2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（六）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1|02A xx⎧⎫=>⎨-⎩⎭∈⎬N，则集合UA的子集的个数为（）A. 3B. 4C. 7D. 8 【答案】D【解析】分析】通过解不等式12x>-，得到集合A，进而得出{0,1,2}UA=.因为集合中有3个元素，故其子集个数为32个.【详解】由102x >-得2x >，则{}|2A x x =∈>N {}{}20,1,2U A x x ∴=∈≤=N ，则UA 的子集个数为328=个.故选：D.【点睛】本题考查了补集的运算，集合子集个数的结论，属于基础题. 2.已知i 为虚数单位，若412a ii+-∈R ，则实数a 的值是（ ） A. 2- B. –1C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，求出复数.因为该复数是实数，所以令其虚部为零，求出a 的值. 【详解】4(4)(12)82412(12)(12)55a i a i i a a i i i i +++-+==+--+，且412a ii+-∈R ， 240a ∴+=，即2a =-.故选：A.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的分类知识，属于基础题.3.用计算机生成随机数表模拟预测未来三天降雨情况，规定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9表示不降雨，根据随机生成的10组三位数：654 439 565 918 288 674 374 968 224 337，则预计未来三天仅有一天降雨的概率为（ ） A.12B.13C.49D.25【答案】D 【解析】 【分析】从所给的随机三位数中找出有且仅有一个13之间的数字的三位数，即表示未来三天仅有一天降雨.据古典概型的计算公式，即可得出结果.【详解】题中规定：1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9表示不降雨， 在10组三位随机数：654 439 565 918 288 674 374 968 224 337中， 439 918 288 374这4组随机数仅含有一个13的数，即表示未来三天仅有一天降雨，根据古典概型的概率计算公式可知，其概率42105p ==. 故选：D.【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题.4.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若342332,32S a S a =-=-，则首项1a =（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】将已知两式相减，可得出434a a =，则该等比数列的公比为4q =，再将用1a 和q 来表示2332S a =-，即可解得1a 的值.【详解】由34233232S a S a =-⎧⎨=-⎩得3433a a a =-，即434a a =，则该等比数列的公比为4q =，2332S a =-21113()2a a q a q ∴+=-，即1115162a a =-，12a ∴=.故选：B.【点睛】本题考查了利用等比数列的通项公式求基本量，其中两式相减求得公比，是本题的关键.属于基础题.5.已知0,,cos22sin 212πααα⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A.12B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式将已知三角函数式化简，结合(0,)2πα∈可得cos 2sin αα=，再利用平方关系，即可求出sin α.【详解】cos22sin 21αα=-，即cos212sin 2αα+=，∴由二倍角公式可得22cos 4sin cos ααα=，(0,)2πα∈，cos 0α∴>，则cos 2sin αα=又22sin cos 1αα+=，且sin 0α>5sin α∴=. 故选：C.【点睛】本题考查了利用二倍角公式进行三角恒等变换，同角三角函数的平方关系，属于基础题.6.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到：任画…条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”；…；如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少需要构造的次数是（ ）（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A. 16B. 17C. 24D. 25【答案】B 【解析】 【分析】由题知，每一次构造即可将折线长度变成上一次长度的43倍，故折线长度构成一个以43为公比的等比数列，写出其通项公式4()3nn a a =⋅，则要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，只需求解不等式4()1003n n a a =>，即可得解. 【详解】设初始长度为a ，各次构造后的折线长度构成一个数列{}n a ，由题知143a a =，143n n a a +=，则{}n a 为等比数列，4()3n n a a ∴=⋅，假设构造n 次后，折线的长度大于初始线段的100倍，即4()1003n n a a => ， 43lg100log 100lg 4lg 3n ∴>=-，lg100216lg 4lg 320.30100.4771=≈-⨯-17n ∴≥【点睛】本题考查了图形的归纳推理，等比数列的实际应用，指数不等式的求解，考查了数形结合的思想.