探索规律题类型一数字规律1、下面是按一定规律排列的一列数：，那么第n个数是．解析∵分子分别为1、 3 、5 、 7 ，⋯，∴第 n 个数的分子是2n ﹣ 1 。
∵4 ﹣ 3=1=1 2 ，7﹣3=4=2 2 ，12﹣3=9=3 2 ，19﹣3=16=42，⋯，∴第n 个数的分母为n 2 +3。
∴第n个数是。
2、观察下列等式：，，，，，，。
试猜想，的个位数字是 __ ___。
解析本题主要考查规律探索。
观察等式：，，，，，可得，次方的个位数字是，次方的个位数字是，次方的个位数字是，次方的个位数字是，次方的个位数字是，个位数字的变化是以、、、为周期，即周期为，又因为，所以的个位数字与的个位数字相同为。
故本题正确答案为。
考点规律探索。
3 、古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,叫做三角形数, 它有一定的规律性 , 若把第一个三角形数记为, 第二个三角形数记为,第n个三角形数记为, 则．答案解 :,═,,═,═, ⋯,,则,因此，本题正确答案是:.解析根据三角形数得到,,,,, 即三角形数为从 1 到它的顺号数之间所有整数的和, 即、,然后计算可得 .4 、按一定规律排列的一列数：，，，，，，，，请你仔细观察，按照此规律对应的数字应为_____。
答案解析本题主要考查规律探索。
将中间两个化为分数之后为：，，，，，，，，观察可知分子是从开始不断递增的奇数，分母是从开始不断递增的质数，那么根据这个规律即可得到。
故本题正确答案为。
考点规律探索。
5 、如图 , 下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律, 依此规律 , 那么第 4个图形中的,一般地 , 用含有 m,n 的代数式表示 y, 即.答案解:观察,发现规律:,,,,因此，本题正确答案是:63;解析观察给定图形 , 发现右下的数字=右上数字( 左下数字, 依此规律即可得出结论 .6 、观察下列数据：，，，，，，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个数据是 _____ 。
答案解析本题主要考查规律探索。
由数据，，，，，，可观察到，第奇数个数据为负数，第偶数个数据为正数，所以数据中带有这个因式，将化成，则这组数据变成，，，，，，由此可观察出，每一个分数的分子都是分母的平方再加，所以这组数据中第个分数为，将代入可得出分数。
故本题正确答案为。
7 、“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2 H6，丙烷的化学式是C3 H8，⋯，设碳原子的数目为n（ n 为正整数），则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示示（）A.C n H2n+2B.C n H2nC.C n H2n-2D.C n H n+3答案此题答案为： A.解：设碳原子的数目为n （ n 为正整数）时，氢原子的数目为 a n，观察发现： a 1＝ 4 ＝2×1+2 ，a 2＝ 6 ＝ 2×2+2， a 3＝ 8＝ 2×3+2，⋯，∴a n＝ 2n+2.∴碳原子的数目为n （ n 为正整数）时，它的化学式为C n H2n+2 . 故选 A.解析【考点提示】本题主要考查探究规律，解题的关键是找出碳原子与氢原子数量之间的关系．【解题方法提示】设碳原子的数目为n（ n 为正整数）时，氢原子的数目为a n，列出部分a n的值；根据数值的变化找出变化规律“a n＝ 2n+2”，依次规律即可解决问题．8 、从“特殊到一般”是数学上常用的一种思维方法. 例如 , “你会比较与的大小吗 ?”我们可以采用如下的方法:(1)通过计算比较下列各式中两数的大小:( 填“”、“ ”或“ =”)①②,③,④(2)由 (1)可以猜测与(n 为正整数 ) 的大小关系 :当 n时 ,; 当 n时 ,;(3)根据上面的猜想 ,可以知道 :(填“”、“ ”或“=”).答案＜＜＞＞≤2≥3＞解 :(1) ①,, 故;②,, 故;③,, 故;④,, 故.因此，本题正确答案是:① ;②; ③; ④.(2)结合 (1) 的结论 , 可以得出猜测结果 :当时,;当时,.因此，本题正确答案是:;.(3),. 因此，本题正确答案是:.解析先找出各组数的值, 再进行比较 , 即可得出结论 ;(2)结合 (1) 结论 , 即可得出猜测的结论 ;(3)由, 结合 (2) 猜测的结论 , 得出结果 .类型二数式规律1、（11·曲靖）将一列整式按某种规律排成x ，－ 2x 2， 4x 3，－ 8x 4，16x 5 ⋯则排在第六个位置的整式为________．答案－32解析符号的规律： n 为奇数时，单项式为正号，n 为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第n 个对应的系数的绝对值是 2 n-1．指数的规律：第n 个对应的指数是n ．解：根据分析的规律，得：第六个位置的整式为：-2 5 x 6 =-32x6．故答案为： -32x 6．此题考查的知识点是单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．2、已知，，，，（为正整数，且，），则_____ 。
（用含有的代数式表示）答案解析本题主要考查分式的基本性质和规律探索。
，，，所以规律以为周期循环，因为可以整除，所以。
故本题正确答案为。
考点分式的基本性质，规律探索。
3 、观察下面计算过程:;;你发现了什么规律? 用含 n 的式子表示这个规律, 并用你发现的规律直接写出的值 .答案解 :,,,,当时,上式.解析所求式子利用平方差公式化简, 计算即可得到结果.4、观察下来等式：第一层1+2=3第二层4+5+6=7+8第三层9+10+11+12=13+14+15第四层16+17+18+19+20=21+22+23+24⋯在上述数字宝塔中，从上往下数，数字2016在第___层。
答案由题可知：每一层的第一个数：第n层的第一个数为n 2，∵44 2=1936,452=2025，∴ 数字2016在第44层，故答案为：44.解析观察发现：第 n 层的第一个数为n2，所以要看2016介于哪两个数的平方之间，计算44 2 =1936，452=2025，由此得：数字2016 在第 44 层．5 、观察下列算式:(1),(2),(3),(4),⋯请你在察规律解决下列问题(1)填空 :×.(2)写出第 n 个式子 ( 用含 n 的式子表示 ), 并证明 .答案 20132017解 :(1)由以上四个等式可以看出:每一个等式第一个因数等于序号数, 第二个因数比第一个大4, 等式右边的底数比第一个数大2; 所以有:.答案为 :2013,2017;(2)第n个等式为:;左边右边成立 .解析(1)每一个等式第二个因数比第一个大4, 然后都加4, 等式右边的底数比第一个数大 2; 反之可由最后一数反推得到.(2)设第一个数是n, 那么第二个因数即为, 等式右边的底数则为,表示出等式即可 .6 、有一列按一定顺序和规律排列的数：第一个数是；第二个数是；第三个数是；对任何正整数，第个数与第个数的和等于。
（ 1）经过探究，我们发现：；；。
设这列数的第五个数为，那么，，，哪个正确？请你直接写出正确的结论。
（ 2）请你观察第个数、第个数、第个数，猜想这列数的第个数（即用正整数表示第个数），并且证明你的猜想满足“第个数与第个数的和等于”。
（3）设表示，，，，这个数的和，即，求证：。
答案（1）。
（ 2）由题意可知，第个数为，第个数为。
第个数与第个数的和为。
（3）因为，，，，，，将上述个不等式式子依次相加可得，，即，得证。
解析本题主要考查规律探索和分式的运算。
（ 1）由已知规律可得，。
（ 2）先根据已知规律写出第个数和第个数，再根据分式的运算求和化简即可求解。
（ 3）将这列数依次根据展开，然后再全部相加即可得证结论。
考点分式的运算，规律探索。
类型三图形规律一、图形累加规律1、如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第个图案中有_____个涂有阴影的小正方形（用含有的代数式表示）。
答案解析本题主要考查规律探索。
由题意可知，第，，个图案中分别有，，个涂有阴影的小正方形。
其中，，。
由此可以推出，第个图案共有个涂有阴影的小正方形。
故本题正确答案为。
考点规律探索。
2 、图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案, 第①个图案有 4 个黑棋子 , 第②个图案有9 个黑棋子 , 第③个图案有14 个黑棋子 ,. 依次规律 ,第 n 个图案有个黑棋子 .( 用含 n 的代数式表示)答案解 : 观察图①有个黑棋子;图②有个黑棋子 ;图③有个黑棋子 ;图④有个黑棋子 ;⋯图 n 有个黑棋子,因此，本题正确答案是.解析仔细观察每一个图形中黑棋子的个数与图形序列号的关系, 找到规律 , 利用规律求解即可.3 、下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案 1 需根火柴棒，图案 2 需根火柴棒，，按此规律，图案7 需 _____ 根火柴棒。
答案解析本题主要考查规律探索。
图案 1 中需要的火柴数为，图案2中需要的火柴数为，图案 3 中需要的火柴数为，，图案n中需要的火柴数为，所以图案7 中需要的火柴数为。
故本题正确答案为。
考点规律探索。
5 、小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第个图案有枚棋子，第个图案有枚棋子，第个图案有枚棋子，第个图案有枚棋子，，那么第个图案的棋子数是_____ 枚。
答案解析本题主要考查规律探索。
由题意可知，在第奇数个图案的时候增加枚棋子，在第偶数个图案的时候增加枚棋子，以此规律进行排列，第个图案有枚棋子，第个图案有枚棋子，第个图案有枚棋子，第个图案有枚棋子，第个图案有枚棋子。
故本题正确答案为。
6 、(2016徐州)17.如图，每个图案都是由大小相同的正方形组成，按照此规律，第 n 个图形中这样的正方形的总个数可用含n 的代数式表示为______________。
第 1个第2个第3个答案第一个图形，正方形个数： 2 ,第二个图形，正方形个数：2+4第三个图形，正方形个数：2+4+6 第 n 个图形，正方形个数： 2+4+6+8 +....+2n=n(n+1)故答案为 n(n+1)。
7 、如图 , 在数轴上 ,,P 两点表示的数分别是1,2,,关于点 O对称 ,,关于点 P对称,,关于点 O对称 ,,关于点 P 对称依次规律 ,则点表示的数是．答案解 : 根据对称的性质得:表示的数为 -1,表示的数为 5,表示的数为 -5,表示的数为9,表示的数为 -9,表示的数为 13,表示的数为,表示的数为17,表示的数为,表示的数为 21,表示的数为,表示的数为 25,则表示的数为. 因此，本题正确答案是:.8、将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第个图形有 _____ 个小圆。