高中数学总复习-三角函数第5课 三角函数的图像和性质(一)【考点导读】1. 能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦 函数在［0,2 ］，正切函数在(一,一)上的性质；2 22. 了解函数y Asin( x )的实际意义，能画出y A si n( x )的图像；3. 了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 【基础练习】动的最小正周期T _____L_；初相 —-2.三角方程2sin(_ - x)=1的解集为4. 要得到函数y sinx 的图象，只需将函数 y cos x______ - ____ 个单位. 【范例解析】例 1.已知函数 f (x) 2sin x(sin x cosx).(I)用五点法画出函数在区间 ——上的图象，长度为一个周期；2’ 2(H)说明f(x) 2s in x(si nx cosx)的图像可由y si nx 的图像经过怎样变换而1.已知简谐运动f(x) 2sin (3X )(2)的图象经过点(0，1)，则该简谐运3.函数 y Asin( x )( 0,尹R)的部分图象如图所示，则函数表达为y4si n( x ) 8 4的图象向右平移分析：化为Asin( x )形式.得到•列表，取点，描图:x33588888y11逅1 1 V21故函数y f(x)在区间［-，2］上的图象是:(U)解法一：把y sinx图像上所有点向右平移—个单位，得到y sin(x )4 41的图像，再把y sin(x -)的图像上所有点的横坐标缩短为原来的丄(纵坐标不4 2变)，得到y si n(2x —)的图像，然后把y sin(2x —)的图像上所有点纵坐标4 4伸长到原来的倍(横坐标不变)，得到y 2 sin(2x -)的图像，再将4y . 2 sin(2x )的图像上所有点向上平移1个单位，即得到4y 1 - 2 sin(2x -)的图像.1解法二：把y sinx图像上所有点的横坐标缩短为原来的-(纵坐标不变)，得2到y sin 2x的图像，再把y sin 2x图像上所有点向右平移—个单位，得到8解：(I)由f(x)2sin2x 2sin xcosx 1 cos2x sin 2x2(sin 2x cos —4cos2xs in )4 2sin(2x 4).分析：化为Asin( x )形式.x -)的图像上所有点纵坐标伸长到原来 的2倍(横坐标不变)，得到y 、2sin(2x)的图像，再将y 二sin(2x) 44的图像上所有点向上平移1个单位，即得到y 1 ,2sin(2x -)的图像. 4例2.已知正弦函数y Asin( x ) (A 0, 0)的图像如右图所示.(1) 求此函数的解析式f 1(x)；(2) 求与fdx)图像关于直线x 8对称的曲线的解析式f 2(x); (3) 作出函数y h(x) f 2(x)的图像的简图.£(x) 一 2sin(gx 4).(2)设函数f 2(x)图像上任一点为M(x,y)，与它关于直线x 8对称的对称点为M (x,y)，f 2(x)2sin (尹 4)y sin(2x —)的图像，然后把y sin(2 分析：识别图像，抓住关键点. 解：(1)由图知，A 伍,Q 2 将x 2， y 2代入，，即 y 2 sin( x ).88 、、2sin (— ).2，解得一，即(6 2) 16，8得 28，解得y y. 16 x,y.代入 f 1(x) 、2sin( x84-)中，得(3) y f i(x)示.点评：由图像求解析式，A比较容易求解，困难的是待定系数求和，通常利用周期确定，代入最高点或最低点求【反馈演练】1. 为了得到函数y 2sin（°）,x R的图像，只需把函数y 2sin x，x R的图3 6像上所有的点①向左平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的-倍（纵坐6 3标不变）；②向右平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的-倍（纵坐6 3标不变）；③向左平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐6标不变）；④向右平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐6标不变）.其中，正确的序号有__③_ .62. 为了得到函数y sin（2x ）的图象，可以将函数y cos2x的图象向右平移___ 个单位长度.—3 —65. 下列函数:其中函数图象的一部分如右图所示的序号有y Asin( x ) b(1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段时间的函数解析式.n __7.如图，函数y 2cos( x )(x R ， >0,0< <-)的图象与y 轴相交于点(0, 3)，且该函数的最小正周期为(1)求和的值;(2)已知点A n ,0，点P 是该函数图象上一点，点23.若函数 f(x) 2sin( x )，x R (其中 0， 2)的最小正周期是， 且 f(0)、3，则3_2 ______ 4.在0,2 内，使sin x5 4盲cosx 成立的x 取值范围为 ________① y sin x —6② y sin 2x③ y cos 4x — 3④ y cos 2x6. 如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数解：(1)由图示，这段时间的最大温差是 30 10 20 °C(2)图中从6时到14时的图象是函数yAsin( x )b 的半个周期• •• 1 — 14 6，解得21由图示，A —(30 10)2101 b 2(1030) 2020这时，y 10sin(8x )将x 6,y10代入上式，可取3 4综上，所求的解析式为y 10si n( —x —) 8 420 ( x [6,14])第6题第7题当y 。