其中对图形进行归纳推理，构造等比数列是关键.属于中档题.7.已知α，β为两个不同平面，m ，n 为两条不同直线，则下列说法不正确的是（ ） A. 若m α⊥，n α⊥，则//m n B. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αC. 若m α⊥，m β⊥，则//αβD. 若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥【答案】B 【解析】 【分析】利用线线，线面以及面面的位置关系的判定定理和性质定理，对每个选项进行逐一判断，即可得解. 【详解】对于A ，m α⊥，n α⊥，根据线面垂直的性质可知，垂直于 同一平面的两直线平行，选项A 正确；对于B ， m α⊥，m n ⊥，根据线面垂直的定义以及线面平行 的判定定理可知n ⊂α或//n α，故选项B 错误；对于C ， m α⊥，m β⊥，根据线面垂直的性质定理以及面面平行 的判定定理可得//αβ，故选项C 正确；对于D ，由m α⊥和αβ⊥可知//m β或m β⊂，又n β⊥，则由线面 平行的性质定理和线面垂直的性质定理可知，m n ⊥，故选项D 正确. 故选：B.【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理，属于基础题.8.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且点(),n n a S 在直线3210x y --=上，则43S S =（ ） A.157B.4013C.112D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由题得3210n n a S --=，利用1(2)n n n a S S n -=-≥，求出13(2n n a a n -=≥且)n N *∈，11a =，从而判断出数列{}n a 是等比数列.再利用等比数列的求和公式，即可求出比值. 【详解】点(),n n a S 在直线3210x y --=上，3210n n a S ∴--=，当2n ≥时，113210n n a S ----=， 两式相减，得：13(2n n a a n -=≥且)n N *∈，又当1n =时，113210a S --=，则11a =，{}n a ∴是首项为1，公比为3的等比数列，1(13)31132n n n S ⨯--==-， 443331403113S S -∴==-. 故选：B.【点睛】本题考查了数列中由n S 与n a 的关系求数列的通项问题，等比数列的判定，等比数列的前n 项和公式，属于中档题.9.蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆()22:102x y C a a a+=>+的蒙日圆为226x y +=，则a =（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】分两条切线的斜率是否同时存在进行分类讨论，在两条切线的斜率同时存在时，可在圆上任取一点()00,x y ，并设过该点的直线方程为()00y y k x x -=-，与椭圆方程联立，利用0∆=可得出关于k 的二次方程，利用韦达定理可求得实数a 的值.【详解】当椭圆两切线与坐标垂直时，则两切线的交点坐标为(，该点在圆226x y +=上，所以，226a +=，解得2a =；当椭圆两切线的斜率同时存在时，不妨设两切线的斜率分别为1k 、2k ， 设两切线的交点坐标为()00,x y ，并设过该点的直线方程为()00y y k x x -=-，联立()002212y kx y kx x y a a⎧=+-⎪⎨+=⎪+⎩， 消去y 得()()()()()()2220000222220a k a x k a y kx x a y kx a a ⎡⎤++++-++--+=⎣⎦，()()()()()()2222200004242220k a y kx a k a a y kx a a ⎡⎤⎡⎤∆=+--++⋅+--+=⎣⎦⎣⎦， 化简得()2220000220k a x kx y a y ⎡⎤+-++-=⎣⎦，由韦达定理得()2122012a y k k a x -==-+-，整理得()220022240a x y a +-+=-=，解得2a =. 综上所述，2a =. 故选：B.【点睛】本题考查利用椭圆两切线垂直求参数，考查分类讨论思想以及方程思想的应用，属于中等题. 10.已知正数a 、b 满足1410a b a b+++=，则+a b 的最大值是（ ） A. 7 B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】 【分析】将+a b 当作整体，在原式的两边同时乘以+a b ，使14a b+这一部分配凑基本不等式的条件，从而得到一个关于+a b 的二次不等式，求解即可.【详解】由1410a b a b +++=， 得14()()10()a b a b a b a b++++=+，24()()a b a b a b a b ++∴+++24()5b aa b a b=++++ 10()a b =+，210()()5a b a b ∴+-+-4b a a b =+4≥= 当且仅当4b a a b=，即2b a =时，等号成立， 2()10()90a b a b ∴+-++≤，则19a b ≤+≤.故选：C.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，解一元二次不等式.其中构造基本不等式的结构形式，将+a b 看成一个整体，是本题的关键，属于中档题.11.双曲线221313y x -=的上、下焦点为1F 、2F ，P 是双曲线上位于第一象限的点，4OP =，直线1PF 交x轴于点Q ，则2PQF 的内切圆半径为（ ）A.B. 2C. 3D.