由欧拉公式得：
∞
∫ F (ω ) = f (t)(cos ωt − j sin ωt)dt −∞
实部Re(ω)为偶函数，虚部Im (ω)为奇函数
4.1.3 随机信号的功率谱密度
在很多问题中，常需要利用傅里叶变换这一工具 来确立时间函数的频率结构。但一个时间函数
x(t)，-∞<t<+∞的傅里叶变换是否存在，取决于
因此，无需获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只 需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的
数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实 际测量和计算的问题大为简化。
即各态历经随机过程，其集合平均的数字特征不随时间变 化，且与任意样本时间平均的数字特征相同。
4.1.2 傅里叶分析
随机过程X(t)是大量样本函数的集合。
随机过程基本特征
¾ 其一，它是一个时间函数； ¾ 其二，在固定的某一观察时刻t1，x(t1)是随机
变量。
随机过程具有随机变量和时间函数的特点。 随机过程X(t)在任一时刻都是随机变量； 随机过程X(t)是大量样本函数的集合。
进行n次试验，可得到n 条不同的曲线，如图所示。
该过程显然是随机过 程，它无法用确定函数描 述。其中任一条试验曲线 都叫做这个过程的一个现 实，也叫样本函数或子样 函数。
n个现实构成一个随机 过程的样本空间。
随机过程
2 随机过程的数字特征
随机过程既是一个随机变量系，显然就可以 用描述随机变量系的办法来描述随机过程。
例如，可以用一维二维乃至n维的分布函数 或概率密度来描述。
在实际应用中，要确定随机过程的分布函数 族十分困难，甚至不可能。因而，有必要像随 机变量一样，引入描述随机过程的数字特征。
随机过程的一维数字特征
（1）数学期望
设X(t)是一个随机过程，在给定的时刻t1，x(t1)是连 续型随机变量，它的数学期望一般与给定的时刻t1
有关，即
∫ E[ X (t1)] = μx (t1) =
F(nω1)
=
1 2
(an
−
jbn
)
引入了负频率
F(−nω1)
=
1 2
(an
+
jbn
)
周期复指数信号的频谱图
Fn
0
ω1
Fn
nω 1
0
ω1
nω1
指数形式的傅里叶级数的系数
F(nω1) = Fn
∫ Fn
=
1 T1
t0 +T1 f (t ) e − jn ω 1t dt
t0
两种傅氏级数的系数间的关系
F0 = c0 = a0
前面讨论的概率密度、均值、方差等是用 来在幅值领域里描写随机过程的。 而相关函数则是在时域里研究问题。除此 之外，还需要在频域里研究随机过程，这就 要用到傅里叶分析手段。
傅立叶的两个最主要的贡献——
• “周期信号都可表示为谐波关系的正 弦信号的加权和”
——傅里叶的第一个主要论点
• “非周期信号都可用正弦信号的加权 积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
~ f (t
)
=
∞
∑
F
(nω1
).e
jnω1t
n=−ω
~f (t)
=
∞
∑
n=−∞
F (nω1 ).e ω1
jnω1t .ω1
=
∞
∑
nω1=−∞
F(ω).e 2π
jnω1t
.Δ(nω1)
T1 → ∞ ω1 → 0 nω1 → ω Δ(nω1) → dω
傅立叶
Δω
=
2π
T1
= ω1
F(nω1) →F(ω)
∑ ~f (t) =
∞
F(nω1).e jnω1t
n=−ω
∫ F(nω1)
=
1 T1
T1 2
~f (t).e−jnω1t.dt
−T21
T1 → ∞
∫ F
(
nω
1
).