n时，求X 。

的值. 解：（1）将 x 0 , y ,3代入函数y 2cos( x )得 cos因为0 < W —,所以 -. 2 6 又因为该函数的最小正周期为，所以 2 , 因此 y 2cos 2x — 6(2)因为点A —,0 ， 2 Q(x °,y °)是 PA 的中点，y ° 所以点P 的坐标为2x 0 又因为点P 在y 2cos 2x 的图象上，所以cos 6 4x 0 56因为一w x 0 <2 5 从而得4x 0 — 6 即x 0 — 或x3xo ，所以—<6 11 ——或4x 。

64 .4x o 5 19 5 = W ，13 6 .第6课三角函数的图像和性质(二)【考点导读】1. 理解三角函数y sinx , y cosx , y tan x的性质，进一步学会研究形如函数y Asin( x )的性质；2. 在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究.【基础练习】1.写出下列函数的定义域：(1)y Qsin £的定义域是{ x 6 k x 6k 3 , k Z } ；(2)y s^的定义域是x x k 孑,k Z} _cosx 22 .函数f (x) = | sinx+cosx|的最小正周期是_________________ .3. 函数f(x) sin(x ) sin2(x )的最小正周期是4 4f 一，0)4. 函数y=sin(2x+§)的图象关于点3 对称.5. 已知函数y tan x在(一一，一)内是减函数，贝U 的取值范围是2 2【范例解析】例1.求下列函数的定义域：(1) y . 2si nx 1 ; (2) y 2 log1x ta nx .tan x V 7x k一x k2,2解：f 1) ta n x0,即x k J2sin x10.2k2k7一x66故函数的疋义域为{x2k x2k7且x k , x k-,k Z}662224 222 log 1 x(2)2 tan x 0. 0, 0 即 kx 4,故函数的定义域为 (0,—) 2 点评：由几个函数的和构成的函数, 其定义域是每一个函数定义域的交集；第(2)问可用数轴取交集. 例2•求下列函数的单调减区间: (1)y sin(i 2x);(2)2cos x ； sin( x )4 2因为2k 2 3 2x 2k -,故原函数的单调减区间为[k —](k Z). 12(2) 由 sin(7 /，得{x2k-，k Z},2cosx2)4sin(；-),所以该函数递减区间为2k -3 2kQ ，即(4 k 5y )(k Z ).点评:2,4k 利用复合函数求单调区间应注意定义域的限制. 例3. 求下列函数的最小正周期: (1)5tan(2x 1) ； (2) y sin x — sin x —3 2解: (1)由函数y 5tan(2x 1)的最小正周期为-, 2 得y 5tan(2x 1)的周期(2) y sin(x評n(x)(sin xcoscosxs in )cosx 23 31 . sinxcosx .3 21 . c 3 1 cos2x cos xsin2x子 1sin(2x 3) T点评：求三角函数的周期一般有两种：(1)化为Asin( 公式求解；(2)利用函数图像特征求解.【反馈演练】1 ■.2 cos 2 从而f () --------------------------nsin1 .函数 y sin 4 x cos2 x 的最小正周期为22 .设函数f(x) sin x 一3(x R)，则 f(x)在［0,2 丄—乙］厶乞］］上的单调递减区间为6 ' 33. 4. 函数f(x) sinx 亦cosx(x ［ ,0］)的单调递增区间是 __ 2 设函数f(x) sin 3x |si n3x|,贝U f (x)的最小正周期为__3 5. 函数f (x) cos 2 x 2cos 2 x在［0 ,］上的单调递增区间是［3，］ 6. 1 、2 cos 2x —已知函数f (x) 4nx —2 sinI)求f(x)的定义域;(U)若角在第一象限且 cos3，求 f().5解：(I)由 sin x2 k n，即 xnk n2(k Z ).故f (x)的定义域为x R | x k n(U)由已知条件得 sin■■■ 1cos 2x )的形式特征，禾I 」用n ncos — sin 2 sin —4 4 cos21 cos2 sin 2 2cos 2sin coscoscos7.