【答案】A 【解析】 【分析】分析出122F PF π∠=，并设1F P m =，可得出2F P m =+PQ t =，利用切线长定理可求得2PF Q △的内切圆半径.【详解】易知，双曲线221313y x -=的上焦点为()10,4F 、()20,4F -，又124OP OF OF ===，122F PF π∴∠=，设1F P m =，则223F P m =+PQ t =，则211F Q FQ F P PQ m t ==+=+， 设2PF Q △的内切圆与边PQ 、2PF 、2F Q 切于点M 、N 、Q ， 由切线长定理得PM PN =，22F N F D =，MQ DQ =，2MPN π∠=，2EN PF ⊥，EM PQ ⊥，且EM EN =，则四边形PMEN 为正方形，所以，(()2223232PF PQ F Q m t m t PM +-=++-+==，则3PM =， 因此，2PF Q △3故选：A.【点睛】本题考查双曲线中三角形内切圆半径的计算，涉及双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.12.已知函数()f x 满足()()2f x f x =，当[1,2)x ∈时，()ln f x x =，则函数()()0y f x ax a =->在)4[1x ∈,上的零点个数()g a 的值域为（ ）A. {}0,1B. {}0,1,2C. {}0,1,2,3D. {0,1,2,3,4}【答案】B 【解析】 【分析】先由求出[2,4)x ∈时，()ln2xf x =.再将函数()()0y f x ax a =->的零点问题，转化为函数()y f x =的图象与直线(0)y ax a =>的公共点的问题，利用数形结合思想，即可判断出公共点个数，求出函数()g a ，从而求出()g a 的值域.【详解】由()()2f x f x =知()()2x f x f =，设[2,4)x ∈，则[1,2)2x∈， 则()()ln 22x xf x f ==，ln ,[1,2)()ln ,[2,4)2x x f x x x ∈⎧⎪∴=⎨∈⎪⎩，令()()0y f x ax a =->=0，即()f x ax =，∴函数()()0y f x ax a =->的零点个数，即为函数()f x 与直线(0)y ax a =>的交点个数，若(0)y ax a =>与函数()ln ,[1,2)f x x x =∈的图象相切， 设切点为11(,ln )M x x ，则切线斜率1111ln 1x k x x ==， 1[1,2)x e ∴=∉，故不能相切，若(0)y ax a => 与函数()ln,[2,4)2xf x x =∈的图象相切， 设切点为22(,ln )2x N x ，则切线斜率2222ln 2122x k x x =⋅=，22[2,4)x e ∴=∉，故也不能相切，又(2,ln 2)A ，(4,ln 2)B ，则ln 22OA k =，ln 24OB k =， ln 20,2ln 2ln 2()1,42ln 22,04a g a a a ⎧≥⎪⎪⎪∴=≤<⎨⎪⎪<<⎪⎩，则()g a 的值域为{0,1,2}.故选：B.【点睛】本题考查了代入法求函数的解析式，函数的零点个数，考查了转化思想和数形结合思想，属于较难题.第Ⅱ卷（非选择题）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,1A ，()2,4B -，(),9C x -，且//AB AC ，则x =__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标关系，即可求解, 【详解】()1,1A ，()2,4B -，(),9C x -(1,5),(1,10)AB AC x =-=--， //,5(1)100,3AB AC x x ∴--+==.故答案为:3【点睛】本题考查向量的坐标表示、平行向量的坐标形式的充要条件，属于基础题.14.已知数列{}n a 满足12a =，23a =且*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，则该数列的前9项之和为__________.【答案】34 【解析】 【分析】对*21(1,)nn n a a n N --=+-∈分奇偶进行讨论，得出数列21{}n a -是常数列，数列2{}n a 是公差为2的等差数列，然后用分组求和法，即可求解. 【详解】*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，∴当n 为奇数时，21210n n a a +--=，则数列21{}n a -是常数列，2112n a a -==；当n 为偶数时，2222n n a a +-=，则数列2{}n a 是以23a =为首项，2的等差数列，129139248()()a a a a a a a a a ∴+++=+++++++4325(342)2⨯=⨯+⨯+⨯ 34=.故答案为：34.【点睛】本题考查了数列递推求通项，等差数列的判定，分组求和法，等差数列的求和公式.考查了分类讨论的思想，属于中档题.15.三棱锥S ABC -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形， SA ⊥面ABC ， 2SA =,则三棱锥S ABC -外接球的表面积是_____________ .【答案】283π【解析】【详解】由题意可知三棱锥外接球，即为以ABC ∆为底面以SA 为高的正三棱柱的外接球∵ABC ∆是边长为2的正三角形 ∴ABC ∆的外接圆半径r =， 设球的半径为R ，因为SA ⊥面ABC ， 2SA =, 所以222284243R r =+=， ∴外接球的表面积为22843R ππ=， 故答案为283π点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.16.