中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥
选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）
一、基本图形
所有问题的老祖宗只有两个： ①［定点到定点］:两点之间，线段最短；②［定
点到定线］:点线之间，垂线段最短。
由此派生：③［定点到定点］:三角形两边之和大于第三边； ④［定线到定线］:
平行线之间，垂线段最短；⑤ ［定点到定圆］:点圆之间，点心线截距最短
（长）；⑥［定线到定圆］:线圆之间，心垂线截距最短；⑦ ［定圆到定圆］:
圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明： ［定点到定圆］:点圆之间，点心线截距最
短（长）。
已知。O半径为r，AO=d P是。O上一点，求 AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得 AP≤ AO+PO AO≤ AP+PO得d-r ≤ AP
≤ d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线 截得的线段 AB
AC分别最小、最大值。（可用“三角形两边之和大于第三 边”，其实质也是由“两点之间，
线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上 述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些 图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定 点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。 类型分三种情况：（1）
直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变 换。
（一）直接包含基本图形
例1.在。O中，圆的半径为 6,∠ B=30°, AC是。O的切线，贝U CD的最小 值是 。
简析：由∠ B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即 为求定点D到定线AC的最短路径，求得当 CDLAC时最短为3。
（二）动点路径待确定
例2.,如图，在△ ABC中，∠ ACB=90，AB=5, BC=3, P是AB边上的动点 （不与点B重合），将△ BCP沿 CP所在的直线翻折，得到△ B' CP,连接B'
A,则B' A长度的最小值是 _________________________
简析：A是定点，B'是动点，但题中未明确告知 B'点的运动路径，所以需
先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中 B'的路径 是以C为圆心，BC为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为
AC-B'C=1。
例3.在厶ABC中，AB=AC=5 COS ∠ ABC=3/5 ,将△ ABC绕点C顺时针旋转， 得到△
A'B'C ,点E是BC上的中点，点 F为线段 AB上的动点，在△ A'B'C 绕点C顺时针旋转过程中，点 F的对应点是F',求线段EF'长度的最大值 与最小值的差。
简析：E是定点，F'是动点，要确定 F'点的运动路径。先确定线段 A'B'的 运动轨迹是圆环，外圆半径为 BC,内圆半径为 AB边上的高，F'是A'B'上
任意一点，因此 F'的运动轨迹是圆环内的任意一点，由此转化为点 E到圆
环的最短和最长路径。
E到圆环的最短距离为EFz=CH-CE=4.8-3=1.8 ，E到圆环的最长距离为
EFI=EC+CF=3+6=9 ,其差为 7.2。
（三）动线（定点）位置需变换
线段变换的方法：（1）等值变换：翻折、平移；（ 2）比例变换：三角、
相似。
【翻折变换类】典型问题：“将军饮马”
例4.如图，∠ AOB=30 ,点 M N分别是射线 OA OB上的动点，OP平分∠ AOB且 OP=6当厶PMNI勺周长最小值为 ____________________________ 。
简析：动线段（或定点）应居于动点轨迹的两侧，本题的三条动线段 PM
MN PN在OA OB的内侧。所以本题的关键是把定线段变换到动点轨迹的两 侧，从而把三条动线段 PM MN PN转化为连接两点之间的路径。如图，把 点P分别沿OA OB翻折得Pi、P2，△ PMN的周长转化为 PιM+MN+N,这三 条线段的和正是连接两个定点 Pi、B之间的路径，从而转化为求 Pi、P2两
点之间最短路径，得△ PMN的周长最小值为线段 PιP2= OP^ 6。
