2019-2020学年重庆一中八年级（上）期末数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1．下列各银行标志是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．若a＞b，下列说法正确的是（）A．a﹣b＜0 B．2a＞2b C．﹣a＞﹣b D．a﹣1＜b﹣13．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＞﹣2且x≠0 B．x≠0 C．x≥﹣2 D．x≥﹣2且x≠04．如表，记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的是（）甲乙丙丁平均数（cm）376 350 376 350方差x212.5 13.5 2.4 5.4A．甲B．乙C．丙D．丁5．如图，直线y＝x+3分别与x轴、y轴交于点A，C，直线y＝mx+分别与x轴、y轴交于点B，D，直线AC与直线BD相交于点M（﹣1，b），则不等式x+3≤mx+的解集为（）A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x≥2 D．x≤26．估计（+2）×的值应在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5相6之间7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到Rt△A′B′C，此时点A在边B′C上，且∠BCA′＝130°，则∠B′的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．50°8．已知ab＝2，a﹣3b＝﹣5，则代数式a2b﹣3ab2+ab的值为（）A．﹣6 B．﹣8 C．﹣10 D．﹣129．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一问题：“金有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（）A．B．C．D．10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，AC＝6，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF．若四边形ACFD的面积等于6，则平移的距离等于（）A．2 B．3 C．2D．411．如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，…，其中点A1的坐标为（2，0），点A2的坐标为（1，﹣），点A3的坐标为（0，0），点A4的坐标为（2，2），…，按此规律排下去，则点A2020的坐标为（）A．（1，﹣1009）B．（1，﹣1010）C．（2，1009）D．（2，1010）12．如果关于x的不等式组的解集为x＞4，且整数m使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数（x，y均为整数），则符合条件的所有整数m的和是（）A．﹣2 B．2 C．6 D．10二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）13．计算；（）﹣2﹣+（﹣1）0＝．14．分解因式：3a3﹣6a2+3a＝．15．已知+＝3，则代数式的值为．16．如图，直线y＝x+2与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段OA上的一点，若将△ABC沿BC折叠，点A恰好落在x轴上的A′处，则点C的坐标为．17．尊老助老是中华民族的传统美德，我校的小艾同学在今年元旦节前往家附近的敬老院，为老人们表演节目送上新年的祝福．当小艾同学到达敬老院时，发现拷音乐的U盘没有带，于是边打电话给爸爸边往家走，请爸爸能帮忙送来.3分钟后，爸爸在家找到了U盘并立即前往敬老院，相遇后爸爸将U盘交给小艾，小艾立即把速度提高到之前的1.5倍跑回敬老院，这时爸爸遇到了朋友，停下与朋友交谈了2分钟后，爸爸以原来的速度前往敬老院观看小艾的表演．爸爸与小艾的距离y（米）与小艾从敬老院出发的时间x（分）之间的关系如图所示，则当小艾回到敬老院时，爸爸离敬老院还有米．18．