设函数31,1()2,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足()()31f f a f a -⎡⎤⎣⎦=的实数a 的取值集合为__________. 【答案】2{|3a a 或2log 3}a = 【解析】 【分析】由31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩知，当1a <时，()2f a <，当1a ≥时，()2f a ≥.令()t f a =，对t 进行分类讨论，结合分段函数解析式，求出t 的值，再进一步求出a . 【详解】当1a <时，()312f a a =-<， 当1a ≥时，()2f a ≥ 令()t f a =，若1t <，()31f t t =-，与已知解析式相符，311a ∴-<，即23<a ； 若1t ≥，则()2tf t = 由231t t =-，得1t =或3， 当1t =时，()311t f a a ==-=，23a =； 当3t =时，()23at f a ===，2log 3a =. 故答案为：2{|3a a或2log 3}a =. 【点睛】本题考查了求分段函数的自变量的问题，考查了分类讨论思想，注意解题过程中分类讨论标准的适当选取，做到不重不漏.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.17.若ABC 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且224()si sin n sin sin sin 3A B C B C -=-. （1）求cos A ；（2）若ABC A 的角平分线AD 长的最大值.【答案】（1）13；（2）3【解析】【分析】（1）由正弦定理将已知式化角为边，再由余弦定理求出cos A ； （2）由（1）的结论1cos 3A =及ABC sin A =和4bc =.再由二倍角公式求出cos23A =.将ABC 拆分成两个三角形ABD △和ACD ，利用面积相等，求出AD ，再利用基本不等式求出其最大值.【详解】解：（1）由正弦定理sin sin sin A B Ca b c ==， 及224()si sinn sin sin sin 3A B C B C -=-，可得224()3b c a bc -=-，即22223b c a bc +-=，∴由余弦定理得：2221cos 23b c a A bc +-==；（2）由1cos 3A =，得sin A =， cos23A ==， 1sin 23S ABC bc A ==，则4bc =， 由ABCABDACDS SS=+得111sin sin sin 22222A A AB AC A AB AD AC AD ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， 2cos2cos 22A Abc bc A AD b c ∴=≤==+， 当且仅当2b c ==时，等号成立， 即max AD =. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，二倍角公式，基本不等式的应用，属于中档题.18.如图，正方体ABCD A B C D '''-'的棱长为4，点E 、F 为棱CD 、B C ''的中点.（1）求证：//CF 平面B ED ''； （2）求点D '到平面ACF 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）4. 【解析】 【分析】（1）取C D ''的中点M ，连接CM 、FM ，证明出平面//CFM 平面B ED ''，利用面面平行的性质可证明出//CF 平面B ED ''；（2）取A B ''的中点N ，连接FN 、A C ''、A F '、D M '、D N '，证明出F 、N 、A 、C 四点共面，利用等体积法计算出点D 到平面ANF 的距离，即为所求. 【详解】（1）取C D ''的中点M ，连接CM 、FM ，在正方体ABCD A B C D ''''-中，//CD C D ''且CD C D ''=，E 、M 分别为CD 、C D ''的中点，//CE D M '∴且CE D M '=，∴四边形CED M '为平行四边形，//CM D E '∴，CM ⊄平面B ED ''，D E '⊂平面B ED ''，//CM ∴平面B ED ''，F 、M 分别为B C ''、C D ''的中点，//FM B D ''∴，FM ⊄平面B ED ''，B D ''⊂平面B ED ''，//FM ∴平面B ED ''， CMFM M =，∴平面//CFM 平面B ED ''，CF ⊂平面CFM ，//CF ∴平面B ED ''；（2）取A B ''的中点N ，连接FN 、A C ''、A F '、D M '、D N '，N 、F 分别为A B ''、B C ''的中点，//FN A C ''∴，在正方体ABCD A B C D ''''-中，//AA CC ''且AA CC ''=，所以，四边形AA C C ''是平行四边形，//A C AC ''∴，//FN AC ∴，F ∴、N 、A 、C 四点共面，FND '的面积为221142422622FND A B C D A D N C D F B NFS SSS S''''''''''=---=-⨯⨯⨯-⨯=， AA '⊥平面A B C D ''''，∴三棱锥A D NF '-的体积为1164833A D NF D NF V S AA ''-'=⋅=⨯⨯=.由勾股定理得22224225AN AA A N ''=+=+=1222FN A C ''==226A F AA A F '''=+=.在ANF 中，22210cos 210AN NF AF ANF AN NF +-∠==-⋅， 2310sin 1cos 10ANF ANF ∴∠=-∠=， ANF ∴的面积为11310sin 2522622ANFSAN NF ANF =⋅∠=⨯=， 设点D 到平面ACF 的距离为h ，由D ANF A D NF V V ''--=， 即116833ANFS h h ⋅=⨯⨯=，解得4h =. 