2π ω1
=
∞ f (t ).e − jnω1t .dt
−∞
∫ 傅立叶
变换
F (ω ) = ∞ f (t).e− jωt dt
−∞
傅立叶的逆变换
4.1.1 随机过程
1. 随机过程概念 2. 随机过程的数字特征 3. 平稳随机过程 4. 各态历经性
4.1.1 随机过程
1 随机过程概念
自然界中，事物的变化过程，可以分为两 大类。
一类变化过程是一个确定性的，可以用 确定性函数加以描述。
一类过程，没有确定的变化，没有必然 的变化规律，也不能用确定的函数加以描 述，这样的变化过程叫做随机过程。
图4-3 随机过程
¾ 随机过程的数学定义： ¾ 设随机试验E的可能结果为x(t)，试验的样本
空间S为{x1(t), x2(t)， …, xn(t),…}， xi(t)是第i 次试验的样本函数或实现，每次试验得到一 个样本函数，所有可能出现的结果的总体就 构成一随机过程，记作X(t)。
¾ 两层含义： 随机过程X(t)在任一时刻都是随机变量；
Fn
=
Fn
e jϕn
=
1 2 (an
−
jbn )
F−n
=
F−n e− jϕn
=
1 2 (an
+
jbn )
周期复指数信号的频谱图的特点
z 引入了负频率变量，没有物理意义，只是 数学推导；
z Cn 是实函数，Fn 一般是复函数； z 当 Fn 是实函数时，可用Fn 的正负表示0和
π相位， 幅度谱和相位谱合一。
得 τ ≠→ ∞ 。
• 自功率谱密度函数
•随机函数x(t)的自相关函数满足傅里叶变换条件
∫∞ −∞
Rx
(τ
)
dτ
<
0
∫ Rx
(τ
)
=
E[
x(t ) x(t
+
τ
)]
=
lim
T →∞
1 T
T
2 x(t)x(t +τ )dt
−
T 2
∫ ∫ = lim 1
∞
1
x(t)
∞ X (ω)e jωte jωτ dωdt
路面的不平会给汽车输入振动或冲击， 使汽车产生振动，在经典动力学中把路面 不平度简化为一个三角函数，如正弦函数 来加以讨论，这与真实路面情况出入较大。
六十年代开始，随机振动理论得到发 展，给路面不平度的研究带来了新的方法 和新的思路。
第4章 路面及其模型
4.1 路面不平的统计描述 4.2 路面的统计特性 4.3 路面不平度时域的数值模拟
一辆汽车在某一公路上行 驶，由于随机因素（例如路 面高低不平）的影响，驾驶 员的座椅处的垂直加速度每 时每刻都在变动，并在一平 均值上下摆动。
图4-3中曲线为试验得到 的加速度曲线。由于随机因 素的影响，同一位置，驾驶 员即使以同样油门开度做第 二次、第三次乃至第n次试 验，都不会得到相同的结果。
∞
∑→
∫−∞∞
n=−ω
逆变换
f
(t )
=
1
2π
∫−∞∞ F (ω ).e jωt dω
FT物理 意义
(a) F(ω)是一个密度函数的概念； (b) F(ω)是一个连续谱； (c) F(ω)包含了从零到无限高频的所有频率分量；
(d) 各频率分量的频率不成谐波关系。
FT傅立叶变换一般为复数
∫ F (ω ) = ∞ f (t).e− jωt dt = F (ω ) e jϕ (ω ) −∞
). dt
t0 +T1 t0
f (t).cosnω1t.dt
∫ 正弦分量系数
bn
=
2 T1
t0 +T1 t0
f (t).sin nω1t.dt
周期函数的频谱
• 周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。 直观看出：各分量的大小，各分量的频移。
Cn
ϕn (ω)
ω1
nω1
ω1
nω1
周期函数的复指数级数形式傅里叶级数
各态历经随机过程
lim ∫ a = x(t) =
1 T /2 x(t)dt
T T →∞
−T / 2
lim ∫ R(τ ) = x(t)X (T +τ ) =
1 T /2 x(t) X (T + τ )dt
T T →∞
−T / 2
“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随
机过程的所有可能状态。
（4） 互相关函数
3.平稳随机过程
在实际问题中，经常会碰到这样一类随机过程：
如河水的流动，总是在某一平均值周围连续地随机波动， 且其振幅、振动特性在时间增长过程中，基本保持不变。这 样的过程称之为平稳随机过程，简称为平稳过程。
一般来说，动力学系统的随机过程一开始是不平稳的，即 所谓过渡过程。当过渡过程消失，转入稳定状态以后，即可
• 设x(t)是零均值的随机信号，且x(t) 中无周期性分
量，其自相关函数 Rx (τ → ∞) = 0 ，自相关函数满足
富立叶变换条件
∞
∫−∞
Rx (τ ) dτ
<0
• 工程中对信号进行隔直 处理，使 μx = 0 。
• 对于含有周期成分的信 号，用窗函数(window function)截断，使
∞
−∞ xp(x, t1)dx
E[X(t1)]是随机过程X(t)的所有样本函数在时刻t1的函 数值的平均
t1时刻对数学期望的偏离程度。
随机过程的二维数字特征 （3） 自相关函数
均值和方差是刻划随机过程在各个孤立时 刻统计特性的重要数字特征。 不能描述随机过程两个不同时刻状态之间 的联系。例如两个随机过程可以具有相同的 均值和方差，但却有完全不同的内部结构。 需要利用二维概率密度引入新的数字特征。