B 题 创意折叠桌摘要为了节省室内存放空间，方便人们的生活，某公司生产了一种可折叠并且可随着铰链活动平摊成平板的圆形桌子。

桌子的桌腿由两组分别用一条钢筋连接的若干根木条组成，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。

针对问题一，本文通过对所给的图片以及视频的分析，根据创意折叠桌的对称性，我们选定三维空间中桌体的41为研究对象，从其投影入手，将其转化到二维平面中，采用数形结合的方法，构造直角坐标系，以最外侧木条旋转后与桌平面的夹角α为变量，把在折叠过程中各木条端点的位置放到坐标系中，分析各变量间的关系，从而建立数学模型。

运用MATLAB 软件编程，得到每个木条的开槽长度和桌角边缘线的运动轨迹。

针对问题二，要求折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。

我们将最外侧木条旋转后与桌平面的夹角α和最外侧木条的钢筋固定位置距桌腿与地面接触点的长度x 作为变量进行分析。

首先，物体的稳固性（稳度）与其重心的高度、支撑面的面积有关，重心越低，稳度越高；支撑面的面积越大，稳度越高。

其次，开槽的总长度决定了工作量和操作难度，开槽的总长度越长，操作越不便，坚固性越不好。

最后，在不考虑材料厚度的情况下，由于折叠桌的宽度等于圆形桌面直径符合实际情况，所以长方形平板材料的多少取决于它的长度，长方形平板越短，所需的材料就越少。

根据上述3个影响因素，我们使用多目标最优化模型，运用MATLAB 编程求解创意折叠桌的最优化参数。

在该模型中，我们设立了三个变量321,,w w w 分别代表木材总长度，稳定系数（支撑面与桌面面积之差的平方）以及总开槽长度，通过分析相关限定条件进行建立模型与求解。

从所得的结果来看，该模型基本准确。

针对问题三，除了考虑桌高，还要求考虑桌面边缘线的形状和大小以及桌脚边缘线的形状。

为了描述桌面边缘线的形状和大小，我们规定了几个常见的形状及其属性（如，长，宽，半径，对角线长度等）。

在给定桌面边缘线的形状和大小后，按照问题一的思路，寻找木材总长度1w ，稳定系数2w 以及总开槽长度3w 与α和x 的关系以及变量的限定条件，建立多目标最优化模型，求解最优的α和x 值。

绘制动态图时，将利用问题一求得的木条端点随α变化的动态坐标进行绘制。

本文给出了圆形桌面、正方形桌面、菱形桌面的GIF 格式的动画。

【关键字】创意折叠桌MATLAB 多目标最优化模型稳度一、问题重述问题背景某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，。

桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。

使得桌腿可随着铰链的活动平摊成一张平板，从而大大节省了存放空间。

问题提出根据创意折叠桌的结构试建立数学模型讨论下列问题：1. 给定长方形平板尺寸为cm cm cm 350120⨯⨯，每根木条宽cm 5.2，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为cm 53。

试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，桌腿木条开槽的长度和桌脚边缘线的运动轨迹。

2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。

对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。

对于桌高cm 70，桌面直径cm 80的情形，确定最优设计加工参数。

3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。

你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。

要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

二、模型假设1.桌腿倾斜时，由其厚度引起的误差对实际桌高没影响，可以忽略其厚度。

2.讨论桌面面积时，按圆面考虑。

3.圆桌面与木条接触边缘的中点代表桌面上对应的点。

4.钢筋对问题分析影响不大，可以近似看作一条直线段，将钢筋与各木条的接触位置看作点。

三、符号说明注：其它未给出符号在题中会说明四、模型建立与求解本题主要研究了折叠桌的动态变化过程和设计折叠桌的加工参数。

首先，我们需要建立模型描述此折叠桌的动态变化过程并给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。

其次，为了实现产品稳固性好、加工方便、用材最少，需要讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数。

最后，建立相关数学模型，给出自己所设计的创意平板折叠桌并画出8张动态变化过程的示意图。

4.1问题一的模型建立与求解针对问题一，基于折叠桌的对称性，我们取其41为研究对象，根据假设1，我们忽略桌腿的厚度。

最外侧木条经过旋转达到预定高h 后，第i (10,,3,2,1 =i )根木条与最外侧木条的位置关系的主视图如图1所示。

b i 图1桌面我们将运用数形结合的方法，构造直角坐标系，建立出数学模型，以α（1l 旋转后与桌平面的夹角）为变量，研究各木条端点i D 的坐标))(),(),((αααi i i z y x 的变化，描述了折叠桌的动态变化过程，进一步通过MATLAB 编程，计算出此折叠桌的桌腿木条开槽的长度。

