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2019年全国卷Ⅰ文数(含答案)

2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题:本题共 12小题,每小题5分,共60分。

1 •设Z=色工,则Z =1 +2iA • 2B • ,3C .、. 2D . 12•已知集合 U = ",2,3,4,5,6,7 A = S,3,4,5?, B=f2,3,6,7?,则.A .「1&B . ;、1丁!C •〈6,7?D . :1,6,7?3•已知 a Jog 2 0∙2,b =2cλ2,c =0∙2cλ3 ,则A • a ::: b ::: CB • a :C <bC . c ::: a :::b D .b :::c ::: a4 •古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是一A ( —≈).618,2 2称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此•此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚 脐的长度之比也是' 5 -1 •若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 Cm ,头顶至脖子下端的长2度为26 cm ,则其身高可能是A • 165 CmB . 175 CmC . 185 CmD . 190 CmSin X 亠 X5 .函数f(x)= ---------------- 2在卜∏ ∏的图像大致为COS X +X12.已知椭圆C 的焦点为F 1 (_1,0), F 2(I,O),过F 2的直线与C 交于A,B 两点.若∣AF 2∣=2∣F 2B ∣, | ABl=IBF I I ,则C 的方程为2A . — y 2 =12B .丄2y=12C . X-22X D .—2y=1某学校为了解 1 000名新生的身体素质, 将这些学生编号为 1, 2,…, 方法等距抽取 100名学生进行体质测验 .右46号学生被抽到, 则下面 4 A . 8号学生B . 200号学生C . 616号学生ta n255 =A . -2- √βB . -2+√3C . 2- √β已知非零向量 a , b 满足a =2 b ,且(a-b )丄b ,则a 与b 的夹角为ππ2πA .-B .-C .——633如图是求的程序框图,图中空白框中应填入6. D . 815号学生7. D .8 D .9 1 000 ,从这些新生中用系统抽样名学生中被抽到的是 A . A=-2 +AA=2X10.双曲线C : —2a2yb 2 A . 2sin401A=—1 2A=d (a 0,b0)的一条渐近线的倾斜角为130B . 2cos401C .sin50".△ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为1 D . A= 1 -2A则C 的离心率为1 D . cos501 πta ,b ,c ,已知 asinA-bsinB=4csinC , cosA=-,则42324354二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13•曲线y=3(χ2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为 _________________ .314. _______________________________________________________________ 记S n为等比数列{a n}的前n项和若a∙l=1, S3=—,则S= _________________________________________________ .43 π15. 函数f(x)=sin(2x +——)一3CoSX的最小值为216 .已知∠ ACB= 90°, P为平面ABC外一点,PC=2 ,点P到∠ ACB两边AC, BC的距离均为.,3 ,那么P 到平面ABC的距离为 ___________________ .三、解答题:共70分。

