1 , i2, i2
8.6 若当标准形的理论推导
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19
A 的若当标准形为
1 0
1 1
10
11
10
11
1
1
i
1i
i 1
i
8.6 若当标准形的理论推导
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20
练习： 求矩阵A的若当标准形
1 1 1
A
3 2
3 2
3 2
1 0 0
答案： E A0 0 0 0 2
( 1 ) k 1 ,( 2 ) k 2 , ,( s ) k s .
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8
可见，每个若当形矩阵的全部初等因子就是它 的全部若当块的初等因子构成的. 由于每个若当块 完全被它的级数与主对角线上的元素 0 所刻划，
而这两个数都反应在它的初等因子 ( 上0).n
第八章 λ─矩阵
§1 λ－矩阵 §2 λ－矩阵的
标准形
§3 不变因子
§4 矩阵相似的条件 §5 初等因子
§6 若当(Jordan)标准形 的理论推导
小结与习题
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1
§8.6 若当标准形的理论推导
一、若当块的初等因子 二、若当形矩阵的初等因子 三、若当标准形存在定理
8.6 若当标准形的理论推导
0 0
0 0
0 2
.
8.6 若当标准形的理论推导
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18
例2、已知12级矩阵A的不变因子为
1 , 1 ,, 1 ,( 1 ) 2 ,( 1 ) 2 1 , 1 2 1 (2 1 ) 2
9 个
求A的若当标准形.
解：依题意，A的初等因子为
1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 ,
因此，若当块被它的初等因子唯一决定. 从而，若当形矩阵除去其中若当块的排序外被它的 初等因子唯一确定.
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9
三、若当标准形存在定理
1.
（定理10）每一个复矩阵A都与一个若当形矩阵 相似，且这个若当形矩阵除去若当块的排序外是 被矩阵A唯一决定的，它称为A的若当标准形.
8.6 若当标准形的理论推导
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4
1 0
0 1
00 00
00 00
1n1
1 0
1
所以 EJ0 的 n 1 级行列式因子为1.
从而，EJ0 的 n2, ,2,1级行列式因子皆为1.
J 0 的不变因子是:
d 1 d n 1 1 ,d n 0 n .
故 J 0 的初等因子是: 0 n .
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2
一、若当块的初等因子
0 0
1 0
若当块
J0
0
0
0 0
0 0
0 0010 Nhomakorabea0 nn
的初等因子是 0 n .
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3
证：
0
1
EJ0 0
0
0
0
0 0
EJ00n.
0 0
0 0
0
1
0
0nn
此即 EJ0 的 n 级行列式因子.
又 EJ0 有一个 n 1 级子式是
2 0 0 2
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17
1 0 0 1 0 0
0 0
2
2 2 2
0 0
0
2 2 2
1 0 0 1 0 0
0 0 2 2 0 0
0 0 0 0 2
A 的初等因子为 , , 2.
0 0 0
故 A的若当标准形为
8.6 若当标准形的理论推导
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10
证：若n 级复矩阵A的全部初等因子为:
( 1 ) k 1 ,( 2 ) k 2 , ,( s ) k s .（*）
（其中 1,2, ,s可能有相同的，指数 k1,k2, ,ks
也可能相同的）.
每一个初等因子 ( i )ki 对应于一个若当块
i 0
1 i
Ji
0
0
0 0
0 0
0 0
,
i
1
0
i
i 1,2, ,s
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11
J1
令
J
J2
J s
则 J 的初等因子也是（*），
即J与A有相同的初等因子.
故J 与A相似.
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12
2. 定理10换成线性变换的语言即为
（定理11）设 是复数域上n维线性空间V的线性 变换，在 V中必定存在一组基，使 在这组基下 的矩阵是若当形矩阵，并且这个若当形矩阵除去 若当块的排序外是被 唯一确定的.
J1
证：设A的若当标准形是
J
J2
,
J s
其中
i 0
1 i
Ji
0
0
0 0
0 0
0 0
,
i
1
0
i
ni ni
8.6 若当标准形的理论推导
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s
ni n .
i1
15
由一知，J i 的最小多项式是
in i, i1 ,2 , ,s.
由不变因子与初等因子的关系知，
d n ( ) ( 1 ) k 1 ,( 2 ) k 2 , ,( s ) k s .
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13
3. 特殊情形
（定理12）复矩阵 A与对角矩阵相似 A 的初等因子全是一次的.
（定理13）复矩阵 A与对角矩阵相似 A 的不变因子没有重根.
8.6 若当标准形的理论推导
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14
4. n 阶复矩阵A的最小多项式就是A的最后一个
不变因子 d n ( ) .
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6
证： J i 的初等因子是 (i)k i, i 1 ,2 , ,s
1 1
EJi
与矩阵
1
i
ki
等价.
于是
EJ1 EJ
EJ2
EJs
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7
与矩阵 1 D
1
k1 1
1
1
k 2 2
1
1
k s s
等价. 由定理9，J 的全部初等因子是：
8.6 若当标准形的理论推导
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5
二、若当形矩阵的初等因子
J1
若当形矩阵
J
J2
,
J s
其中
i 0
1 i
Ji
0
0
0 0
0 0
0 0
i
1
0
i
ki ki
则J 的全部初等因子是：
( 1 ) k 1 ,( 2 ) k 2 , ,( s ) k s .
8.6 若当标准形的理论推导
A 的初等因子为 , 2
0 0 0
A的若当标准形为
0 0
0 1
0 0
.
8.6 若当标准形的理论推导
由§7.9中引理3之推论知，
d n ( ) 为A的最小多项式.
又相似矩阵具有相同的最小多项式与不变因子，
所以，A的最小多项是它的最后一个不变因子d n ( ).
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16
例1、求矩阵A的若当标准形.
1 1 2
A
3 2
3 2
6 4
1 1 2
解：
EA
3 2
3
2
64
1 1 2 1 2 1 2 2 0 2 0 2 2 2