类似的,底面积相等,高也相等的两个锥 体的体积也相等. 1
V锥体=
S为底面积,h为高.
3
sh
s
s
问题4:台体(棱锥、圆锥）的体积 上下底面积分别是s/,s,高是h，则
1 V台体= h(s + ss' + s') 3
x s/
s/ s
h
s
问题5:柱、锥、台的体积关系
V柱体=sh
1 V台体= 3 h(s + ss' + s')
想知道如何求吗？ 让我们一起来探索吧！
空间几何体的体积
平面几何中我们用单位正方形的面 积来度量平面图形的面积,立体几何中 用单位正方体(棱长为1个长度单位)的 体积来度量几何体的体积. 一个几何体的体积是单位正方体体 积的多少倍,那么这个倍数就是这个 几何体的体积的数值.
问题1:长方体体积
某长方体纸盒的长、宽、高分别为4cm，3cm， 4×3= 12 个单位正方体，三层共有 3cm，则每层有__________ 36 个单位正方体，所以，整个长方体的体积是 ____ 3 36cm _____
12
D
C
D O B
A A B
C
你能求出A点到面BDC的距离吗？
例3、有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg. 已知底面六边形的边长是12mm,高是10mm,内孔直径是 10mm,那么约有毛坯多少个?(铁的比重是7.8g/cm3)
分析：六角螺帽毛坯的体积是一个
正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差.
答:这堆毛坯约有250个。
课堂练习
1、已知一正四棱台的上底面边长为4cm, 下底面边长为8cm,高为3cm,其体积 112cm3 为______ 2、用一张长12cm、宽8cm的铁皮围成圆 288 192 cm 或 cm 柱形的侧面，该圆柱体积为 ______
3 3
（结果保留 ）
3、埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年,其形 状为正四棱锥.金字塔高146.6米,底面边长230.4米. 求这座金字塔的体积.
我国古代著名数学家祖冲之在计 算圆周率等问题方面有光辉的成就。 祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出 贡献。祖暅在实践的基础上，于5世纪 末提出了这个体积计算原理。 祖暅提出这个原理，要比其他国 家的数学家早一千多年。在欧洲只道 17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里 （Cavalieri .B，1598年--1647年） （429年~500年） 提出上述结论。
例： 如图是一个奖杯的三视图,单位是cm， 试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积. (精确到0.01cm) z/
6 15 8 18 6
11
11
y/
15
x/
这个奖杯的体积为
V=V正四棱台+V长方体+ V球 其中 V正四棱台 1 5 (152 15 11+112 ) 851.667 3 V正方体 =6×4 8×18=864 3 3 113.097 V球= 3 所以这个奖杯的体积为 V=1828.76cm3
V=2594046.0(m3)
ห้องสมุดไป่ตู้
问题6:回顾反思
(1)体积度量的基本思路： 即特殊到一般的数学思想。 正方体 长方体 柱体 锥体 台体。
长方体体积公式是计算其他几何体体积的基础. （2）柱、锥、台体积的计算公式及它们之间的联系
探究
球的体积：
一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个 以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥 后，所得的几何体的体积与一个半径为R的 半球的体积相等。
R
4 3 1 1 1 1 R V球 RS1 RS 2 RS 3 RS 球面 3 3 3 3 3
球的表面积： S球面 4R
2
1.一个正方体内接于半径为R的球内， 求正方体的体积． 2.一个平面截一个球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是 4cm，求该球的表面积和体积．
R
O
R
R R O
1 1 2 2 3 2 V球 = πR R - πR R = πR 2 3 3
4 3 V球 = πR 3
R
O
R
R R O
探究
设想一个球由许多顶点在球心,底 面在球面上的“准锥体”组成,这 球的表面积： 些准锥体的底面并不是真的多边形, 但只要其底面足够小,就可以把它 S1 们看成真正的锥体.
O P N
O
P
N
解:V正六棱柱=1.732×122×6×10≈3.74×103(mm3)
V圆柱=3.14×52×10≈0.785×103(mm3) 毛坯的体积V=3.74×103-0.785×103 ≈2.96×103(mm3)=2.96(cm3) 约有毛坯：5.8×103÷(7.8×2.96)≈2.5×102(个)
1
1
1
1
(2)底面积 s =
1 2
( 1 + 2 ) 1= 1.5 m2
几何体的体积 V= 1.5 1= 1.5 m3
例2、将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折 起，使B，D两点间距离变为a，则所得三棱锥 D-ABC的体积为
D
O
C
D O B
A A B
C
例2、将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折 起，使B，D两点间距离变为a，则所得三棱锥 2 3 D-ABC的体积为 a
3 4
3
V长方体=abc (a,b,c分别为长方体长、宽、高) 或V长方体=sh(s,h分别表示长方体的底面积和高)
问题2:一般柱体的体积
2.1实验猜想： 取一摞书放在桌面上，并改变它们的位 置，观察改变前后的体积是否发生变化？
高度、书中每页纸面积和顺序不变
2.2、作图验证
2.3、祖暅原理 两等高的几何体,若在所有等高处的水平截 面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．
2.4、柱的体积
V柱体=sh
h
s
S
S
底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等。
问题3:锥体(棱锥、圆锥）的体积
3.1．锥体（棱锥、圆锥）的体积
（底面积S，高h）
V三棱锥 1 sh 3
注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四 面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到 面的距离
3.2等底面积等高的锥体的体积有何关系?
S=S’
s/
s s/ s
1 V锥体= sh 3
S/=0 s
例题探究
1
2 4
1000
假设在青藏铁路的某段路基需要用碎石铺垫．已 知路基的形状尺寸如图所示（单位：米），问每 修建1千米铁路需要碎石多少立方米？
例1. 一几何体按比例绘制的三视图如图所示， (单位：m) (1)试画出它的直观图；(2)求它的体积。
笛卡儿说：“数学是知识的工具， 亦是其它知识工具的泉源。 所有研究顺序和度量的科学 均和数学有关。”
青藏铁路
青藏铁路是西部大开发标志性工程， 全长1142公里，是世界上海拔最高， 线路最长，穿越冻土里程最长的高原铁路。
1
2 4
1000
假设在青藏铁路的某段路基需要用碎石铺垫．已 知路基的形状尺寸如图所示（单位：米），问每 修建1千米铁路需要碎石多少立方米？
例2.已知一个正四面体内接一个表面 积为36 的球内，求这个四面体的 表面积和体积
A
O B O' D
C
课堂练习
课本54页第5，6题
数学 因探索而精彩、 因应用而美丽！