2014年山东高考理科数学试题及详细解析2014年全国统一高考（山东）理科真题及详解一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。

1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+ 答案：D解析：a i -与2bi +互为共轭复数，()()2222,124434a b a bi i i i i∴==∴+=+=++=+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x则=B A I(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D)(1,4) 答案：C 解析：[][][)12212132,0,21,41,3x x x x y x y A B -<∴-<-<∴-<<=∈∴∈∴⋂=Q Q3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+， (C) ),2()210(+∞Y ， (D) )2[]210(∞+，，Y答案：C 解析：()22log 10x ->2log 1x ∴>或2log1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<>。

4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是 (A)方程02=++b ax x没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根(C)方程02=++b ax x至多有两个实根 (D)方程2=++b ax x 恰好有两个实根5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a y x，则下列关系式恒成立的是 (A)111122+>+y x (B))1ln()1ln(22+>+y x (C)yx sin sin > (D) 33y x>答案：D 解析：,01x y a a a x y<<<∴>Q ，排除A,B ，对于C ，sin x 是周期函数，排除C 。

6.直线x y 4=与曲线2x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A ）22（B ）24（C ）2（D ）4 答案：D解析：34x x =Q ，()()()324422x xx x x x x -=-=+-Q第一象限()232401428404x x xx -=-=-=⎰7.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为舒张压/kPa频率 / 组距0.360.240.160.08171615141312（A ）6 （B ）8 （C ） 12（D ）18 答案：C解析：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4 200.450÷=500.361818612⨯=-=8.已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()x g x f =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）），（210（B ）），（121（C ）），（21（D ）），（∞+2 答案：B解析：画出()f x 的图象最低点是()2,1，()g x kx =过原点和()2,1时斜率最小为12，斜率最大时()g x 的斜率与()1f x x =-的斜率一致。

9.已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为（A ）5（B ）4（C ）5（D ）2 答案：B解析：10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩求得交点为()2,1，则225a b +=圆心()0,0到直线2250a b +-=的距离的平方2225245⎛⎫==。

10.已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ，双曲线2C的方程为1x 2222=-b y a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C的渐近线方程为 （A ）02x =±y （B ）2=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =±答案：A解析：()222212222222224424412434422c a b e a a c a b e a a a b e e a b a b a -==+==-∴==∴=∴=±二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。

11.执行下面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 。

答案：3解析：根据判断条件0342≤+-x x ，得31≤≤x ，输入1=x第一次判断后循环，11,21=+==+=n n x x 第二次判断后循环，21,31=+==+=n n x x 第三次判断后循环，31,41=+==+=n n x x第四次判断不满足条件，退出循环，输出3=n12.在ABC V 中，已知tan AB AC A⋅=uu u r uuu r，当6A π=时，ABC V 的面积为 。

答案：61 解析：由条件可知A A cb tan cos ==⋅，当6π=A ，,32=bc 61sin 21==∆A bc S ABC13.三棱锥P ABC -中，,D E 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = 。

答案：41 解析：分别过C E ,向平面做高21,h h ，由E 为PC 的中点得2121=hh ， 由D为PB的中点得ABP ABD S S ∆∆=21，所以413131:2121=⋅=⋅=∆∆h S h S V V ABP ABD14.若46b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为20，则22ab +的最小值为 。

答案：2解析：将62)(xbax+展开，得到rr r r r x b a C T312661--+=，令3,3312==-r r 得.由203336=ba C ，得1=ab ，所以2222=≥+ab b a.15.已知函数()()y f x x R =∈，对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点()()()(),,,x h x x g x 关于点()(),x f x 对称，若()h x 是()24g x x =-()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是。

答案：102>b解析：根据图像分析得，当b x x f +=3)(与24)(x x g -=在第二象限相切时，102=b ，由)()(x g x h >恒成立得102>b .三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分） 已知向量()(),cos2,sin 2,a m x b x n ==v v，函数()f x a b=⋅v v ，且()y f x =的图像过点312π⎛ ⎝和点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭. （I ）求,m n 的值；（II ）将()y f x =的图像向左平移()0ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若 ()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间.解：（Ⅰ）已知x n x m x f 2cos 2sin )(+=⋅=，)(x f Θ过点)2,32(),3,12(-ππ36cos 6sin )12(=+=∴πππn m f234cos 34sin )32(-=+=πππn m f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+∴2212332321n m 解得⎩⎨⎧==13n m（Ⅱ）)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f)(x f 左移ϕ后得到)622sin(2)(πϕ++=x x g 设)(x g 的对称轴为0x x =，1120=+=x d Θ解得0=x2)0(=∴g ，解得6πϕ= xx x x g 2cos 2)22sin(2)632sin(2)(=+=++=∴πππzk k x k ∈≤≤+-∴,222πππz k k x k ∈≤≤+-,2πππ)(x f ∴的单调增区间为z k k k ∈+-],,2[πππ17.（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60,DAB ∠=o22AB CD ==，M 是线段AB 的中点. （I ）求证：111//C M A ADD 平面；B 1C 1D 1A 1DCBMA（II ）若1CD 垂直于平面ABCD 且1=3CD 求平面11C D M和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值. 解：（Ⅰ）连接1AD1111D C B A ABCD -Θ为四棱柱，11//D C CD ∴ 11D C CD =又M Θ为AB 的中点，1=∴AMAMCD //∴,AM CD = 11//D C AM ∴,11D C AM =11D AMC ∴为平行四边形 11//MC AD ∴又111ADD A M C 平面⊄Θ 111ADD A AD 平面⊂ 111//ADD A AD 平面∴（Ⅱ）方法一：11//B A AB Θ 1111//D C B A 共面与面1111D ABC M C D ∴作AB CN ⊥,连接N D 1则NC D 1∠即为所求二面角在ABCD 中，ο60,2,1=∠==DAB AB DC 23=∴CN在CN D Rt 1∆中，31=CD,23=CN 2151=∴N D方法二：作AB CP ⊥于p 点以C 为原点，CD 为x 轴，CP 为y 轴，1CD 为z 轴建立空间坐标系，)0,23,21(),3,0,0(),3,0,1(11M D C -∴)3,23,21(),0,0,1(111-==∴D D C设平面M D C 11的法向量为),,(111z y x =⎪⎩⎪⎨⎧=-+=∴03232101111z y x x )1,2,0(1=∴n显然平面ABCD 的法向量为)0,0,1(2=n5551,cos 212121==<∴n n n n显然二面角为锐角，所以平面M D C 11和平面ABCD 所成角的余弦值为555515321523cos 11====∠∴N D NC CN D18.（本小题满分12分）乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域,A B ，乙被划分为两个不相交的区域,C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（I ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（II ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.BA CD解：（I ）设恰有一次的落点在乙上这一事件为A10354615165)(=⨯+⨯=A P （II ）643210，，，，，的可能取值为ξ 1015121)6(,301151315321)4(15251615121)3(,515331)2(6153615131)1(,3015161)0(=⨯===⨯+⨯===⨯+⨯===⨯===⨯+⨯===⨯==ξξξξξξP P P P P P的分布列为ξ∴123 4 6ξP30161511523011 101309110163011415235126113010)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE 其数学期望为19.(本小题满分12分）已知等差数列}{na 的公差为2，前n 项和为nS ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。