θ∴=== 例4：四棱锥P ABCD-中，平面PAB ⊥平面ABCD ，,90,3,AD BC ABC PA PB ∠===∥1,2,3,BC AB AD O ===是AB 中点（1）求证：CD ⊥平面POC（2）求二面角C PD O --的平面角的余弦值（3）在侧棱PC 上是否存在点M ，使得BM ∥平面POD ，若存在，求出CMPC的值；若不存在，请说明理由 解：过O 在平面ABCD 作AB 的垂线交CD 于Q,PA PB O =为AB 中点PO AB ∴⊥平面PAB ⊥平面ABCD PO ∴⊥平面ABCD,PO OB PO OQ ∴⊥⊥ OQ AB ⊥∴以,,PO OB OQ为轴建立空间直角坐标系PO ==(()()()(),1,0,0,1,0,0,1,1,0,1,3,0P B A C D ∴--（1）()2,2,0CD =- 设平面POC 的法向量为(),,n x y z =()()0,0,22,1,1,0OP OC ==0000OP n x y OC n ⎧⎧⋅==⎪⎪∴⇒⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩()1,1,0n ∴=- CD n ∴∥ ∴CD ⊥平面POC（2）设平面PCD 的法向量为()1,,n x y z =()()1,1,22,2,2,0PC CD =-=-11002200PC n x y x y CD n ⎧⎧⋅=+-=⎪⎪∴⇒⎨⎨-+=⎪⋅=⎪⎩⎩ ()12,n ∴=设平面PDO 的法向量为()2,,n x y z =()()0,0,22,1,3,0OP OD ==-2200300OP n x y OD n ⎧⎧⋅==⎪⎪∴⇒⎨⎨-+=⎪⋅=⎪⎩⎩()23,1,0n ∴= 1212124cos ,5n n n n n n ⋅∴==⋅ 所以二面角C PD O --的平面角的余弦值为45（3）设(),,M x y z CM CP λ=()(1,1,,1,CM x y z CP =--=--()111,122x y M z λλλλλ⎧-=-⎪∴-=-⇒--⎨⎪=⎩ (),1BM λλ∴=-- 而平面PDO 的法向量为()23,1,0n = BM ∥平面POD 20310BM n λλ∴⋅=⇒-+-=14λ∴=14CM PC ∴= 例5：已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD120BAD ∠=，PA b =（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC（2）设AC 与BD 交于点O ，M 为OC O PM D --的正切值是:a b 的值建系思路一：由PA 与底面垂直，从而以PA 作为z 得取CD 中点T ，连结AT 则有AT AB ⊥系解：取CD 中点T ，连结AT ，可得AT CD ⊥ AB AT ∴⊥ PA ⊥平面ABCDC∴以,,PA AB AT 为轴建立空间直角坐标系可得：()()11,0,0,,,0,,,0,0,0,2222B a C a D a P b ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）设平面PBD 的法向量为(),,m x y z =()3,0,,,02PB a b BD a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭3022x b ax bz y ax z a=⎧-=⎧⎪⎪∴⇒=⎨⎨-+=⎪⎪=⎩⎩ (),3,m b a ∴= 设平面PAC 的法向量为(),,n x y z=()10,0,,,,022AP b AC a ⎛⎫== ⎪⎝⎭110022x z y ax ay z ⎧==⎧⎪⎪∴⇒=⎨⎨+=⎪⎪=⎩⎩ ()3,1,0n ∴=- 0m n ∴⋅= ∴ 平面PBD ⊥平面PAC（2）13,0,,,04488O a a M a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面OPM 的法向量为()1,,n x y z =131,,,,,04488OP a a bOM a ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭104110088x ax bz y z ax ay ⎧⎧=--+=⎪⎪⎪∴⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩ ()13,1,0n ∴=- 设平面PMD 的法向量为()2,,n x y z =137,,,,02288PD a ab MD a a ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10277088x ax bz y b axz ⎧⎧=-+-=⎪⎪⎪∴⇒=⎨⎨⎪⎪-+==⎩⎪⎩()23,7n b b ∴=设二面角O PM D--的平面角为θ，则tan θ=1cos 5θ=121cos cos ,5n n θ∴===222101005227b b b a =⇒=+224816279a b ∴== 4:3a b∴= 建系思路二：由思路一可发现尽管建系思路简单，但是所涉及的点的坐标过于复杂，而导致后面的计算繁杂。