CBE
CAE
d
x 1( y)
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
EAC
c
LQ( x, y)dy
o
同理可证
D
P y
dxdy
L
P
(
x
,
y
)dx
E D
C
x 2( y)
x
两式相加得
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
证明(2)
L3 D3
若区域D 由按段光
滑的闭曲线围成.如图,
将D 分成三个既是X 型又是 L1 D1
x
D {( x, y)1( x) y 2( x),a x b}
D {( x, y)1( y) x 2( y),c y d }
Q dxdy
d
dy
2 ( y) Qdx
D x
c
1 ( y) x
d
c
Q(
2
(
y),
y)dy
d
c
Q(
1(
y),
y)dy
y
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
四、小结
1.连通区域的概念;
2.二重积分与曲线积分的关系
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
——格林公式;
3. 格林公式的应用.
思考题
y
若区域 如图为
复连通域，试描述格
D
C
G
林公式中曲线积分中LE的方向。源自oAFBx
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
思考题解答
围成的面积.
解 ONA为直线 y 0.
M
曲线AMO 由函数
A(a,0) N
y ax x, x [0,a]表示,
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2 ONA
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
M
N
A(a,0)
1 2
0
a
x(
2
a ax
1)dx
(
ax x)dx
a a
40
xdx 1 a2 . 6
L3
E C
F
L1
A
{ } (Pdx Qdy) AB L2 BA AFC CE L3 EC CGA
( )(Pdx Qdy)
L2
L3
L1
Pdx Qdy L
(L1,L2 , L3对D来说为正方向)
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与
二重积分之间的联系.
则 Q P e y2 , x y
A
x
1
应用格林公式,有
e y2dxdy
xe y2 dy
D
OA AB BO
xe y2dy 1 xex2dx
OA
0
1 (1 e1 ). 2
例3
计算
L
xdy x2
ydx y2
,其中L
为一条无重点,
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方
向为逆时针方向.
L Pdx Qdy
L3 D3
( L1, L2 , L3对D来说为正方向) L1 D1
D2 L2
L
证明(3)
G
若区域不止由一条闭曲
线所围成.添加直线段 AB,CE.
则D 的边界曲线由 AB,L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成.
D
L2
B
由(2)知
D
(
Q x
P y
)dxdy
D
OA xdy AB xdy BO xdy,
由于 OA
xdy
0,
BO xdy 0,
xdy dxdy 1 r2.
AB D
4
2. 简化二重积分
y
例 2 计算
e y2 dxdy ,其中D 是
B 1
D
D
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点
的三角形闭区域.
o
解 令P 0, Q xe y2 ,
便于记忆形式:
x ydxdy L Pdx Qdy.
DP Q
三、简单应用
1. 简化曲线积分
例 1 计算 xdy ,其中曲 AB
线 AB是半径为r 的圆在
第一象限部分.
y
A
D
oL
Bx
解 引入辅助曲线L , L OA AB BO
应用格林公式, P 0, Q x 有
dxdy L xdy
解 记L所围成的闭区域为D ,
令P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
,
则当 x2
y2
0时,
有Q x
(
y2 x2
x2 y2 )2
P .
y
y
(1) 当(0, 0) D时,
由格林公式知
L
xdy x2
ydx y2
0
D
o
(2) 当(0,0) D时,
L x
作位于D 内圆周 l : x2 y2 r 2, y L
一、区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域.
D D
单连通区域
复连通区域
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成
的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
格林公式:
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
取P y, Q x, 得 2 dxdy L xdy ydx
D
闭区域D 的面积
A
1
2 L
xdy
ydx .
取P 0, Q x, 得 A L xdy 取P y, Q 0, 得 A L ydx
例 4 计算抛物线( x y)2 ax(a 0)与x 轴所
G
G
G
一维单连通 二维单连通
一维单连通 二维不连通
一维不连通 二维单连通
二、格林公式
定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围
成,函数P( x, y)及Q( x, y)在D 上具有一阶连
续偏导数, 则有
D
( Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
(1)
其中L 是D 的取正向的边界曲线,
公式(1)叫做格林公式.
L1
D
L2
L1
D
L2
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边.
证明(1)
若区域D 既是X 型 又是Y 型,即平行于 坐标轴的直线和L 至
多交于两点.
y
d x 1( y)
A c oa
E y 2(x)
D
B
x 2( y)
Cy 1(x) b
记D1由L 和l 所围成,
应用格林公式,得
l D1
or
x
L
xdy x2
ydx y2
l
xdy x2
ydx y2
0
L
xdy x2
ydx y2
l
xdy x2
ydx y2
y
L
D1
l
or
x
2r 2
0
cos2
r2
r2
sin2
d
2 .
( 其 中l 的 方 向 取逆时针方向)
(注意格林公式的条件)
3. 计算平面面积
Y 型的区域D1,D2 ,D3 .
Q P
Q P
( )dxdy
( )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
D2 L2
D L
Q P
Q P
Q P
(
D1
x
y
)dxdy
(
D2
x
y
)dxdy
(
D3
x
y
)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy