2020-2021学年北京市101中学高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．（5分）将2封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为( ) A ．23AB ．23CC ．23D ．322．（5分）已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率( ) A ．310B ．13C ．38D ．293．（5分）若直线240x y --=在x 轴和y 轴上的截距分别为a 和b ，则a b -的值为( ) A ．6B ．2C ．2-D ．6-4．（5分）若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于P 、Q 两点，且90POQ ∠=︒（其中O 为原点），则k 的值为( )A B ．1C ．D ．1-或15．（5分）将标号为1，2，3，4，5的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法总数为( ) A ．150B ．300C ．60D ．906．（5分）34821()()x x x x-++的展开式中的常数项为( )A ．32B ．34C ．36D ．387．（5分）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||(MN = )A ．B ．8C ．D ．108．（5分）双曲线22:142x y C -=的右焦点为F ，点P 在椭圆C 的一条渐近线上．O 为坐标原点，则下列说法错误的是( )AB ．双曲线22142y x -=与椭圆C 的渐近线相同C ．若PO PF ⊥，则PFO ∆D ．||PF 的最小值为29．（5分）某省新高考方案规定的选科要求为：学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科．现有甲、乙两名学生按上面规定选科，则甲、乙恰有一门学科相同的选科方法有( ) A ．24种B ．30种C ．48种D ．60种10．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点M ，N ，F 分别为椭圆C 的左顶点、上顶点、左焦点，若90MFN NMF ∠=∠+︒，则椭圆C 的离心率是( ) A ．512- B ．312- C ．212- D ．32二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．（5分）如果椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，那么双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为 ．12．（5分）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 ．13．（5分）如图所示，已知一个系统由甲、乙、丙、丁4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作．若每个部件的可靠性均为(01)r r <<，而且甲、乙、丙、丁互不影响，则系统的可靠度为 ．14．（5分）甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中的概率为23，乙命中的概率为45，且他们的结果互不影响，若命中目标的人数为ξ，则()E ξ= ．15．（5分）已知点(2,4)A 在抛物线22(0)y px p =>上，直线l 交抛物线于B ，C 两点，且直线AC 与AB 都是圆22:430N x y x +-+=的切线，则B ，C 两点纵坐标之和是 ，直线l 的方程为 ．三、解答题共5小题，共45分。

解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16．（10分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14． （Ⅰ）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．17．（10分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过点(0,1)-，离心率e ．（1）求椭圆的标准方程；（2）过右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)，设直线AM 和BM 的斜率分别为AM和BM，求AMBM+的值．18．（10分）某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除了颜色外均相同．（1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记取到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；（3）每次从纸箱中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取20次，取得几次红球的概率最大？（只需写出结论）．19．（10分）设椭圆221222:1(0),,x y C a b F F a b+=>>为左、右焦点，B 为短轴端点，长轴长为4，焦距为2c ，且b c >，△12BF F （Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）设动直线:l y x m =+椭圆C 有且仅有一个公共点M ，且与直线4x =相交于点N ．试探究：在坐标平面内是否存在定点P ，使得以MN 为直径的圆恒过点P ？若存在求出点P 的坐标，若不存在．请说明理由．20．（5分）（1）设i 为虚数单位，则7)i 的实部为 ． （2）计算：2243610092018101020202021202120212021202120211(133333)2C C C C C -+-+⋯-+= ．2020-2021学年北京市101中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．（5分）将2封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为( ) A ．23AB ．23CC ．23D ．32【解答】解：根据分步原理的应用，所以：第一封信的投法有3种，第二封信的投法有3种， 故一共有2333⨯=种投法． 故选：C ．2．（5分）已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率( ) A ．310B ．13C ．38D ．29【解答】解：设“第一次拿到白球”为事件A ，“第二次拿到红球”为事件BP ∴（A ）21105==，131()5915P A B =⨯= 则所求概率为1()115(|)1()35P A B P B A P A === 故选：B ．3．（5分）若直线240x y --=在x 轴和y 轴上的截距分别为a 和b ，则a b -的值为( ) A ．6B ．2C ．2-D ．6-【解答】解：直线240x y --=化为截距式为124x y+=-， 2a ∴=，4b =-，2(4)6a b ∴-=--=，故选：A ．4．（5分）若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于P 、Q 两点，且90POQ ∠=︒（其中O 为原点），则k 的值为( )A B ．1 C ． D ．1-或1【解答】解：直线1y kx =+与圆221x y +=相交于P 、Q 两点，且90POQ ∠=︒（其中O 为原点），直线经过定点(0,1)，故P 、Q 中有一个点的坐标为(0,1)， 故另一个点的坐标为(1,0)或(1,0)-， 故直线的斜率1k = 或1k =-， 故选：D ．5．（5分）将标号为1，2，3，4，5的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法总数为( ) A ．150B ．300C ．60D ．90【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①将5个小球分成3组，若分为1、2、2的三组，有2215312215C C C A =种分组方法， 若分为1、1、3的3组，有5310C =种分组方法， 则有151025+=种分组方法，②将分好的三组放入三个不同的盒子中，有336A =种情况， 则有256150⨯=种放法， 故选：A ．6．（5分）34821()()x x x x-++的展开式中的常数项为( )A ．32B ．34C ．36D ．38【解答】解：342()x x -的展开式的通项公式为341241442()()(2)r r r r r rr T C x C xx --+=-=-， 令1240r -=，可得3r =，所以342()x x -的展开式的常数项为334(2)32C -=-， 81()x x +的展开式的通项公式为8821881()T C x C x x--+==，令820-=，可得4=，所以81()x x +的展开式的常数项为4870C =，所以34821()()x x x x-++的展开式中的常数项为327038-+=．故选：D ．7．（5分）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||(MN = ) A．B ．8C．D ．10【解答】解：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则193016442014970D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩，2D ∴=-，4E =，20F =-，2224200x y x y ∴+-+-=， 令0x =，可得24200y y +-=，2y ∴=-±||MN ∴=故选：C ．8．（5分）双曲线22:142x y C -=的右焦点为F ，点P 在椭圆C 的一条渐近线上．O 为坐标原点，则下列说法错误的是( ) AB ．双曲线22142y x -=与椭圆C 的渐近线相同C ．若PO PF ⊥，则PFO ∆D ．||PF【解答】解：由题意知，2a =，b =，c ∴=，F 0)，∴离心率c e a ==A 正确； 双曲线C的渐近线方程为y x =， 而双曲线22142y x -=的渐近线方程为y =，即选项B 错误； 不妨取点P在渐近线y x 上， PO PF ⊥，||PF ∴==||2PO ∴===，PFO ∴∆的面积为11||||222S PO PF =⋅=⨯C 正确；当PF 垂直渐近线时，||PF 最小，由上可知，||min PF =D 正确． 故选：B ．9．（5分）某省新高考方案规定的选科要求为：学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科．现有甲、乙两名学生按上面规定选科，则甲、乙恰有一门学科相同的选科方法有( ) A ．24种B ．30种C ．48种D ．60种【解答】解：分为两类，第一类物理、历史两科中是相同学科，则有12224212C C C =种选法；第二类物理、历史两科中没相同学科，则有21224348A C A =种选法， 所以甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有124860+=种， 故选：D ．10．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点M ，N ，F 分别为椭圆C 的左顶点、上顶点、左焦点，若90MFN NMF ∠=∠+︒，则椭圆C 的离心率是( )A B C D 【解答】解：如图，tan b NMF a ∠=，tan b NFO c∠=， 90MFN NMF ∠=∠+︒，18090NFO MFN NMF ∴∠=︒-=︒-∠，即1tan tan NFO NMF∠=∠，∴b ac b=，则222b a c ac =-=，210e e ∴+-=，得e =故选：A ．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。