“元旦”期间小明去永辉超市购物，恰逢永辉超市“满1400减99元”促销活动，小明准备提前购置一些年货A和B，已知A和B的单价总和是100到200之间的整数，小明粗略测算了一下发现自己所购年货总价为1305元，不能达到超市的促销活动金额．于是小明又购买了A、B各一件，这样就能参加超市的促销活动，最后刚好付款1305元．小明经仔细计算发现前面粗略测算时把A和B的单价看反了，那么小明实际总共买了件年货．三、解答题（共78分）19．（8分）计算：（1）﹣（2）÷（x+2﹣）20．（8分）重庆一中开展了“爱生活•爱运动”的活动，以鼓励学生积极参与体育锻炼．为了解学生每周体育锻炼时间，学校在活动之前对八年级同学进行了抽样调査，并根据调査结果将学生每周的体育锻炼时间分为3小时、4小时、5小时、6小时、7小时共五种情况．小明根据调查结构制作了如图两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：【整理数据】“爱生活•爱运动”的活动结束之后，再次抽查这部分学生的体育锻炼时间：一周体育锻炼时间（小时） 3 4 5 6 7人数 3 5 15 a 10活动之后部分学生体育锻炼时间的统计表【分析数据】平均数中位数众数活动之前锻炼时间（小时） 5 5 5活动之后锻炼时间（小时） 5.52 b c请根据调查信息分析：（1）补全条形统计图，并计算a＝，b＝小时，c＝小时；（2）小亮同学在活动之前与活动之后的这两次调查中，体育锻炼时间均为5小时，根据体育锻炼时间由多到少进行排名统计，请问他在被调查同学中体育锻炼时间排名靠前的是（填“活动之前”或“活动之后”），理由是；（3）已知八年级共2200名学生，请估算全年级学生在活动结束后，每周体育锻炼时间至少有6小时的学生人数有多少人？21．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质﹣﹣运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点、平移、对称的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|＝，结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题．在函数y＝﹣|x﹣2|+b中，自变量x的取值范围是全体实数，如表是y与x的几组对应值：x ﹣1 0 1 2 3y …0 1 2 3 2 …（1）根据表格填写：b＝．（2）化简函数解析式：当x＜2时，y＝；当x≥2时，y＝．（3）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并解决以下问题；①该函数的最大值为；②若A（a，﹣1），B（b，﹣1）为该函数图象上不同的两点，则a+b＝；③根据图象可得关于x的方程﹣x+1＝﹣|x﹣2|+b的解为．22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线CD与x轴、y轴分别交于分别交于点C、点D，直线AB的解析式为y＝﹣x+5，直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），两直线交于点E（m，），且OB：OC＝5：4．（1）求直线CD的解析式；（2）将直线CD向下平移一定的距离，使得平移后的直线经过A点，且与y轴交于点F，求四边形AEDF的面积．23．（10分）“唯有书香气，引得大咖来”．2019年2月14日至15日，由北京师范大学国际写作中心、重庆市第一中学校共同发起的主题为“阅读与写作”﹣﹣首届“作家进校园”与“校园写作计划”活动隆重举行．10余位国内文学大咖云集一中校园，开启大师课堂，也再次在校园掀起了读书热潮．学校图书馆准备购进甲、乙两种书籍若干册供师生阅读，已知购买3册甲种书和4册乙种书共需265元；购买8册甲种书和7册乙种书共需560元．（1）求甲种、乙种书籍每册各多少元？（2）学校图书馆计划采购甲、乙两种书籍共710册，沙坪坝新华书店对重庆一中图书馆给予优惠，甲种书的单价不变，而乙种书的单价降价10%，这样购买乙种书的总价仍不低于甲种书的总价，则校图书馆至少需要投入多少资金才能完成采购计划？24．