普通高中课程标准实验教材数学1（必修）北师大版
第四章 函数应用
§1 函数与方程
1.理解函数零点的概念，领会函数零点与相应方程解的关 系.(重点) 2.掌握零点存在的判定方法．(难点)
1.方程 2x 3 0的根是：
2.函数 y 2x 3的图像
8
6
与 x 轴交点坐标为
4
2
x 3.方程的根与函数图像与 轴 15
如果有请给出一个实数解的存在区间。
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1.一个概念一组关系一个定理： 函数
零点
数值 存在性 个数
方程 根
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零点存在定理:
y
.
0 a.
bx
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续
曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即
f(a)·f(b)<0，则在区间（a,b）内，函数y=f(x)
至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)
例 2: 判断方程 4x3 + x -15 = 0, 在区间[1,2]内 实数解地存在性，并说明理由。
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例3: 判断方程 2x x 2 0 是否有实数解，
2
在 区 间 (-2,0) 上 有 零 点 _-_1_ ；
-2
-1
1 0
12
345 x
-1
f (2) __5__， f (0) _-_3_；
-2 -3
f (2) · f (0) __<__0（＜或＞）．
-4
在区间(2,4)上有零点__3__；
f (2) · f (4) _<___0 （＜或＞）．
并说明理由。
3.判断方程 x3 x 1 0在区间[1,2]内有没有实数解？
4.判断方程 lg x x 0 是否有实根？并指出所在区间。
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思考题： 方程 ln x 2x 6 0 存在实数解吗？怎样判别？
函数y=f(x)的图像与x轴 有交点
数
形
数
函数y=f(x)有零点
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函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？ 怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？
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A.（1，2） B.（–2，0） C.（0，1） D.（0，0.5 ）
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例 1: 已知函数 f (x) 3x x2 ，问：方程 f (x) 0 在区间 [-1，0]内有没有实数解？为什么?
解:因为 f ( 1) 3 1 ( 1)2
2 0, f (0) 30 02 1 0 ，函数
3
f (x) 3x x2 的图像是连续曲线，
所以 f (x) 在区间[-1,0]内有零点，即 f (x) 0 在区间[-1， 0]内有实数解。
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1.函数y x2 2x 3的零点是
2.由函数图像观察在其零点左右函数值得符号。
8
6
4
2
B = –1
C = 3.00
15
10
5
f(x) = x2 2∙x 3 2
5
10
15
4
6
8
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y
探究:
5 4
3
观察函数 f (x) x2 2x 3 的图象：
如果有给出一个实数解的存在区间。(0，2)
8
6
4
y = 2x
2
15
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5
5
2
y=2 x
4
6
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10
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1.判断函数 f (x) x2 -2x-1 在区间[2,3]内是否有零点。 2.求证：函数 f (x) x3+x2 +1在区间[-2，-1]内存在零点，
10
f(x) = 2∙x 3
5
5
A = 1.5
10
15
交点的坐标有什么关系？
2
4
6
8
1.定义
函数的零点
函数的零点 ：我们把函数y=f(x)的图像与横轴的交点的
横坐标称为这个函数的零点.
零点是实数 而不是点
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等价关系
方程f(x)=0有实数根
内至少有一个实数解.
思考：连续函数在区间（a,b）内有零点则
一定有 f(a)·f(b)<0吗?
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（1）判断函数 f (x) x2 2x 1在区间[0,1]内是
否有零点。 答：有零点 （2）函数f(x)=–x3–3x+5的零点所在的大致区间 为（ A ）
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2.两种思想：函数方程思想；数形结合思想． 3.函数零点存在性判别的三种方法：
（1）解方程 （2）画图像 （3）用定理判定
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本节知识可以概括为：
函数方程本一家， 数学王国它当家； 方程实根存在性， 函数符号来确定。
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