• 这种求解上三角方程组的方法称为回代, 通过一 个方程乘或除以某个常数,
• 将两个方程相加减,逐步减少方程中的变元数, 最终将方程组化成上三角方程组,一般将这一过 程称为消元,然后再回代求解。
5.2.3 高斯消去法的适用条件
注1：设系数矩阵A为非奇异矩阵，直接使用高斯消元
法（不进行行的交换）对于某些简单的矩阵可能失败，
可简记为 Ax=b，其中
a11a12...a1n
x1
b1
A
a21a22 ...a2n ......
,
x
x
2
...
,
B
b2
...
an1an2 ...ann
xn
bn
线性方程组的数值解法一般有两类： 1. 直接法：就是经过有限步算术运算，可求得方程组
精确解的方法（若计算过程中没有舍入误差），如 克莱姆法则就是一种直接法，直接法中具有代表性 的算法是Gauss消去法。
a11 Am
am1
… a1m … 0 (m =1,2,…，n)
… amm
经变换得到的上三角形方程组的顺序主子式
a(1) 11
Am
a(1) 12
…
a(2) 22
…
…
a(1) 1m
a(2) 2m
... a(m)
mm
a a (1) (2) 11 22
…
a(m) mm
0
（m =1,2,…，n）所以能实现高斯消去法求解
4 1 2
5
3 13
2
2
2
同样可得到与 原方程组等价 的方程组 ⑥
r3( 58)r2
2 0
0
1 3
1
4 1 2
0
7 21
8
4
高斯消去法的基本思想：
• 利用矩阵行的初等变换将原方程组Ax=b系数矩 阵化为上三角形矩阵,然后从最后一个方程开始, 依次向前代入求出未知变量：
xn , xn1 , … , x1
将上述三角形方程组自下而上求解得：
x3 6 x2 1 x1 9
从而求得原方程组的解：
x1 9, x2 1, x3 6
前述的消元过程相当于对原方程组的增广矩阵进行
下列行变换
2 1 3 1
A~
Ab
4
2
5
4
1 2 0 7
rr32((212)r)1r1
2 0 0
1 3
1
例如：
A
0 1
1 0
注2： 设系数矩阵A为非奇异矩阵， • 则若a11 =0，则可以通过调换行的方法，使得在第
一行的第一个元素非0。 • 其它在消元过程中，kk位置的情形类似处理。 则高斯消元法可以进行。
因此，需要对上述的高斯算法进行修改，首先应该研
究原来的矩阵A在何条件下能够保证
a(k) kk
➢ 线性方程组的求解对于实际问题是极其重要的。
解线性方程组的直接法
常见的nxn线性方程组，一般形式为
a11x1 a12x2 ... a1nxn b1 .a.2..1.x. 1 a22x2 ... a2nxn b2 an1x1 an2x2 ... annxn bn
( 6.1 )
定义5.1 设矩阵 A (aij )n 每一行对角元素的绝对
值都大于同行其他元素绝对值之和
n
| aii | | aij |, i 1, 2, , n j 1 ji
则称A为严格对角占优矩阵。
上述条件展开以后为：
| a11 | (| a12 | | a13 | | a1n |)
| a22 | (| a21 | | a23 | | a2n |)
……
| ann | (| an1 | | an2 | | an(n-1) |)
定理1.1 若方程组 Ax b 的系数矩阵A为严格
对角占优，则用高斯消去法求解时，a(kkk)全不为0。
因此，可以使用高斯消去法求解。
练习：用高斯消去法求解如下的线性方程组
3x1 x2 x3 6
(1)
④
5 2
x2
3 2
x3
13 2
⑤
第2步：将方程 ④乘上 ( 5 ) 加到方程 ⑤上去，这样
8
就消去了第3个方程的 x2 项，于是就得到等价方程组
2
x1
x2 3x3 1 4x2 x3 2
7 消元过程就是把原方程组化为上三角形方 程组，其系数矩阵是上三角矩阵。
（2）回代过程
计算方法 (Numerical Analysis)
第8次 线性方程组的直接解法
本讲内容
1）高斯消去法 2）高斯主元素消去法 3）方程组的性态 4) 高斯消去法算法构造（编程）
高斯消去法
解线性方程组的直接法
§5.1 引言
➢ 在工程技术、自然科学和社会科学中，许多问 题最终都可归结为求解线性方程组的数学问题。
6x2 x3 15
(2)
2x1 3x2 9x3 18 (3)
解：增广矩阵为
3
A~
Ab
0
2
1 1 6
6
-1
15
- 3 9 18
①
4x1 2x2 5x3 4
②
x1 2x2
7
③
解:高斯消去法包括如下的消元和迭代的两个过程。
（1）消元过程
第1步:将方程①乘上(-2)加到方程 ②上去,将方程
①乘上(
1 2
)加到方程
③上去,这样就消去了第2、
3个方程的 x1 项,于是就得到等价方程组
2x1 x2 3x3 1
4x2 x3 2
0, 对k
1,2, … , n 1
定理1 若方程组系数矩阵的顺序主子式全不为0，则
高斯消去法能实现方程组的求解，即：
a(k) kk
0, 对k
1,2, … , n 1
证明：上三角形方程组是从原方程组出发，通过逐次 进行“一行乘一数加到另一行”而得出的，该变换不 改变系数矩阵顺序主子式的值。
设方程组系数矩阵 A (aij)n ，其顺序主子式
2. 迭代法: 就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程 组的精确解的方法。也就是从解的某个近似值出发 ，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。(一 般有限步内得不到精确解)
§ 5.2 高斯消去法
例子：求解如下的上三角线性方程组：
x1 x2 x3 x4 10
x2 x3 x4 9
x3 x4 7
x4 4
解：由（4），得 x 4 4 将（4）带入（3），得 x3 3
将结果代入（2）， 得 x2 2
将结果代入（1）， 得 x1 1
(1) (2) (3) (4)
§ 5.2 高斯消去法
5.2.1 高斯消去法的基本思想
先用一个简单实例来说明Gauss法的基本思想
例5.1 解线性方程组
2x1 x2 3x3 1