(1.2)由抛物线的光学性质可知，以F F 为两焦点的双曲线，取其 中任一点 P，过 P 作双曲线的法线 MPN，则由F 到 P 的入射光线必 经过F 点，作过 P 点的切线 SPT，则∠F PF 的角平分线．若F F 均匀 带电，则 P 点场强 方向必沿 SPT 方向，即为该双曲线．据上述讨论 可知，Oxy 坐标面上的电场线即为以F F 为两焦点的双曲线（mv/qB
联立解得粒子输出时的速率 v= 2πfR
设粒子输出时，单位时间飞出回旋加速器的粒子数为 N，则电流强度 I=Nq
则粒子束的输出功率为 P =πIBR2f
因水流速度很小，这部分功率被单位时间流过的水所吸收，得热平衡 方程
P=πIBR2f=cμΔt 由此解得水温升高
题六、第 k 级像电荷距离轴承的距离为：xk=R/k ①
像电荷大小为：qk=（-1）k+1q0/n ，k=2、3、4、、、 ②
设电势为 u，则：q0=4πε0Ru ③
∴总电量
Q=2q0
（-1）k+1xk/k,x∈（0,1】
④
k 1
为了求级数和，引入：G（x）=
（-1）k+1xk/k，
⑤
k 1
求导得：G(x)= 1
第二题（40 分) 种可能的质子蜕变方式为:
P→π0+e+ 中性介子π0 立即蜕变为两个光子:
π0→γ+γ 已知质子、π0 介子、正电子的静质量分别为 m1、m2、m3，求能够获得的光子能 量最值.
第三题 (40 分) 重力场中固定一根长直椭圆柱，一根轻细绳垂直于椭圆柱轴向搭在椭圆柱侧面上， 用外力拉住绳子的一端在椭圆柱横截面椭圆的上顶点，另一端经过椭圆右顶点下 垂并系一质量为 m 的重物。绳子与椭圆柱侧面间的摩擦系数为μ，椭圆柱横截面 椭圆的离心率ε远小于 1。已知重力加速度 g,求外力的大小(略去二阶及以上小 量)。
清北学堂物理竞赛模拟题参考答案
题一、由玻尔兹曼分布得： P(H)=n(H)kT=Mg/A 由此得： H= u ln(1+ ) 写出内能表达式： U= NkT- u ln(1+ ) 微分分析并由热力学第一定律可得： dQ=dU+dW= NkdT 由定义得： Cp=dQ/dT= Nk
题二、由狭义相对论能动量关系可得： Eπ=（m12+m22-m32）c2/2m1 在π0 介子静止的参考系中，两光子能动量大小为： E= m2c2 p= m2c 在实验室参考系中，当两光子和π0 介子的速度方向共线时，速度与π0 介子同向的光子能量最大，速度与π0 介子反向的光子能量最小，由洛 伦兹变换得光子能量最值: Emax= γm2c2(1+β) Emin= γm2c2(1-β)
第四题 (40分) 回旋加速器中匀强磁场的磁感应强度B=1T，高频电源的频率f=7.5MHz，D形电 极的半径R=1m，带电粒子束输出时的平均电流强度I=1mA．如果粒子束进入缓 慢流动的冷却水并停止相对运动，试问可使水温升高多少度？设流动水的流量 μ=1kg⋅s−1，水的比热c=4200J⋅kg−1⋅K−1．（保留两位有效数字）
(1.3)由椭圆光学性质可知，同(1.2)理，椭圆即为等势线，其方程为
(2)由(1.3)可得到下述结论 以 A 为长半轴，B 为短半轴，绕长轴旋转而成的椭圆球面内，若
令两焦点连线段上均匀带电，则此椭球面必为该线电荷电场的一个等 势面．
设要讨论的椭球导体，由题解图 4 所示 Oxy 平面上长半轴为 A， 短半轴为 B 焦点为F F 的椭圆绕 x 轴旋转成．为计算电容 ，设椭球 导体带电量为 未知，但静电平衡后椭球面电视 为已知量．采用 静电镜像法，设镜像电荷总量为 均匀分布在点F F 连线上．根据前 面给出的“推论”可知，旋转椭球面确定为此镜像电荷电场的等势面．
Δt =5.6(K)
题五、题目较长，但有效信息并不多，算出溢出气体物质的量，再由 气体分压原理和理想气体状态方程即可求解，较为简单，设被释放气 体总分子数为ΔN，由此而引起真空管中气体分子数密度的变化为Δn， 所引起气体压强的变化为Δp.由于Δp=ΔnkTΔp=ΔnkT，Δn=ΔNV， ΔN=2πrLS0，故Δp=0.59Pa
第六题（40 分） 两个半径为 R，质量为 M 的金属球通过一线度可略的轴承焊接在一起.求这一系 统作为孤立导体对无穷远处的电容.
