主系数δii表示基本体系由Xi=1产生的Xi方向上的位移 付系数δik表示基本体系由Xk =1产生的Xi方向上的位移 自由项ΔiP表示基本体系由荷载产生的Xi方向上的位移
对于n次超静定结有n个多余未知力X1、 X2、…… Xn，力法基本体系与原 结构等价的条件是n个位移条件，Δ1=0、 Δ2=0、 ……Δn=0，将它们展开
力法校核 1）阶段校核： ①计算前校核计算简图和原始数据，基本体系是否几何不变。 ②求系数和自由项时，先校核内力图，并注意正负号。 ③解方程后校核多余未知力是否满足力法方程。
q=23kN/m 6m
q=23kN/m
↑↑↑↑↑↑↑ ↑↑↑↑↑↑↑
§9.6 超静定结构的位移计算
由此求得
CG
D
当
{
Δ1=0 Δ2=0
完全一样。
力法的特点： 基本未知量——多余未知力； 基本体系——静定结构； 基本方程——位移条件——变形协调条件。
2、多次超静定结构的计算
δ11
d
q ii
主↓↓M↓系E↓↓Ii↓2数↓↓Bd恒s 为0正,d＝i，k 付基ΔΔ系本B↓HBM↓=V体=↓Δ数Δ↓E系↓i↓M21=I、↓0↓=Xk0自2 dδBs由1X＝21项000可,Di正P ×可X1 负M＋可Ei M为I XP1零=1dδ。s21主000
2） NP、QP、MP实际荷载引起的内力，是产生位移的原因； 虚设单位荷载引起的内力是
N ,Q , M
3） 公式右边各项分别表示轴向变形、剪切变形、弯曲
变形对位移的影响。
4）梁和刚架的位移主要是弯矩引起的
D iP
MM P dx
EI
5）桁架
D
NN Pl
iP
EA
6）桁梁混合结构
Δ=
MM EI
P
- x) Px(l (x 2l )
-
x
))
5ql4 ql
6EI
385EI 4k
求ΔDV
P
P
P
B
C
3m
A －8P
8P 3P
D 4m×3=12m
ห้องสมุดไป่ตู้
0 －4/3
0
00 0
P=1
0
0
0 0
0
D DV
1 EA
3P135P
55 3
4P
4 3
4
72 P EA
第九章
力法
§9.1 超静定结构的组成和超静定次数
a）位于对称轴上的截面的位移 uc=0、θc=0， 内力 QC=0
C
NC
MC
NC
EI
P EI
EI
P
P
P
QC
C
P
P
C
P
C
等代结构
b）奇数跨对称结 构的等代结构是将 对称轴上的截面设 置成定向支座。
P
P 对称：uc=0,θc=0
中柱：vc=0
C
对称：uc=0 中柱：vc=0
对称：uc=0,θc=0
中柱：Cvc=0
5) (8–10)右边四项乘积，当力与变形的方向一致时，乘积取正。
5、弹性体系荷载作用下的位移计算
Dkp
NNP ds EA
kQQP ds GA
MMP ds （8–15） EI
1）EI、EA、GA分别是杆件截面的抗弯、抗拉、抗剪刚度； k是一个与截面形状有关的系数，对于矩形截面、圆形 截面，k分别等于1.2和10/9。
的广义单位荷载。
A P=1
B
求A点的 水平位移
m=1 求A截面 的转角
P=1 m=1 m=1
P=1 求AB两截面
求AB两点
的相对转角
的相对位移
l
1/l
1/l
求AB两点 连线的转角
6、 图乘法
D
MM EI
P
dx
w y0
EI
①∑表示对各杆和各杆段分别图乘而后相加。
②图乘法的应用条件：
a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图
束
的 方 式：
（2）撤除一个铰支座、 撤除一个单铰或撤除一个滑动支 座，等于撤除两个约束。
（3）撤除一个固定端或切断一个梁式杆，等于撤除三个约束。
撤除约束时需要注意的几个问题：
（1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
X1
X1
X3
X3
X3
X2
X1
X2
（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替， 撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。
δ11X1+ δ12X2+……+ δ1nXn+ Δ 1P=0