（10分）若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为5＝32﹣22，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：M＝x2+2xy＝x2+2xy+y2﹣y2＝（x+y）2﹣y2（x，y是正整数），所以M也是“明礼崇德数”，（x+y）与y是M的一个平方差分解．（1）判断：9 “明礼崇德数”（填“是”或“不是”）；（2）已知N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k（x，y是正整数，k是常数，且x＞y+1），要使N是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；（3）对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数为“七喜数”．若m既是“七喜数”，又是“明礼崇德数”，请求出m的所有平方差分解．25．（10分）在△ABC中，AC＝BC，以AB为边作等腰直角△ABD，使∠BAD＝90°，边BD交AC于点E．（1）如图1，过点A作AH⊥BD于点H，当∠BAC＝75°，AD＝时，求线段EC的长；（2）如图2，过点B作BF⊥BC于点B，且BF＝BC，连接AF，若E为AC的中点，求证：AF＝2DE．26．（12分）如图1，已知直线AC的解析式为y＝﹣x+b，直线BC的解析式为y＝kx﹣2（k≠0），且△BOC 的面积为6．（1）求k和b的值；（2）如图1，将直线AC绕A点逆时针旋转90°得到直线AD，点D在y轴上，若点M为x轴上的一个动点，点N为直线AD上的一个动点，当DM+MN+NB的值最小时，求此时点M的坐标及DM+MN+NB的最小值；（3）如图2，将△AOD沿着直线AC平移得到△A′O′D′，A′D′与x轴交于点P，连接A′D、DP，当△DA′P是等腰三角形时，求此时P点坐标．参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．2．【解答】解：A、给不等式a＞b两边同时减去b得，a﹣b＞0，原说法错误，故A选项不符合题意；B、给不等式a＞b两边同时乘以2得，2a＞2b，原说法正确，故选项B符合题意；C、给不等式a＞b两边同时乘以﹣1得，﹣a＜﹣b，原说法错误，故选项C不符合题意；D、先给不等式a＞b两边同时减去1得，a﹣1＞b﹣1，原说法错误，故选项D不符合题意；故选：B．3．【解答】解：由题意可知：，∴x≥﹣2且x≠0，故选：D．4．【解答】解：∵乙和丁的平均数最小，∴从甲和丙中选择一人参加比赛，∵丙的方差最小，∴选择丙参赛；故选：C．5．【解答】解：根据函数图象，当x≤﹣1时，x+3≤mx+，所以不等式x+3≤mx+的解集为x≤﹣1．故选：B．6．【解答】解：（+2）×＝1+2，∵3＜2＜4，∴4＜1+2＜5，故选：C．7．【解答】解：由题意∠A′＝∠CAB＝90°，∠A′CB′＝＝65°，∴∠B′＝90°﹣65°＝25°，故选：A．8．【解答】解：a2b﹣3ab2+ab＝ab（a﹣3b+1），∵ab＝2，a﹣3b＝﹣5，∴原式＝2×（﹣4）＝﹣8，故选：B．9．【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得：．故选：A．10．【解答】解：∵∠B＝90°，∠BAC＝30°，AC＝6，∴BC＝AC＝3，∴AB＝＝＝3，∵将△ABC沿BC向右平移得到△DEF．∴AD＝CF，AD∥CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∵四边形ACFD的面积等于6，∴CF×AB＝6，∴CF＝2，故选：A．11．【解答】解：观察所给图形，发现x轴上方的点是4的倍数，∵2020÷4＝505，∴点A2020在x轴上方，∵A3A4＝4，∴A5（4，0），∵A5A7＝6，∴A7（﹣2，0），∵A8A7＝8，∴点A8的坐标为（2，4），同理可知，点A4n的坐标为（2，2n），∴点A2020的坐标为（2，1010），故选：D．12．【解答】解：解不等式＞0，得：x＞m，解不等式﹣x＜﹣4，得：x＞4，∵不等式组的解集为x＞4，∴m≤4，解方程组得，∵x，y均为整数，∴m＝4或m＝10或m＝2或m＝﹣4，又m≤4，∴m＝﹣4或m＝4或m＝2，则符合条件的所有整数m的和是2，故选：B．二、填空题13．【解答】解：原式＝9﹣3+1＝7．故答案为：7．14．【解答】解：3a3﹣6a2+3a＝3a（a2﹣2a+1）＝3a（a﹣1）2．故答案为：3a（a﹣1）2．