第六章 弯曲变形
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第六章 弯曲变形
§6-1 概述 §6-2 挠曲线的近似微分方程 §6-3 用积分法求梁的变形 §6-4 用叠加法求梁的变形 §6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施 §6-6 用变形比较法解简单超静定梁
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§6-1 概 述
6-1
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§6-1 概 述
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§6-1 概 述
M(x)
F(x
l)
积分一次 EI dy EI 1 F(x l)2 C
dx
2
再积分一次
EIy 1 F (x l)3 Cx D 6
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§6-3 用积分法求梁的变形
4）由位移边界条件确定积分常数
x 0, A 0
x 0, yA 0
代入求解
C 1 Fl2, D 1 Fl3
2
6
FAy x1
x2
a
ymax
b
EI 2
Fb 2l
x22
F 2
( x2
a)2
Fb 6l
(l 2
b2 )
B B x
FBy
EIy2
Fb 6l
x23
F 6
( x2
a)3
Fb 6l
(l 2
b2 )x2
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§6-3 用积分法求梁的变形
6）确定最大转角和最大挠度
令 d 0
dx
得，
l a x
l , max
B
Fab 6EIl
D1 D2 0
y
F
A
A
DC
FAy x1
x2
a
ymax
b
B B x
FBy
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§6-3 用积分法求梁的变形
5）确定转角方程和挠度方程
AC 段： 0 x1 a
y
F
EI1
Fb 2l
x2 1
Fb 6l
(l 2
b2 )
A
A
DC
EIy1
Fb 6l
x3 1
Fb 6l
(l 2
b2 )x1
CB 段： a x2 l
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§6-2 挠曲线的近似微分方程
1.基本概念
y
x
转角 挠度 y
挠曲线方程：
挠曲线
y y(x)
挠度y：截面形心 在y方向的位移
x
y 向上为正
转角θ：截面绕中性轴转过的角度。 逆钟向为正
由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
挠度转角关系为： tan dy
dx
6-2
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§6-2 挠曲线的近似微分方程
FAy
x2
F ( x2
a)
Fb l
x2
F ( x2
a),
a x2 l
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§6-3 用积分法求梁的变形
3）列挠曲线近似微分方程并积分
AC 段： 0 x1 a
EI
d 2 y1 dx12
M ( x1 )
Fb l
x1
EI
dy1 dx1
EI ( x1 )
Fb 2l
x2 1
C1
EIy1
Fb 6l
x3 1
C1 x1
D1
CB 段：
a x2 l
y
F
A
A
DC
FAy x1
x2
a
ymax
b
EI
d 2 y2 dx22
M(x2 )
Fb l
x2
F(x2
a)
EI dy2 dx2
EIy2
EI
(x2 )
Fb 2l
x2 2
Fb 6l
x3 2
F 6
( x2
a)3
F 2
( x2
a)2
C2 x2 D2
C2
B B x
FBy
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§6-3 用积分法求梁的变形
4）由边界条件确定积分常数
位移边界条件
x1 0, y1(0) 0 x2 l, y2(l) 0
光滑连续条件
x1 x2 a, 1(a) 2 (a)
x1 x2 a, y1(a) y2 (a) 代入求解，得
C1
C2
1 6
Fbl
Fb3 6l
2.挠曲线的近似微分方程
推导弯曲正应力时，得到：
1M
ρ EIz
忽略剪力对变形的影响
1 M(x)
( x) EIz
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§6-2 挠曲线的近似微分方程
由数学知识可知：
d2y
1
dx 2
[1 ( dy )2 ]3
dx
略去高阶小量，得
1 d2y
dx2
所以
d2y dx 2
M(x) EIz
y M (x) > 0
5）确定转角方程和挠度方程
y
Ax
yB
l
EI 1 F ( x l)2 1 Fl 2
2
2
EIy 1 F ( x l)3 1 Fl 2 x 1 Fl 3
6
2
6
6）确定最大转角和最大挠度
x l,
max B
Fl2 , 2EI
ymax
yB
Fl 3 3EI
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F Bx
B
§6-3 用积分法求梁的变形
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§6-3 用积分法求梁的变形
挠曲线的近似微分方程为：
d2y dx 2
M(x) EI z
积分一次得转角方程为：
EIz
d2y dx 2
M(
x)
EI z
dy dx
EI z
M ( x)dx C
再积分一次得挠度方程为：
EIz y M( x)dxdx C x D
6-3
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§6-3 用积分法求梁的变形
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续
条件确定。
位移边界条件
光滑连续条件
~
AA
~~
~
~
A
A
A A AA
A AA A
~
~
yA 0
yA 0
A 0
~ ~~ ~~
A
A AAA
A
A AA
A
A AA A
~ ~~
~ ~ ~
~
~
yA
－弹簧变形
yAL yAR
AL AR
yAL yAR
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§6-3 用积分法求梁的变形
例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的EI已知，l=a+b，a>b。
解 1）由梁整体平衡分析得：
FAx
0, FAy
Fb l
,
FBy
Fa l
2）弯矩方程
AC 段：
M x1 ,0
x1
a
y
F
A
A
DC
FAy x1
x2
a
ymax
b
B B x
FBy
CB 段：
M x2
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
y
F
FAx 0, FAy F (), M A Fl( ) A x
2）写出x截面的弯矩方程
yB
l
Bx
B
M(x) F(l x) F(x l)
3）列挠曲线近似微分方程并积分
EI
d2y dx 2
(
)( )
令 dy 0 dx
得，
y
F
A
A
DC
FAy x1
x2
a
ymax
b
B B x
FBy
x
l2 b2 ,
3
Fb (l 2 b2 )3 ymax 9 3EIl ( )
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§6-3 用积分法求梁的变形
讨论 积分法求变形有什么优缺点？
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§6-4 用叠加法求梁的变形
设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩 为M(x)，转角为 ，挠度为y，则有：
EI d 2 y EIy'' M( x) dx 2
M (x) > 0
d2y
dx 2 > 0
x
O
y
M (x) < 0
M (x) < 0
d2y
dx 2 < 0
x
O
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§6-2 挠曲线的近似微分方程
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲 线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方 程为：
d2y dx 2
M(x) EIz
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角 和挠度。