记 A={从1号箱取得白球},
B ={从2号箱取得红球}
12
Ch2
定义
设 A, B 是两个事件,且 P( A) 0, 称 P(B A) P( AB) P( A)
为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，
简)
为事件 B 发生的条件下事件 A发生的概率， 简称A对B的条件概率.
Ch2
用乘法公式容易求出 P(W1W2R3R4) =P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
b bc r rc brbrcbr2 cbr3 c
当 c > 0 时，由于每次取出球后会增加下一次 也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次 发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.
Ch2
条件概率 P(B|A) 的计算
1) 缩减样本空间： 将 缩减为A=A， 采用古典概型来计算.
2) 用定义： P ( B A) P ( A B )
P ( A)
Ch2
条件概率P(BA)与概率P （AB)有何不同?
条件概率P(B|A) 中，A与B地位不同，且已知A 已发生作为条件。在概率P(AB）中，A，B同时 发生，地位相同。在应用时必须区别是 P(BA)还是P（AB)
Ch2
乘法公式应用举例
波里亚罐子模型
b个白球, r个红球
一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地 抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行 四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取 到红球的概率.
例如从6个正品2个次品的袋中，无放回抽 取2次，一次取一个。A={第一次为正品}， B={第二次为次品}，求（1）第二次才取 到次品的概率（2）已知第一次取到正品， B发生的概率。
Ch2
性质
条件概率是概率
(1 )非: 负 P (B A 性 )0 ;
( 2 )规 范 性 :P ( A ) 1 ,P ( A ) 0 ;
P A1A2A3 P A 1 P A 2 |A 1 P A 3 |A 1 A 2
11 211701190
3 200
.
Ch2
波里亚罐子(传染病）模型
b个白球, r个红球
一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取 一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个 与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四 次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到 红球的概率.
解：设 A = {活 20 岁以上} ， B = {活 25 岁以上}
则有P(BA)P(AB). P(A)
因P 为 (A )0.8, P(B)0.4, P (A) B P (B ), 所以 P(BA)P(AB) 0.4 1.
P(A) 0.8 2
Ch2
乘法公式
利用条件概率求积事件的概率即乘法公式
Ch2
随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进c个与所抽出
的球具有相同颜色的球.
b个白球, r个红球 解 设 Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4
Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4 于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、 第二个是白球，第三、四个是红球. ”
例1 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个Ch2 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 已知 第一次取得一等品，求第二次取得的是二等 品的概率.
解
令
Ai={第
i次取到一等品}， A1
P A2
A1
1 2
（1）
Ch2
例2 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一只 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少?
（1）
C
（也可直接按古典概型算
1 3
C
1 2
)
C 1C 1
Ch2
( 2 ) P ( A 1A 2 A 3 ) P A 1 P A 2A 1 P A 3A 1 A 2 (2) 213 1 15310430.5 10 3 5
Ch2
例 4 设 某 光 学 仪 器 厂 制 造 的 透 镜 , 第 一 次 落 下 时
打破的1,概 若率 第为 一次,落 第下 二未 次打 落 2
打破的 7,若 概前 率两 是,第 次三 未次 打落 破 破的概9率 1 ,试 0是 求透镜落破 下的 三概 .次率 未
10
解 设 A i透 镜 第 i次 落 下 打 破 ,i1,2,3,
则 A i透 镜 第 i次 落 下 未 打 破 ,i1,2,3,
乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率.
Ch2
例3 盒中装有5个产品, 其中3个一等 品，2个二等品, 从中不放回地取产品, 每次 1个, 求 （1）取两次，两次都取得一等品的概率;
（2）取三次，第三次才取得一等品的概率;
解 令 Ai ={第 i 次取到一等品}
(1 )P (A 1 A 2)P (A 1 )P (A 2A 1 )5 34 2 1 3 0
(1) 若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A).
(2) 若 P(A1A2 ······An1)>0，则 P(A1A2 ······An) = P(A1)P(A2|A1) ······P(An|A1A2 ······An1)
(3 )可 列 可 加 性 :设 B 1 ,B 2 , 是 两 两 互 斥 的 事
件 ,则 有
PBi AP(Bi A).
i1
i1
(4)P(BA)1P(B|A).
( 5 )P [ ( B 1 B 2 ） A ] P [ ( B 1 B 2 ） A ] P ( B 1 A ) P ( B 1 B 2 A ) ;
Ch2
条件概率与乘法公式
问题的提出：
1) 共n张彩票，有3张中彩.
3
问： 第2个人中彩的概率为多少？ n
2) 共n张彩票，有3张中彩.
问：已知第l个人摸中，则 第2个人中彩的概率为多少？ 2
n 1
Ch2
条件概率与乘法公式
有二个箱子,分别编号为1,2. 1号箱装有1个红球4 个白球,2号箱装有2红3白球. 某人从1号箱中任取一 球放入2号箱,再从2号箱中任意摸出一球, 求已知从1号箱取出白球的条件下从2号箱取得红球 的概率.