δ21X1+ δ22X2+……+ δ2nXn+ Δ 2P=0 …………………………………………
δn1X1+ δn2X2+……+ δnnXn+ Δ nP=0
或： Δi=∑δijXj+ Δ iP=0
i，j=1，2，……n
计算刚架的位移时，只考虑弯曲的影响。但高层建筑的柱要考虑轴力影响， 短而粗的杆要考虑剪力影响。
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
ql2/8
试用单位荷载法求出梁的挠 曲线。
B
MP
l
ql/2
Pl
Px
P
A
P=1 B
MP
l
M MM
l/4
NN
l－x
1/2
M
P=1
x
D
P dx P
C
EI
1 2 EI 3
l 2
k ql 2
8
5 8
l 4
2
1 2
yq(lx) 2k
l-x 6EI
P
(2Pl(l (l - x)2
EI l
D
MM EI
ds
NN EA
ds
kQ Q GA
ds
M
aDt
h
ds
Nat0ds
-
R
c
3Pl/16
P=1 l/4
a
1/2 5P/16
3EI l
-
a l
l/2
l/2
M P=1
( ) D 由WE112功=I0的12互等4l 定l理得12到3：EWl2W1I=12Δ=Wc2×1-1+al∑R*×-c=12W12-=0a
由平衡条件求
不产生内力
静 定 结
变 形
κ = —MEεI = —ENA γ=——kGQA κ= α—Δ—th
ε=αt0
构
位 移
D
MM EI
ds
D
M
aDt
h
ds
不产生变形
D -R c
内 超力
综合考虑平衡条件和变形连续条件来求
静 定 结
变 形
κ = —MEεI = —ENA γ=——kGQA κ=——MEI＋α—Δ—th ……
等代结构
P
P
P
P
等代结构
b）2奇、数对跨称对结称构结构在的反等对代称结荷构载是作将用对下称轴，上内的力截、面变设形置及成位支移杆。是反对称的。
a）位于对称轴上的截面的位移
vc=0 ， 内力 NC=0，MC=0
C
NC
MC
NcC）偶数跨对称结构的等代结构
EI
P EI
EI
P
P
将中柱刚度折半，结点形式不变 P
ds
NN P EA
l
用于桁架杆
用于梁式杆
7）拱 通常只考虑弯曲变形的影响精度就够了；仅在 扁平拱中计算水平位移或压力线与拱轴线比较接近时 才考虑轴向变形对位移的影响，即
MM
NN
D
P ds
P ds
EI
EA
8）该公式既用于静定结构和超静定结构。但必须是弹性体系
9）虚拟力状态：在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应
期末总复习
1
第八章
静定结构位移计算
1、计算结构位移主要目的
a）验算结构的刚度； b）为超静定结构的内力分析打基础。
2、产生位移的原因主要有三种
a）荷载作用； b）温度改变和材料胀缩； c）支座沉降和制造误差
3、变形体系的虚功原理:
状态1是满足平衡条件的力状态，状态2是满足变形连续条件的位移状态， 状态1的外力在状态2的位移上作的外虚功等于状态1的各微段的内力在状 态2各微段的形上作的内虚功之和
2）正负规定：
8 静定结构由于支座移动而产生的位移计算
D - R •c
ic
K
K
1）该公式仅适用于静定结构。 2）正负规定：
9 互等定理 •适用条件：弹性体系（小变形，σ=Eε） •内容
W12= W21
d12d 21
r12=r21
16kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
求图示刚架C铰左右两截面的 相对转动。EI=5×104kN.m
3 l 5 a
16 16
Δc= －∑R*×c
这里R*是超静定结构由单位
DDE--1I-11236l 2l
-2l 156a65
3E1l36lI15-6
a al
( ) -荷l载产-生的支座3反力l
2 16
5 16
a
静定结构和超静定结构在各种因素作用下的位移计算公式一览表
荷载作用
温度改变
支座移动
内 力
T N ds Q ds M ds
12
12
12
12
4、结构位移计算的一般公式
注：1)
( ) D
N
2