15．【解答】解：由题意可知：a+b＝3ab，原式＝＝＝，故答案为：16．【解答】解：当x＝0时，y＝x+2＝2，∴点A的坐标为（0，2）；当y＝0时，x+2＝0，解得：x＝﹣，∴点B的坐标为（﹣，0）．∴AB＝＝．∵AB＝A′B，∴OA′＝﹣＝1．设OC＝m，则AC＝A′C＝2﹣m．在Rt△A′OC中，A′C2＝A′O2+OC2，即（2﹣m）2＝12+m2，解得：m＝，∴点C的坐标为（0，）．17．【解答】解：由题意可得，小艾的原来的速度为：180÷（11﹣9）÷1.5＝60（米/分钟），爸爸的速度为：（990﹣60×3）÷（9﹣3）﹣60＝75（米/分钟），9分钟的时候，小艾离敬老院的距离为：60×9＝540（米），小艾最后回到敬老院的时间为：9+540÷（60×1.5）＝15（分钟），当小艾回到敬老院时，爸爸离敬老院还有：540﹣（15﹣11）×75＝240（米），故答案为：240．18．【解答】解：1305+99＝1404，设A的单价为x元，共买a件；B的单价为y元，共买b件，由题意得：，①+②得：（a+b﹣1）（x+y）＝2709，∵2709＝3×3×7×43，且已知A和B的单价总和是100到200之间的整数，∴x+y＝3×43＝129（元），∴a+b﹣1＝2709÷129＝21，∴a+b＝22（件）．故答案为：22．三、解答题19．【解答】解：（1）原式＝＝＝．（2）原式＝÷＝•＝20．【解答】解：（1）调查的总人数为：14÷28%＝50（人），a＝50﹣3﹣5﹣10﹣15＝17（人），活动结束后，再抽查，体育锻炼时间最多的是6小时，有17人，因此众数是6小时，把体育锻炼时间从小到大排列后处在第25位、26位的两个数都是6小时，因此中位数是6，故答案为：17、6、6；（2）活动之前，体育锻炼为6小时的有：50﹣6﹣12﹣14﹣6＝12人，小亮5小时锻炼时间的并列排名为：12+6+1＝19名，而活动之后，小亮5小时锻炼时间的并列排名为：17+10+1＝28名，故答案为：活动之前，活动之前小亮的体育锻炼时间并列排名19名，而活动之后则并列排名28名（3）2200×＝1188（人），答：八年级2200名学生中，生在活动结束后，每周体育锻炼时间至少有6小时的学生大约有1188人．21．【解答】解：（1）将x＝﹣1，y＝0代入解析式可得：0＝﹣3+b，∴b＝3，故答案为：3；（2）当x＜2时，y＝﹣（2﹣x）+3＝x+1；当x≥2时，y＝﹣（x﹣2）+3＝﹣x+5；故答案为：x+1，﹣x+5；（3）①如图所示：该函数的最大值为为3，故答案为：3；②∵A（a，﹣1），B（b，﹣1）为该函数图象上不同的两点，∴a+1＝﹣1，﹣b+5＝﹣1，∴a＝﹣2，b＝6，∴a+b＝4，故答案为：4；③由图象可得x＝0或x＝5，故答案为：x＝0或x＝5．22．【解答】解：（1）将点E（m，）代入直线AB的解析式y＝﹣x+5，解得m＝，∴点E的坐标为（，），OB：OC＝5：4，OB＝5，∴OC＝4，∴点C坐标为（﹣4，0），将点E（，），点C（﹣4，0），代入直线CD的解析式y＝kx+b中，解得所以直线CD解析式为y＝x+2．（2）当y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝8，所以A点坐标为（8，0），∵直线CD向下平移一定的距离，平移后的直线经过A点，且与y轴交于点F，∴设直线AF的解析式为y＝x+d，把A（8，0）代入得d＝﹣4，所以直线AF的解析式为y＝x﹣4．所以点F的坐标为（0，﹣4）．如图，作EG⊥x轴于点G，所以四边形AEDF的面积为：S梯形ODEG+S△AEG+S△AOF＝（2+）×+××（8﹣）+4×8＝32．答：四边形AEDF的面积为32．23．【解答】解：（1）设甲种书籍每册x元，乙种书籍每册y元，依题意，得：，解得：．答：甲种书籍每册35元，乙种书籍每册40元．（2）设购买m册乙种书籍，则购买（710﹣m）册甲种书籍，依题意，得：40×（1﹣10%）m≥35（710﹣m），解得：m≥350．∵40×（1﹣10%）＝36（元），36＞35，∴乙种书籍的单价高于甲种书籍，∴当m＝350时，投入资金最少，最少资金＝36×350+35×（710﹣350）＝25200（元）．答：校图书馆至少需要投入25200元资金才能完成采购计划．24．