2021年中考数学复习题
22．（7分）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是±√57的整数部分，求a+2b+c的算术平方根．
【解答】解：由题意得，2a﹣1＝9，得a＝5；3a+b﹣9＝8，得b＝2，
∵√49＜√57＜√64，﹣8＜−√57＜−7，
∴c＝7或﹣8，
∴a+2b+c＝16或1，
16的算术平方根为4；1的算术平方根是1．
23．（10分）已知，在△ABC中，∠ACB＝30°
（1）如图1，当AB＝AC＝2，求BC的值；
（2）如图2，当AB＝AC，点P是△ABC内一点，且P A＝2，PB=√21，PC＝3，求∠APC的度数；
（3）如图3，当AC＝4，AB=√7（CB＞CA），点P是△ABC内一动点，则P A+PB+PC 的最小值为√43．
【解答】解：（1）如图1中，作AP⊥BC于P．
∵AB＝AC，AP⊥BC，
∴BP＝PC，
在Rt△ACP中，∵AC＝2，∠C＝30°，
∴PC＝AC•cos30°=√3，
∴BC＝2PC＝2√3．
（2）如图2中，将△APB绕点A逆时针旋转120°得到△QAC．
∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∴P A＝AQ＝2，PB＝QC=√21，
∵∠P AQ＝120°，
∴PQ＝2√3，
∴PQ2+PC2＝QC2，
∴∠QPC＝90°，
∵∠APQ＝30°，
∴∠APC＝30°+90°＝120°．
（3）如图3中，将△BCP绕点C逆时针旋转60°得到△CB′P′，连接PP′，AB′，则∠ACB′＝90°．
∵P A+PB+PC＝P A+PP′+P′B′，
∴当A，P，P′，B′共线时，P A+PB+PC的值最小，最小值＝AB′的长，
由AB=√7，AC＝4，∠C＝30°，可得BC＝CB′＝3√3，
∴AB′=√AC2+CB′2=√43．
故答案为√43．。