17. ( 12分)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?附: K2n(ad ~bC)2(a +b)(c +d )(a +c)(b + d)18. (12分)记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知S9=-a5∙(1)若a3=4,求{a n}的通项公式;(2)若aι>0 ,求使得S n≥n的n的取值范围.19. (12 分)如图,直四棱柱ABCD - A I B I C I D I的底面是菱形,AA1=4, AB=2 , ∠ BAD=60 ° E, M , N 分别是BC, BB1, A1D的中点.(1)证明:MN //平面CQE ;(2)求点C到平面C1DE的距离.20. ( 12分)已知函数 f (x ) =2sinX-XCoSx-X , f , (x )为 f (X )的导数.(1) 证明:f'(X )在区间(0, ∏存在唯一零点; (2) 若X ∈ [0, π时,f (X )^ax ,求a 的取值范围.21. (12分)已知点 A , B 关于坐标原点 O 对称,IABl=4 , Θ M 过点A , B 且与直线x+2=0相切.(1) 若A 在直线x+y=0上,求Θ M 的半径;(2) 是否存在定点 P ,使得当A 运动时,IMA I- IMPl 为定值?并说明理由.正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2rCOST X^Sin h T1 = 0 .(1) 求C 和I 的直角坐标方程; (2) 求C 上的点到I 距离的最小值.23.已知a , b , C 为正数,且满足 abc=1.证明:(1)— — — - a 2 b 2 C 2 ; a b c(2)(a b)3 (b c)3 (C a)3 一 24.22.在直角坐标系XOy 中,曲线C 的参数方程为" 21-t 2X^2,1 t(t 为参数),4ty 21 t 2以坐标原点 O 为极点, X 轴的2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学•参考答案100 (40 20 -30 10)250 50 70 30由于4.762 3.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异18.解:(1)设 a ?的公差为d .由 S 9 = -a 5得 a 1 4d =0 .由 a 3=4得 a 1 2^4 .于是a 1 = 8,d = -2 .因此〈a n :的通项公式为a n = 10 -2n . (2)由(1)得 a 1 - -4d ,故 a n = (n -5)d, S n= 9d .22由 a 1 0 知 d : 0 ,故 S n ∙∙∙a n 等价于 n -11 n ,10, 0 ,解得 1≤m ≤ 10 所以n 的取值范围是{n |1剟n 10, n∙ N }.119.解:(1)连结BQ,ME .因为M , E 分别为BB 1, BC 的中点,所以 ME // B I C ,且MEB 1C .又因1 2 为N 为AD 的中点,所以ND A 1D .2由题设知AB l = DC ,可得BC= A 1D ,故ME = N D ,因此四边形MNDE 为平行四边形,MN // ED .又MN •-平面C 1DE ,所以MN //平面C 1DE .(2)过C 作C 1E 的垂线,垂足为H.由已知可得DE — BC , DE — GC ,所以DE 丄平面C 1CE ,故DE 丄CH. 从而CH 丄平面C 1DE ,故CH 的长即为C 到平面C 1DE 的距离,一、选择题 1 . C 2. C 3. B 4. B 5. D 7. D8. B9. A10. D11 .A二、填空题13. y=3x 14.5 15. -4 16. .. 26. C 12. B17•解:(1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为 的概率的估计值为0.8. 50巾8,因此男顾客对该商场服务满意女顾客中对该商场服务满意的比率为50 ^0-6,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.6.(2) K 2:4.762 .8三、解答题20.解:(1)设 g(x) = f (x),贝U g(x) = CoSX XSin x -1,g (x) = XcosX .当 x^(0,π)时,g'(x)>0 ;当 X 壬'π, πl'时,g[x)v0,所以 g(x)在(0,π)单调递增,在'π, π 单 2辽丿 212丿调递减•又g(0)=0, g ∣0,g( ∏ - -2 ,故g(x)在(0, ∏存在唯一零点.12 J所以f (X)在(0, ∏存在唯一零点•(2)由题设知 f ( ∏∙∙∙a ∏ f ( ∏ = 0 ,可得 a ≤0.由(1)知,f (X)在(0, ∏只有一个零点,设为X 0 ,且当χ∙ 0,X 0时,f (X) 0 ;当X∙ X O) π时,f (x) < 0,所以f (x)在0,x 0单调递增,在x 0, π单调递减.又 f (0) =0, f ( ∏ = 0 ,所以,当 X [0, ∏ 时,f (x)∙∙∙0.又当a, 0,x^[0, ∏时,ax ≤0故f(x)∙∙∙ax .因此,a 的取值范围是(-o °,0].21•解:(1)因为L M 过点A, B ,所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线x+y=0上,且代B关于坐标原点 O 对称,所以M 在直线y =x 上,故可设 M(a, a). 因为L M 与直线x+2=0相切,所以L M 的半径为r =| a 2 |. 由已知得IAOl=2,又MO — AO ,故可得2a 2 ^(a 2)2 ,解得a=0或a=4.故L M 的半径r=2或r=6.(2)存在定点P(1,0),使得|MA | - |MP |为定值.由已知可得CE=1 , C 1C=4 ,所以C I^ 17 ,故CH•从而点C 到平面GDE 的距离为 m.1717理由如下:设 M(x, y),由已知得L M 的半径为r=∣x+2∣,∣AO ∣=2∙ 由于MO _ AO ,故可得x 2 .y 2. 4 = (X 2)2 ,化简得M 的轨迹方程为L 4x .因为曲线C:y 2 =4x 是以点P(1,0)为焦点,以直线 x = -1为准线的抛物线,所以IMPl=X+1. 因为|MA|_|MP|=r_|MP|=x+2 _(x+1)=1 ,所以存在满足条件的定点P.2- 1(x = -1).l 的直角坐标方程为 2x ∙、、3y • 11 =0 .4X= COSG ,(2)由(1)可设C 的参数方程为 (:•为参数,-∏:∏ .y =2sin Ot23.解:(1)因为 a 2 ∙ b 2 一 2ab,b 2 c 2 _ 2bc,c 2 a 2 _ 2ac ,又 abc = 1 ,故有所以 111_ a 2b 2c 2.abc(2)因为a, b, C 为正数且abc =1 ,故有(a b)3 (b c)3 (C a)3 -33 (a b)3(b c)3(a c)3 =3(a+b)(b+c)(a+c) -3 (2、、ab) (2、be) (2 Jac)=24.所以(a b)3 (b c)3 (C a)3 _24.22 .解:(1)因为-1 :::1-t W 2丿2 = 1 ,所以C 的直角坐标方程为C 上的点到l 的距离为|2co ^ ^3S ^ 11TETr11当:■2π时,4cos :π3.311取得最小值7,故C 上的点到I 距离的最小值为、、72 2 2a b C - ab bc ca =ab bc Ca 11 1----------------------- =—r —十一abcabc。

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