因此，点D 到平面ACF 的距离为4.【点睛】本题考查利用面面平行证明线面平行，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查计算能力与推理能力，属于中等题.19.某连锁餐厅新店开业，打算举办一次食品交易会，招待新老顾客试吃.项目经理通过查阅最近5次食品交易会参会人数x （万人）与餐厅所用原材料数量y （袋），得到如下统计表：（1）根据所给5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆy bxa =+； （2）已知购买原材料的费用C （元）与数量t （袋）的关系为40020,031380,31t t C t t -<<⎧=⎨≥⎩，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有13万人参加，根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L =销售收入-原材料费用）.参考公式：()()()112221ˆn niii ii i nniii x x y y x y nx ybxnxx x ===---==--∑∑∑∑，a y bx =-.参考数据：511343i ii x y==∑，521558i i x ==∑，5213237i i y ==∑.【答案】（1） 2.51y x =-；（2）餐厅应该购买31袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为9920元. 【解析】 【分析】（1）计算出x 、y 的值，利用题中的数据结合最小二乘法公式求出b 和a 的值，即可得出y 关于x 的线性回归方程ˆy bxa =+； （2）由（1）中求出的线性回归方程计算13x =时y 的值，再根据题意计算对应的利润值，比较大小即可． 【详解】（1）由表格中的数据可得1398101210.45x ++++==，3223182428255y ++++==，515222151343510.4252.5558510.45i ii i i x yx yb x x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，25 2.510.41a y bx =-=-⨯=-， 因此，y 关于x 的线性回归方程为 2.51y x =-；（2）由（1）中求出的线性回归方程知，当13x =时， 2.513131.5y =⨯-=，即预计需要原材料31.5袋.40020,031380,31t t C t t -<<⎧=⎨≥⎩，当31t <时，利润()7004002030020L t t t =--=+.当30t =时，30030209020L =⨯+=； 当31t =时，70031380319920L =⨯-⨯=； 当32t =时，70031.5380329890L =⨯-⨯=.综上所述，餐厅应该购买31袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为9920元.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了利润计算问题，是中档题．20.已知过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的中点E 的横坐标为32，5AB =. （1）求抛物线C 的方程；（2）已知点()1,2D ，过点()4,0作直线l 交抛物线于M 、N 两点，求DM DN ⋅的最大值，并求DM DN ⋅取得最大值时直线l 的方程.【答案】（1）24y x =；（2）当直线l 的方程为40x y +-=时，DM DN ⋅取最大值1.【解析】 分析】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，可得出12322x x +=，利用焦点弦长公式可求得p 的值，进而可得出抛物线C 的方程；（2）设点()33,M x y 、()44,N x y ，设直线l 的方程为4x my =+，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积公式将DM DN ⋅表示为以m 为自变量的函数，利用二次函数的基本性质可求得DM DN ⋅的最大值及其对应的直线l 的方程.【详解】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，由于线段AB 的中点E 的横坐标为32，则12322x x +=， 由抛物线的焦点弦长公式得1235AB x x p p =++=+=，解得2p =. 因此，抛物线C 的方程为24y x =；（2）设点()33,M x y 、()44,N x y ，设直线l 的方程为4x my =+，联立244y xx my ⎧=⎨=+⎩，消去x 并整理得24160y my --=.由韦达定理得344y y m +=，3416y y =-.()()()()333333,1,21,23,2DM x y x y my y =-=--=+-，同理可得()443,2DN my y =+-，()()()()()()()234343434332213213DM DN my my y y m y y m y y ⋅=+++--=++-++()()()22216143213483411m m m m m m =-++-+=---=-++.当1m =-时，DM DN ⋅取最大值1，此时，直线l 的方程为40x y +-=.【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中平面向量数量积的最值的求解，考查计算能力，属于中等题.21.