第七题（40 分） 绕长轴旋转而成的椭球导体电容．
(1) 平面上有一段长为 2 的均匀带电直线段F1F2，取其长度方向为 x 轴方向， 取其中 O 点为零点，设置 Oxy 坐标面 (1.1) 试证明 Oxy 面上任意一点 P 的电场强度方向均为∠F1PF2的角平分 线方向 (1.2) 导出 Oxy 坐标面上的电场线方程 (1.3) 导出 Oxy 坐标面上的等势线方程
，
故 产生的 为 故
ln
ln ln ，
题八、 由于盖上盖的容器里装满水，水的体积不变，故水中的两个小气泡合 并成一个大气泡时，气体的体积也不变.设小气泡的半径为 RR，则大 气泡的半径
r= R 初态时小气泡内气体的压强
p1=2σ/R−p0 由于合并过程是等温的，有
故有
2⋅p1V0=p2⋅2V0
p1=p2 因此两个小气泡合并，水中压强变化
Δp<0 可见水中压强减小，减小量为
Δp= (1- )
清北学堂全国中学生物理竞赛模拟试题 180 分钟 320 分
第一题 (40 分) 一长直气缸竖直放置于重力场中。气缸内装有单原子分子理想气体，总分子数为 N，每个分子的质量为 m。平衡态时系统温度均匀分布。考虑玻尔茲曼分布，玻 尔曼常数为 k，重力加速度为 g。活塞可无摩擦地上下滑动，活塞质量引起的附 加压强远大于外界大气压。求系统的定压热容量与温度的关系。
1 x
=0
∴C=0
⑥，故 G（x）=ln（1+x）+C ⑦，而 G（0） ⑧
∴G（x）=ln（1+x） ⑨
即
（-1）k+1/k=ln2
k 1
⑩，故 Q=4πε0Ruln2 ⑪
∴C= Q =8πε0Rln2
⑫
U
题七、(1.1)用于小量分析方法可以证明（此处从略），F F 处电荷对 P 点的场强与一段半径等于 P 到F F 的距离以 P 为圆心，张角相同电荷 线密度与F F 中电荷线密度相同的带电圆弧 P 点处的场强．后者由对 称性可知，场强方向必沿角平分线方向，故本小题获证，图中设F F 带正电画出 方向
第五题 (40 分) 无线电真空管抽气抽到最后阶段时，还应将真空管内的金属加热再继续抽空，原 因是金属表面上吸附有单原子层的气体分子。当金属受热时，被吸附分子获得足 够动能后能挣脱固体表面分子束缚而被释放出来。设真空管的灯丝是用半径 r=0.2mm、长度 L=6×102mm 的铂丝绕制的，而每个气体分子所占面积 S0=9×10 −20m2，真空管的容积 V=2.5×10−5m3 当灯丝加热至 1000∘C 时，所有被吸附的分子都从铂丝上跑出来散布到整个泡内。 如果此气体不抽出，试问由它所引起的压强是多大（帕斯卡）？
(2) 试求半长轴为 ，半短轴为 ，绕长轴旋转而成的椭球导体电容 提示：依据椭圆常用性质（几何）答题
第八题（40 分） 盖上盖的容器里装满水，水中有两个小气泡，如果这两个气泡合并，那么水中压 强变化多少Δp（取绝对数值）？水中初压强为 p0，水的表面张力系数为σ，每个 小气泡半径为 r0，合并过程是等温的.
题三、对绳子上一小段微元作受力分析，得
dT=μdN dN=Tdα
设椭圆上一点对两焦点的张角为 2β，将曲率半径取一阶近似得ρ≈p
将几何关系取一阶近似得：dl≈
dθ
联立微分方程并取一阶近似得： u≈μ（1-εcosθ）dθ
u
积分得：F≈mgeμπ/2
题四、带电粒子的质量为 m，带电量为 q．则粒子在输出前瞬时的周 期 T 和圆轨道半径 R 分别为