【解答】解：（1）∵9＝52﹣42，∴9是“明礼崇德数”，故答案为是；（2）∵N是“明礼崇德数”，∵x＞y+1，∴x+2＞y+3，∴N＝x2﹣y2+4x﹣6y+4﹣9＝（x+2）2﹣（y+3）2，∵N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k＝（x+2）2﹣（y+3）2，∴k＝﹣5；（3）设百位数字是x，则个位数字是x+7，∴x＝1或x＝2，当x＝1时，这个三位数是178，∴m＝178＝2×89，此时m不是“明礼崇德数”；当x＝2时，这个三位数是279，∴m＝279＝3×93＝9×31，∴m＝482﹣452＝202﹣112，∴48与45是m的平方差分解；21与11是m的平方差分解．25．【解答】（1）解：如图1中，∵CA＝CB，∴∠BAC＝∠ABC＝75°，∴∠C＝180°﹣2×75°＝30°，∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠D＝45°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABD＝75°﹣45°＝30°，∴EB＝EC，∵AH⊥BD，∴∠BAH＝∠DAH＝45°，∴∠HAE＝75°﹣45°＝30°，∵AH＝AD＝，∴BH＝DH＝AH＝，EH＝AH•tan30°＝1，∴BE＝BH+EH＝+1，∴EC＝EB＝+1．（2）证明：如图2中，作BH⊥BA，使得BH＝BA，连接AH交BD于O，连接CH．∵∠FBC＝∠ABH＝90°，∴∠FBA＝∠CBH，∵BF＝BC，BA＝BH，∴△FBA≌△CBH（SAS），∴AF＝CH，∠BAF＝∠HBC，∠F＝∠BCH，∵∠ABD＝∠OBH＝45°，BA＝BH，∴OA＝OH，BO⊥AH，∴OB＝OD＝OA＝OH，∵AE＝EC，∴OE∥EC，OE＝CH，∴∠AHC＝∠AOD＝90°，∵∠BHA＝∠BAH＝45°，∴∠HBC＝∠BAF＝135°，∴∠BAF+∠BAH＝180°，∴F，A，H共线，∵∠CAB＝∠CBA，∠OAB＝∠OBA＝45°，∴∠CAH＝∠CBO，∵∠CBO＝∠BCH，∠BCH＝∠F，∴∠CAH＝∠F，∵AC＝CB＝BF，∠AHC＝∠FOB＝90°，∴△FOB≌△AHC（AAS），∴OB＝CH，∵OB＝OD，∴CH＝OD，∵OE＝CH，∴DE＝OE，∴CH＝2DE，∵AF＝CH，∴AF＝2DE．26．【解答】解：（1）直线BC的解析式为y＝kx﹣2，则点C（0，﹣2），将点C的坐标代入y＝﹣x+b得：﹣2＝b，解得：b＝﹣2，故直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣2；△BOC的面积＝OB•CO＝2×OB＝6，解得：OB＝6，故点B（6，0），将点B的坐标代入y＝kx﹣2得：0＝6k﹣2，解得：k＝；故k＝，b＝﹣2；（2）将直线AC绕A点逆时针旋转90°得到直线AD，则点D（0，2），由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝x+2；过点B作点B关于直线AD的对称点B′，连接B′C交AD于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求点，点C是点D关于x轴的对称点，则MC＝MD，而NB＝NB′，故DM+MN+NB＝MC+MN+NB′＝B′C为最小，直线AD的倾斜角为45°，BB′⊥AD，则AB＝AB′＝8，直线AB′与AD的夹角也为45°，故直线AB′⊥AB，故点B′（﹣2，8），由点B′、C的坐标得，直线B′C的表达式为：y＝﹣5x﹣2，令y＝0，即﹣5x﹣2＝0，解得：x＝﹣，故点M（﹣，0），DM+MN+NB最小值为B′C＝＝2；（3）设△AOD沿着直线AC向右平移m个单位，向下平移m个单位得到△A′O′D′，则点A′（m﹣2，﹣m），设直线A′D′的表达式为：y＝x+b′，将点A′的坐标代入上式得：﹣m＝m﹣2+b′，解得：b′＝2﹣2m，则直线A′D′的表达式为：y＝x+2﹣2m，令y＝0，则x＝2m﹣2，故点P（2m﹣2，0），而点A′（m﹣2，﹣m），点D（0，2），则A′P2＝2m2，A′D2＝（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝2m2+8，PD2＝（2m﹣2）2+4；当A′P＝A′D时，2m2＝2m2+8，解得：方程无解；当A′P＝PD时，同理可得：m＝2；当A′D＝PD时，同理可得：m＝0（舍去）或4，综上，点P（2，0）或（6，0）。