已知函数()xf x ae x =-有两个零点1x 、2x .（1）求实数a 的取值范围;（2）若213x x ≥，求实数a 的取值范围.【答案】（1）10,e ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）⎛ ⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）由()0f x =得xx a e =，构造函数()x xg x e=，利用导数分析函数()y g x =的单调性与极值，作出函数()y g x =的图象，数形结合可得出实数a 的取值范围； （2）由题意推导出1201x x <<<，分1103x <≤和1113x ≤<两种情况讨论，结合213x x ≥以及函数()y g x =的单调性得出1x 的取值范围，再由()1a g x =以及函数()y g x =的单调性可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）()x f x ae x =-，令()0f x =，可得xxa e =， 构造函数()x xg x e=，则直线y a =与函数()y g x =的图象有两个交点. ()1xxg x e -'=，令()0g x '=，得1x =，列表如下： x(),1-∞1()1,+∞()g x ' +-()g x极大值所以，函数()y g x =的单调递增区间为(),1-∞，单调递减区间为()1,+∞，且在1x =处取得极大值()11g e=.当0x <时，()0x x g x e =<；当0x >时，()0x g x x e=>，如下图所示：如上图可知，当10a e<<时，直线y a =与函数()y g x =的图象有两个交点， 因此，实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）由（1）可知1>0x ，20x >，且()()12g x g x =，2113x x x ≥>，1201x x ∴<<<.①若1103x <≤，则21130x x >≥>，合乎题意； ②若1113x <<，则131x >，2131x x ≥>且函数()x x g x e=的单调递减区间为()1,+∞， ()()213g x g x ∴≤，即()()113g x g x ≤，即111133x x x x e e ≤，解得1ln 32x ≤，此时11ln 332x <≤. 综上所述，1x 的取值范围是ln 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.函数()x x g x e =在区间ln 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，()()1ln 302g g x g ⎛⎫∴<≤ ⎪⎝⎭，即306a <≤.因此，实数a 的取值范围是30,6⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 【点睛】本题考查利用函数的零点个数以及函数不等式求参数的取值范围，考查数形结合思想的应用，属于难题.（二）选考题.共10分请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2【解析】【分析】（1）首先利用221cos sin ϕϕ+=对圆C 的参数方程1{x cos y sin ϕϕ=+=（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（2）设11P ρθ（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11ρθ，；设22Q ρθ（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22ρθ，，可得PQ ．【详解】（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （2）设()11,ρθP ，则由2{3cos ρθπθ==解得11ρ=，13πθ=，得1,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭； 设()22Q ,ρθ，则由2sin 333{3πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=解得23ρ=，23πθ=，得3,3Q π⎛⎫ ⎪⎝⎭； 所以Q 2P =【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.23.如图，AB 是半圆的直径，O 为AB 的中点，⊥DO AB 、C 在AB 上，且AC x =，BC y =.（1）用x 、y 表示线段OD ，CD 的长度：（2）若0a >，0b >，2a b +=，求44a b +的最小值.【答案】（1）2x y OD +=，222x y CD +=（2）2 【解析】【分析】 （1）AB 为直径，AB x y =+，OD 为半径，则2x y OD +=.Rt OCD △中，利用勾股定理，可求出222x y CD +=（2）Rt OCD △中CD OD ≥2222++x y x y ，即可得222()122a b a b ++≥=.再令22,x a y b ==，2212a b +≥≥，由此解得442a b +≥. 【详解】解：（1）直径AB x y =+，则半径2x y OD +=， 在Rt OCD △中，CD ===即CD = （2）由（1）知，CD OD ≥，2+x y ，当且仅当x y =时，等号成立， 222()122a b a b ++∴≥=， 令22,x a y b ==2212a b +≥≥ 442a b ∴+≥（当且仅当1a b ==时，等号成立）， 44a b ∴+的最小值为2.【点睛】本题考查了勾股定理，基本不等式的变形应用，考查了转化的思想，属于中档题.。