设函数 f(x) sin(2x )(0), y f (x)图像的一条对称轴是直线x8(I)求；(川)画出函数y f (x)在区间［0,］上的图像. 3(川)由y sin(2x——)知故函数y f(x)在区间［0,］上图像是2(cos sin )145(U)求函数yf(x)的单调增区间;sin(2- ) 1_k,k Z.0, 3 .424(U)由 (I )知3J,因此y 3 sin (2x).44由题意得 2k_ 2x 32k,k Z.24 2所以函数 y sin (2x3 4•)的单调增区 间为［k -,k8 Z.解：⑴x 8是函数y f(x)的图像的对称轴，第7课三角函数的值域与最值【考点导读】1•掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；2. 求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法.【基础练习】1. _______________________________________________ 函数y sinx 3cosx在区间[0,—]上的最小值为 _________________________________ 1 _____ .2 31 -2. ______________________________________________ 函数f （x） cosx cos2x （x R）的最大值等于_4 ______________________________ .23. 函数y tan（— x）（— x 一且x 0）的值域是（，1 ] [ 1 > ）.2 4 4. 24. 当0 x —时，函数f（x）1 cOs2x 8sin x的最小值为 4 .2 sin 2x【范例解析】1例1. （1）已知sin x siny -，求sin y cos2 x的最大值与最小值.3（2）求函数y si nx cosx si nx cosx的最大值.分析：可化为二次函数求最值问题.1 2解：（1）由已知得：si ny si nx，Q si ny [ 1,1]，则sin x [ ,1].3 3si ny cos2 x （s in x 丄）2 11，当si nx 丄时，si ny cos2 x 有最小值11；当2 12 2 12sin x2时, sin y cos2 x有最小值439(2) 设sinx cosx t ( ,2 t2)t2 1 1 1，贝U sin x cosx ，贝U y t t2 2 2当t、迈时, 1y有最大值为-22.点评: 第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围.2 cosx例2•求函数y 2 COSX(0 x )的最小值.sin x分析：利用函数的有界性求解.解法一：原式可化为ysinx cosx 2(0 x )，得..1 y2sin(x ) 2，即2sin(x ) ^=2，J i y2故21，解得y 、、3或y .3 (舍)，所以y的最小值为3 .1.1 y2解法二：y 2 COsx(0 x )表示的是点A(0, 2)与B( sinx,cosx)连线的斜率，si nx其中点B在左半圆a2 b2 1(a 0)上，由图像知，当AB与半圆相切时，y最小，此时k AB 3，所以y的最小值为,3 .点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解.例3.已知函数f (x) 2sin 2 n x V3COS2X，x n n4，.4(I)求f (x)的最大值和最小值；(II)若不等式f(x) m2在x4，-上恒成立求实数m的取值范围.分析：观察角，单角二次型，降次整理为asinx bcosx形式.解: (I)•- f(x) 1 cos2x23 cos2x 1 sin2x.3 cos2x12sinn2x —3又•xn n—，—，•冗< 2xn 2 n-< 一，即 2 < 1 2sin 2x冗<3，4 26 3 33f (x)max3, f (x)min 2.(n) v f (x) m 2 f (x) 2 m f (x) 2， x n ,n ，4 2• m f (x)max2 且 m f (x)min2，••• 1 m 4，即m 的取值范围是(1,4).点评：第(U)问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最 值问题.本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识， 以及运用三角公式、 角函数的图象和性质解题的能力. 【反馈演练】3n、2 sin 5、2 cos — 1，42 4 4解：(I) f(x) 2cos x(si nx cos x) 1sin2x cos2x 2 sin 2x n4因此，函数f(x)的最小正周期为冗・(n)因为 f(x)云in2x n在区间n 3 * * * * 8n 上为增函数，在区间丁, 3n 上 1 .函数cos(―6x)(x R)的最小值等于 ______ 二1 2.当0 3.函数 2cos上-的最小值是 cosxsin xsin x _的最大值为3 ，最小值为3—时，函数 4 sin x f(x)cosx 24.函数cosx tan x 的值域为(1,1).为减函数，又fn 0「3n• 2 ,f故函数f(X)在区间n3n上的最大值为J，最小值为1•。