或
x cos1 cos 1 cos1 x y cos2 cos 2 cos 2 y
z cos3 cos 3 cos 3 z
空间直角坐标变换
一般的空间直角坐标 (点) 变换公式:
x y
x cos1 x cos2
y cos 1 z cos y cos 2 z cos
1
d1 2 d2
z x cos3 y cos 3 z cos 3 d3
或
x cos1 cos 1 cos1 x d1 y cos2 cos 2 cos 2 y d2 ,
z cos3 cos 3 cos 3 z d3
空间直角坐标变换
空间一般坐标变换公式, 还可以由新坐标系的 三个坐标面来确定.
x2 y2 a2 b2 1;
x2 y2 a2 b2 1;
x2 a2
y2 b2
0;
二次曲面的类型
[12] 双曲柱面: [13] 一对相交平面:
x2 y2 a2 b2 1;
x2 a2
y2 b2
0;
[14] 抛物柱面:
x2 2 py;
[15] 一对平行平面:
x2 a2 , a 0.
[16] 一对平行平面:
a13 a23 a33 z
x
x
y
z
A0
y
z
用不变量判断二次曲面类型
记 F1(x, y, z) = a11x + a12y + a13z + b1
F2(x, y, z) = a12x + a22y + a23z + b2
F3(x, y, z) = a13x + a23y + a33z + b3
b1 b2 c b1 b3 c b2 b3 c
用不变量判断二次曲面类型
用不变量和半不变量判断二次曲面的类型
P287. 定理6. 7. 3 给出二次曲面方程() , 则用不 变量和半不变量判别()为何种类型的充要条件是:
第(I)类曲面:
I3 0;
第(II)类曲面: I3 = 0, I4 0;
第(III)类曲面: I3 = 0, I4 = 0, I2 0;
x2 a2 , a 0.
[17] 一张平面:
x2 0.
用不变量判断二次曲面类型
二次曲面的表示
空间中二次曲面的一般方程为
a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2b1x + 2b2y + 2b3z + c = 0 ()
其中a11, a22, a33, a12, a13, a23不全为零.
a23 a33 b3
b2 y
b3 c
z 1
x
x
y
z
1
A
y z
1
用不变量判断二次曲面类型
(x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy
+ 2a13xz + 2a23yz
则
(x, y, z) x
y
z
a11 a12
a`12 a22
a13 x a23 y
a13
a12 a22 a23
a13 a33 a33
,
I4
|
A |
a11 a12 a13 b1
a`12 a22 a23 b2
a13 a23 a33 b3
b1 b2 . b3 c
用不变量判断二次曲面类型
二次曲面的半不变量
K1
a11 b1
b1 a22 c b2
b2 a33 c b3
b3 . c
a11 a12 b1 a11 a13 b1 a22 a23 b2 K 2 a12 a22 b2 a13 a33 b3 a23 a33 b3 .
移轴:
x y
x y
d1 d2
或
z z d3
x x d1 y y d2 , z z d3
其中(d1, d2, d3) 为新原点O在原坐标系 I 中的 坐标.
空间直角坐标变换
转轴: 设新坐标向量e1, e2, e3 与原坐标向量 e1, e2, e3 的交角如下表所示:
(一) 椭球面 [1] 椭球面: [2] 点:
[3] 虚椭球面:
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1;
x2 a2
y2 b2
z2 c2
0;
x2 y2 z2 1; a2 b2 c2
二次曲面的类型
(二) 双曲面 [4] 单叶双曲面:
[5] 双叶双曲面: (三) 二次锥面
[6] 二次锥面: (四) 抛物面
I2 < 0, I2 < 0,
K2 0 K2 = 0
用不变量判断二次曲面类型
型别
类别
识别标志
二次柱面
(I3 = 0 I4 = 0 I2 = 0)
抛物柱面 一对平行平面 一对虚平行平面
K2 0 K2 = 0, K1 < 0 K2 = 0, K1 > 0
一对重合平面
K2 = 0, K1 = 0
用不变量判断二次曲面类型
其中 (c11, c21, c31), (c12, c22, c32), (c13, c23, c33) 分别 为新坐标向量e1, e2, e3 在原坐标系 I 中的坐标, (d1, d2, d3) 为新原点O在原坐标系 I 中的坐标.
d3
空间直角坐标变换
过渡矩阵的性质
1. 过渡矩阵是可逆矩阵.
c11 c21
c12 c22
c13 x c23 y .
z c31x c32 y c33z z c31 c32 c33 z
其中 (c11, c21, c31), (c12, c22, c32), (c13, c23, c33) 分别 为新坐标向量e1, e2, e3 在原坐标系 I 中的坐标.
F4(x, y, z) = b1x + b2y + b3z + c
则 F(x, y, z) = xF1(x, y, z) + yF2(x, y, z)
+ zF3(x, y, z) + F4(x, y, z)
用不变量判断二次曲面类型
记 1(x, y, z) = a11x + a12y + a13z 2(x, y, z) = a12x + a22y + a23z 3(x, y, z) = a13x + a23y + a33z 4(x, y, z) = b1x + b2y + b3z
(III) a11x2 + a22y2 + c = 0,
a11a22 0;
(IV) a11x2 + 2b2y = 0, (V) a11x2 + c = 0,
a11b2 0; a11 0.
二次曲面的类型
吕林根《解析几何》P278.
定理6. 6. 2 适当选取坐标系, 二次曲面的方程 总可化为下列十七个标准方程之一:
补充 二次曲面的一般理论
空间直角坐标变换 二次曲面方程的化简 应用不变量判断二次曲面的类型 二次曲面的仿射特征和度量特征
空间直角坐标变换
空间仿射坐标变换公式 向量的坐标变换公式:
I 到 I 的过渡矩阵
x y
c11x c21x
c12 y c13z c22 y c23z,
x y
2. 设有三个仿射坐标系 I, I, I, I 到 I 的过渡 矩阵为C, I 到 I 的过渡矩阵为D, 则 I 到 I 的 过渡矩阵为CD.
3. 若 I 到 I 的过渡矩阵为 C, 则 I 到 I 的过渡 矩阵为 C 1.
4. 两个直角坐标系之间的过渡矩阵是正交矩阵.
空间直角坐标变换
空间直角坐标 (点) 变换
[7] 椭圆抛物面:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1;
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1;
x2 y2 z2 a2 b2 c2 0;
x2 a2
y2 b2
2z;
二次曲面的类型
[8] 双曲抛物面: (五) 二次柱面
x2 a2
y2 b2
2z;
[9] 椭圆柱面: [10] 虚椭圆柱面: [11] 一条直线:
I4 < 0 I4 > 0
一点
I4 = 0
用不变量判断二次曲面类型
型别
双曲面 (I3 0 I2 0或 I1I3 0)
类别 单叶双曲面 双叶双曲面
识别标志 I4 > 0 I4 < 0
二次锥面
(I3 0 I2 0 或 I1I3 0)
二次锥面
I4 = 0
用不变量判断二次曲面类型
型别
抛物面 (I3 = 0 I4 0)
则 (x, y, z) = x1(x, y, z) +y2(x, y, z) +z3(x, y, z)
用不变量判断二次曲面类型
二次曲面的不变量
I1 = a11 + a22 + a33,
I2
a11 a12
a12 a11 a22 a13
a13 a22 a33 a23
a23 , a33
a11 I3 A0 a12
其中正负号的选取要
使得坐标变换为右手 直角坐标变换.
二次曲面的类型
二次曲面的一般方程
空间中二次曲面的一般方程为 a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2b1x + 2b2y + 2b3z + c = 0 ()