4.1.1模型的建立因创意折叠桌的对称性，本组成员选定桌体的41为研究对象。

图1为简化后的桌体主视图。

我们以桌面中心为原点O ，沿木条方向为y 轴，垂直于圆面且过原点的直线z 轴，d L 所在直线为x 轴，建立空间直角坐标系。

图1-1和图1-2为不同情况下此坐标系在ZOY 面的投影。

yo图1-1点A 到d L 的距离为22*1)21(d r r l --=AC 为最外侧木板长的一半，其长为22120*1l a -=则α的上限应该为a h2arccos2max -=πα ，故[]max ,0αα∈。

圆桌面上第i 根木板相对于最外侧木板多出来的长度为22)21(⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=d i r r b i (1.1)在ABC ∆中应用余弦定理，有ii i ab c b a 2)(cos 222αα-+=(1.2)可得第i 根木板上钢筋与桌面接触点C 的长度为ααcos 2)(22i i i ab b a c -+=;钢筋在第i 根木板中卡槽移动的距离为ac b e i i i -+=)()(αα (1.3)显然Rt ΔBFD 与Rt ΔBHC 相似，根据三角形相似定理，有)(sin )()()(αααααi i i i z a d c c -⋅=+ (1.4)因为折叠桌折叠前，即0=α时，各木条端点i D 到d L 的距离相等，故有等式)()(2*1*1ααi i i d c b l a l +++=+ (1.5)成立。

化简可得)()2(sin )(αααi i i c b a a z -⋅⋅-= (1.6)如图1-1和图1-2ABC ∠会对i D 的坐标i y 产生影响，分两类讨论（1）当2π≤∠ABC 时，B 与C 的y 轴坐标应满足*1*1cos l b l a i +≤+α即ib a ≤αcos在三角形中由勾股定理可得)()2()(22*1ααi i i i z b a l b y ---+= (1.7)（2）当2π>∠ABC 时，如图1-2所示，yz 图1-2此时，有i b a >αcos 在三角形中由勾股定理可得)()2()(22*1ααi i i i z b a l b y --++=另外，第i 根木条在旋转过程中横坐标ix 保持不变，恒为di x i )2110(+--=故第i 根木条的端点i D 的坐标为))(),(,(ααi i i z y x ，钢筋在第10,2,1 =i 根木板中卡槽移动的距离a c b e i i i -+=)()(αα，]2arccos2,0[a h -∈πα。

现在将这10根木条按照下面的对称公式，计算出与之对称的10根木条端点的坐标和)(αi e 。

20,,12,11)()()()()()()2110(212121 =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+--=---i e e z z y y di x i i i i i i i αααααα4.1.2模型求解当最外侧旋转角度达到a h2arccos2-=πα时，每个)(αi e 都将达到最大值。

代入α，利用附录中程序2，可求得每根木条上的开槽长度如表每根木条的组成情况如图1-30102030405060木条的组成情况木条序号长度图1-3 各木条的组成情况将ah2arccos2-=πα代入))(),(,(ααi i i z y x ，可求得桌脚边缘线各点的坐标，如表，我们将用这些数据描述桌脚边缘线。

表2桌脚边缘线的坐标数据桌脚边缘线的图像如图-10X 轴桌脚边缘线Y 轴Z 轴图1-4 桌脚边缘线的三维形状-50-45-40-35-30桌脚边缘线Y 轴Z 轴图1-5 桌脚边缘线的主视图-24-22-20-18-16-14-12桌脚边缘线X 轴Y 轴图1-6 桌脚边缘线的俯视图-30-20-100102030-50-45-40-35-30桌脚边缘线X 轴Z 轴图1-7 桌脚边缘线的左视图4.2 问题二的模型建立与求解针对问题二，折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。

对于任意给定的折叠桌高度h 和圆形桌面直径)2(r D D 的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。

对于桌高70 cm ，桌面直径80 cm 的情形，确定最优设计加工参数。

（1）由于折叠桌的宽度已知，所需长方形平板材料的最小尺寸取决于它的长度l (材料厚度不作考虑)，木条的宽度由用户指定，记为d 。

DB ＇Ｅ＇l 1*O ＇图2-1由图2-1可知，木条旋转前B E ''的长度⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=++=++='++'=*1*1sin 2sin 2sin l h h l h ABDA ED B A DA D E l ααα （2.1） 在桌高h 固定的情况下，l 只与最外侧木条旋转的角度α有关。

（2）由于折叠桌需有稳固的结构，因而我们第二个考虑因素就是其稳定性，也就是稳度。

《物体的稳度与哪些因素有关》[3]记载，物体的稳度与其重心的高度、支撑面的面积有关。

重心越低，稳度越高；支撑面的面积越大，稳度越高。

图2为折叠桌的示意图。

图2EBK1）如图2-2，当支撑面矩形KJBE的面积过大时，重心低，但在力的作用下，折叠桌容易成恢复平板形态。

图2-22）如图2-3，当支撑面矩形KJBE的面积过小时，在力的作用下，折叠桌容易左右晃动，稳定性不好。