������
分部积分： ∫ ������������ ′ ������������ = ������������ − ∫ ������′ ������������������
������2 ������������ ������������ ������������ = ∫ [ ������(������) + ������′(������)]������������ ������������ ������������′ ������1 ������������ ������2 ������������ ������ ������������ ������������ ������2 = ∫ [ ������(������) − ( )������(������)]������������ + ������(������)|������1 ′ ′ ������������ ������������ ������������ ⏟ ������1 ������������
������ ������
√(������������)2
+
(������������(������))2
= ∫ √1 + ������′(������)2 ������������
������
变分法基本方程： Lagrange 量
������ = ∫ ������(������ (������ ), ������ ′ (������ ), ������ )������������
令L = 0 ⋅ ������ + √1 + (������ ′ )2 ， ������������(������) = ������������ ������������′ (������)，则 0= 所以 ������ ′ √1 + (������ ′ )2 解得 ������ = ������������ + ������ 证明： 1 2 ������ = ������ℎ′ (������) − ������������ℎ(������) 2 ������������ ������ ������������ = ������ℎ ������������ ������ℎ′ ������ ������ (������ℎ′ ) = −������������ = ������ ������������ ������������ ������ 恰好还原成牛顿第二定律 ◆ 约束条件下的极值——拉格朗日乘子法 函数的拉格朗日乘子法 ������ ������(������, ������) ������(������, ������) = ������������������������������ ������ 1 2������ ′ ( ) ������������ 2 √1 + (������ ′ )2
������������
������
������������
������
无约束条件下，场函数������(������, ������)的取极值条件为：
������������ ������������ = =0 ������������ ������������ 加上约束������(������, ������) = ������������������������������ ，问题变成在约束上取极值。 取极值的条件为：������(������, ������)的切线和������(������, ������)的切线在极值 点平行。 ������(������, ������)法线方向(������������ , ������������)，切线方向(������������ , − ������������ )； ������(������, ������)切线方向(������������ , − ������������ ) 因为平行 ������������ ������������ ������������ = ������������ = ������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������为拉格朗日乘子。 所以 ������������ ������������ = ������ ������������ ������������ ������������ ������������ = ������ ������������ ������������ 所以 ������(������ − ������������) =0 ������������ ������(������ − ������������) =0 ������������ 定义 ������ = ������ − ������������ 所以 ������������ ������������ = =0 ������������ ������������ 此时取得约束条件下场函数的极值。
变分法及其应用
◆ 无处不在的变分法与泛函极值 女生减肥 美联储加息 便利店采购 ◆ 变分法：求一条函数，使得某个目标最大化 变分： ������ ������������
������处的微分为������ + ������������ ������ ������
������
f(������)+������g(������)
������
L=A- ������
������������
������
Euler-Lagrange 方程
泛函的极值问题
例题：证明两点之间线段最短 ������ ������ 路线 f(������)
������ ������ S = ∫ ������������ = ∫ √(������������)2 + (������������)2 = ∫ √1 + (������ ′ )2 ������������
�����ห้องสมุดไป่ตู้1
作用量 两端固定
������2
A 取极值的判定方程
Euler-Lagrange 方程
◆ 极值问题： 泛函极值 引入∀������(������)，������(������1 ) = ������(������2 ) = 0 存在微小量ε（ε ∈ R） ，使得ε������(������) ≪ ������(������) 则方程
������
取极值
Euler-Lagrange 方程
������������ ������ ������������ − =0 ������������(������) ������������ ������������ ′ (������)
Euler-Lagrange 方程的意义：
动力学方程: A=������������ ������
������ = ∫ ������(������(������) + ε������(������), ������ ′ (������) + ε������′(������), ������)������������
������1
������2
当 ������������ = 0时取得极值。 ������ ������ 路线 f(������) 路线 f(������)+������������ (������)
������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������
泛函极值也一样， 可通过引入������将含约束问题变为无约束 问题。 例题： 证明给定周长下， 闭合曲线绕出的最大面积是圆。 ������ = ∫ ������1 (������, ������ ′ , ������)������������ ������ = ∫ ������2 (������, ������ ′ , ������)������������ 在 G 为定值下求 S 的极值 令 ������3 = ������1 + ������2 ������3 不受约束，满足 Euler-Lagrange 方程 ������������3 ������ ������������3 = ������������ ������������ ������������′
������������ ������ ������������ =∫ ( − )������(������)������������ ������������ ������������ ′ ������1 ������������ 由于对任意������(������)，上式均成立，故
������2
=0
令 ������������ = 0，则 ������������ ������ ������������ − =0 ������������ ������������ ������������ ′
������������
������ = ∫������ ������(������(������), ������ ′ (������), ������)������������
������������
������ ������ 证明：
2 ′ ′(������) ������������ ������ ∫������1 ������(������(������) + ε������(������), ������ (������) + ε������ , ������)������������ = ������������ ������������ ������2 ������������ ������(������ + ������������) ������������ ������(������′ + ������������′) =∫ [ + ]������������ ������������ ������(������′ + ������������′) ������������ ������1 ������(������ + ������������) ������2 ������������ ������������ = ∫ [ ������(������) + ������′(������)]������������ ������������′ ������1 ������������