例5.如图，在锐角厶 ABC中，AB=4,∠ BAC=45，∠ BAC的平分线交 BC于 点DJMN分别是AD和AB上的动点，贝U BM+M的最小值是 。
简析：本题的问题也在于动线段 BM MN居于动点轨迹 AD的同侧，同样把
点N沿AD翻折至AC上，BM+M比BM+MN'转化为求点 B到直线AC的最短 路径，即BN'丄AC时，最小值为 2^ 2 O
【平移变换类】典型问题：“造桥选址”
例6.如图，m n是小河两岸，河宽 20米，A、B
是河旁两个村庄，要在河上造一座桥，要使 A、B 、 ____________________ Ξ'
之间的路径最短应该如何选址（桥须与河岸垂直）
简析：桥长为定值，可以想像把河岸 m向下平移与n重合，同时把点 A向
下平移河宽，此时转化成 n上的一点到 A、B的路径之和最短，即转化为定
点A'到定点B的最短路径。如下图：
思路是把动线 AM平移至A'M ,A'N+BN即转化为求定点 A'与定点B之间的最 路径。本题的关键是定长线段 MN把动线段分隔，此时须通过平移把动线段
A'N、BN变为连续路径，也可以把点 B向上平移20米与点A连接。
例7.如图，CD是直线y=x上的一条定长的动线段，且 CD=2,点A（ 4, 0），
连接AC AD,设C点横坐标为 m,求m为何值时，△ ACD的周长最小，并求 出这个最小值。
解析：两条动线段 AC AD居于动点所在直线的两侧，不符合基本图形中定
形（点线圆）应在动点轨迹的两侧。首先把 AC沿直线CD翻折至另一侧，
如下图：
现在把周长转化为 A'C+CD+AD还需解决一个问题：动线段 A'C与AD之间 被定长线段 CD阻断，动线段必须转化成连续的路径。 同上题的道理，把A'C 沿CD方向平移CD的长度即可，如下图。
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现在已经转化为 A''D+AD的最短路径问题，属定点到定点，当 AHD与AD
共线时A''D+AD最短，即为线段 AA'的长。
【三角变换类】典型问题：“胡不归”
例8.如图，A地在公路 BC旁的沙漠里，A到BC的距离AH= 2√3, AB= 2√
19 ,在公路BC上行进的速度是在沙漠里行驶速度的 2倍。某人在B地工作，
A地家中父亲病危，他急着沿直线
BA赶路，谁知最终没能见到父亲最后一
面，其父离世之时思念儿子，连连问：“胡不归，胡不归……！” （怎么 还不回来），这真是一个悲伤的故事，也是因为不懂数学而导致的。那么， 从B至A怎样行进才能最快到达？
简析：BP段行驶速度是 AP段的2倍，要求时间最短即求 BP/2+AP最小，从 而考虑BP/2如何转化，可以构造含 30 °角利用三角函数关系把 BP/2转化
为另一条线段。如下图，作∠ CBD=30 , PC⊥ BD,得PQ=1∕2BP,由“垂线
段最短”知当 A、P、Q共线时AP+PQ= AQ'最小。
【相似变换类】典型问题：“阿氏圆”
“阿氏圆”：知平面上两点 A B,则所有满足 PA∕PB=k且不等于1的点P
的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿
氏圆，如下图所示，其中 PO: BO= AO PO= PA: PB= k。
例 9.已知 A(-4，-4)、B(0, 4) 、C(0, -6) 、D(0, -1) ，AB 与 X 轴交于点
E,以点E为圆心，ED长为半径作圆，点M为。E上一动点，求1/2AM+CM 的 最小值。
简析：本题的主要问题在于如何转化
1/2AM,注意到由条件知在 M的运动过
程中，EM AE= 1 : 2保持不变，从而想到构造相似三角形，使之与厶 AEM
的相似比为1: 2,这样便可实现 1/2AM的转化，如下图取 EN: EM= 1: 2, 即可得△
EMN^△ EAM 再得 MN=1∕2AM 显然，MN+CM勺最小值就是定点 N、 C之间的最短路径。
之后便是常规方法先求 N点坐标，再求 CN的长
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【解法大一统】 万法归宗：路径成最短，折线到直线。
（所求路径在一般情况下是若干折线的组合，这些折线在同一直线上时即
为最短路径）
基本图形：动点有轨迹，动线居两边。
（动点轨迹可以是线或圆，动线指动点与定点或定线、定圆的连线，动线 与折线同指）
核心方法：同侧变异侧，分散化连续。
（动线在同侧进，要变为异侧，一般用翻折、三角、相似的方法构造；动 折线被定长线段分散时需化为连续折线，一般用平移的方法构造，如造桥 选址问题）
下图是构造完成的目标图形：
再举一例说明上述规律的运用方法：
1.如图，菱形 ABCD中，∠ A=60°, AB= 3，0 A>Θ B的半径为 2和1，P、
E、F分别是CD Θ AΘ B上的动点，则PE+PF的最小值为