模拟试题一一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分）1、若B A ,为n 阶方阵，则 B A B A +=+. ……………………( × )2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆. ……………………………( √ )3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( )4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( )5、设A 是n 阶方阵，且0=A ，则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合. …………………………………………………………( )二、填空题：(每空2分，共20分)1、,A B 为 3 阶方阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= 12 .2、行列式中元素ij a 的余子式和代数余子式,ij ij M A 的关系是 .3、在5阶行列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是 .4、已知()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==256,102B A 则=AB 10 .5、若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225A ，则=-1A . 6、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2100013011080101是4元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵,则b Ax =的通解为 .7、()B A R + 《 ()()B R A R +. 8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA E .9、设=A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-500210111t ，则当t 5 时，A 的行向量组线性无关. 10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为 . 三、计算：(每小题8分，共16分)1、已知4阶行列式1611221212112401---=D ，求4131211132A A A A +-+.2、设矩阵A 和B 满足B A E AB +=+2，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，求矩阵B .四、(10分) 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-++=--+-=++-024*********4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解.五、(10分) 设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011λλλλλλλλλλ， 讨论当λ取何值时，b Ax =无解，有唯一解和有无穷多解，并在无穷多解时求出通解.六、(10分) 判断向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1622,4647,3221,1123:4321a a a a A 的线性相关性，如果线性相关，求一个最大无关组，并用它表示其余向量. 七、综合计算：（本题14分）已知二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f --+= （1）求二次型所对应的矩阵A ，并写出二次型的矩阵表示； （2）求A 的特征值与全部特征向量；（3）求正交变换PY X =化二次型为标准形, 并写出标准形； （4）判断该二次型的正定性。

八、证明题：(每小题5分，共10分)1、已知向量321,,a a a 线性无关，证明 1333222115,4,32a a b a a b a a b +=+=+=线性无关.2、某矿产公司所属的三个采矿厂321,,a a a ，在2011年所生产的四种矿石54321,,,,b b b b b 的数量（单位：吨）及各种矿石的单位价格（万元/吨）如下表：（1）做矩阵53⨯A 表示2011年工厂i a 产矿石j b 的数量)5,4,3,2,1;3,2,1(==j i ； （2）通过矩阵运算计算三个工厂在2011年的生产总值.模拟试题二一、 判断题（正确的打√，不正确的打⨯）（每小题2分，共10分） （ ） 1、设,A B 为n 阶方阵，则A B A B +=+； （ ） 2、可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E ； （ ） 3、设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1-r 阶子式必不是零；（ ） 4、 若12,x x ξξ==是非齐次线性方程组Ax b =的解，则12x ξξ=+ 也是该方程组的解.（ ） 5、n 阶对称矩阵一定有n 个线性无关的特征向量。

二、 填空题（每小题2分，共16分） 1、排列的逆序数是 ；2、设四阶行列式32142143143243214=D ，则=+++44342414432A A A A ，其中ij A 为元素ij a 的代数余子式；3、设A 、B 均为5阶矩阵，2,21==B A ，则=--1BA ； 4、)(5)(2)(3321α+α=α+α+α-α，其中T )3,1,5,2(1=α，T )10,5,1,10(2=αT )1,1,1,4(3-=α，则=α ；5、已知向量组:A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α12,221k ，向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11b ，当k 时，b 可由A 线性表示，且表示法唯一；6、设齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵通过初等行变换化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000020103211，则此线性方程组的基础解系所含解向量的个数为 ； 7、设向量(1,2,1)T α=--，β=()T2,,2λ-正交，则λ= ；8、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征 值为 。

三、计算题（每小题8分，共16分）1、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1201,1141B A ，求矩阵AB 和BA 。

2、已知矩阵111211111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，236B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，660C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求矩阵方程AX B C -=。

四、 计算题（每小题8分，共16分）1、已知向量组123120,2,2012k k k k ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）k 取何值时，该向量组线性相关；（2） k 取何值时，该向量组线性无关， 说明理由。

2、已知二次型323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=， (1) 写出此二次型对应的矩阵A ;(2) 判断该二次型是否正定二次型，说明理由。

五、 计算题（每小题10分，共20分）1、设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----43333320126624220121.求：（1）矩阵A 秩；（2）矩阵A 的列向量组的一个最大线性无关组。

．2、求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++=+++522132243143214321x x x x x x x x x x x 所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。

六、（12分）设矩阵131011002A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭(1) 求矩阵A 的特征值和全部的特征向量；(2) 求可逆矩阵P ，使得1P AP -=Λ（其中Λ是对角矩阵），并写出对角矩阵Λ。

七、（5分）证明题设方阵A 满足2A A E O +-=，证明：A 可逆并求它的逆矩阵。

八、（5分）应用题假设我们已知下列涉及不同商店水果的价格，不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩阵：21商店商店 梨橘子苹果 21人员人员梨橘子苹果⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10.020.015.010.015.010.0 21人员人员⎥⎦⎤⎢⎣⎡5351045 21城镇城镇⎥⎦⎤⎢⎣⎡100050020001000 设第一个矩阵为A ，第二个矩阵为B ，而第 三个矩阵为C 。

（1）求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少？ （2）求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？模拟试题三一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分）1、B A ,为n 阶方阵则 BA AB = （ ）2、设A 为)n m (n m <⨯矩阵，则b Ax =有无穷多解。

（ ）3、向量组1A 是向量组A 的一部分，向量组1A 线性无关，则向量组A 一定线性相关； （ ）4、设21,λλ是方阵A 的特征值，则21λλ+也是方阵A 的特征值。

（ ） 5、4个3维向量一定线性相关。

（ ） 二、填空题：(每空2分，共20分)1、已知A 为3阶方阵，且2A =-，则2A -= ；2、六阶行列式中某项645342362115a a a a a a 带有的符号为 ；3、设A 为n 阶方阵，满足2A A E -=，则1A -= ；4、设12,ξξ是n 元非齐次线性方程组Ax b =的两个解，且A 的秩()R A 1=-n ，则Ax b =的通解x = ；5、设非齐次线性方程组的增广矩阵为B =2102-1101-3000001-)1k k k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭（，则k = 时方程组无解， 当k = 时方程组有无穷解，此时该方程组对应的齐次线性方程组的基 础解系中有 个向量。

6、二次型xz z y xy x f 44642222+--+-=的秩为 ，正定性为 （请选正定、负定、不定之一）。

7、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 322-+=，则B 的特征值为 。

三、计算：(每小题8分，共16分)1、已知4阶行列式1111201212112101---=D ，求4131211122A A A A +++2、已知111121113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试判断A 是否可逆。

若可逆，求1-A ，若不可逆，求A 的伴随矩阵A *四、计算：(每小题10分，共20分)1、求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++-=--+-=++-034220222402024321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解。

2、已知线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=---=++a z y x z y x z y x 223320有解，求a ，并求全部解；五、 (10分)判断向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1210,1012,0212,11014321αααα 的线性相关性，并求它的一个最大无关组，并用最大无关组表示该组中其它向量。

六、综合计算：（本题14分）二次型212322213212),,(x x x x x x x x f +++=（1）求二次型所对应的矩阵A ，并写出二次型的矩阵表示 （2）求A 的特征值与全部特征向量；（3）求正交矩阵P ，使AP P 1-为对角形矩阵。