杨浦区2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学学科试卷（理科） 2015.1.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知() , 0,1sin 2∈=απα，则α=________________. 2．设{}13A x x =≤≤，{}124,B x m x m m R =+≤≤+∈，A B ⊆，则m 的取值范围是________. 3．已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==，则通项公式为n a =________________. 4．已知直线l 经过点()()1,2,3,2A B --，则直线l 的方程是___________________. 5. 函数()()012<-=x x x f 的反函数()=-x f1．6. 二项式91x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式（按x 的降幂排列）中的第４项是_________________.7． 已知条件:12p x +≤；条件:q x a ≤，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ． 8．向量()()2,3,1,2a b ==-，若ma b +与2a b -平行，则实数m =_________. 9．一家55窗口走廊 窗口 其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有__________种。

10．在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部溶化后，容器中液面的高度为_______________.（相同质量的冰与水的体积比为10：9）11．不等式()2log 431xx ->+的解集是_______________________.12．设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ，若30a b c a ba b c++=+-，则角C =_________.13．已知122ω=-+，集合{}2*1,n A z z n N ωωω==++++∈，集合第15题图1212{|,}B x x z z z z A ==⋅∈、（1z 可以等于2z )，则集合B 的子集个数为__________.14．如图所示，已知函数 2log 4y x =图像上的两 点 A 、 B 和函数 2log y x =上的点 C ，线段 AC 平行于 y 轴， 三角形 ABC 为正三角形时， 点 B 的坐标为 (),p q , 则 22q p ⨯的值为________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（ ） A ． 7i < B ．8i <C ． 7i >D ．8i >16．下列命题中正确的是（ ）A ．若x C ∈，则方程32x =只有一个根B ．若12,zC z C ∈∈且120z z ->，则12z z > C ．若z R ∈，则2z z z ⋅=不成立D ．若z C ∈，且20z <，那么z 一定是纯虚数17．圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个 圆的方程是（ ）A ．01222=+--+y x y xB ．041222=---+y x y xC ．01222=+-++y x y xD ． 041222=+--+y x y x18．对数列{}{},n n a b ，若区间[],n n a b 满足下列条件：①[]11,n n a b ++≠⊂[]()*,n n a b n N ∈；②()lim 0n n n b a →∞-=，则称{},n n a b ⎡⎤⎣⎦为区间套。

下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ）A 12,23n n n n a b ==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；B. 21,31nn n n a b n ==+⎛⎫ ⎪⎝⎭第14题图OABCD MNC ．11,13nn n n a b n -==+⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．32,21n n n n a b n n ++==++ 三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ． 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，异面直线AD 与1BC 所成角的大小为60︒，求： （1）线段1A 1B 到底面ABCD 的距离； （2）三棱椎11B ABC -的体积。

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ． 如图，有一块扇形草地OMN ，已知半径为R ，2MON π∠=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A 、B 在弧MN 上，且线段AB 平行于线段MN （1）若点A 为弧MN 的一个三等分点，求矩形ABCD 的面积S ； （2）当A 在何处时，矩形ABCD 的面积S 最大？最大值为多少？21．（本题满分14分）第一小题3分，第二小题5分，第三小题6分．已知函数()21ax f x bx c+=+是奇函数，,,a b c 为常数x求实数c 的值；若,a b Z ∈，且()()12,23f f =<，求()f x 的解析式；对于（2）中的()f x ，若()2f x m x ≥- 对()0,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值 范围. 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第一小题3分，第二小题7分，第三小题6分 如图，曲线Γ由曲线()22122:10,0x y C a b y ab+=>>≤和曲线()22222:10x y C y ab-=>组成，其中点12,F F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点，点34,F F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点，（1）若()()232,0,6,0F F -，求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l 平行于曲线2C 的渐近线，交曲线1C 于点A 、B ，求证：弦AB 的中点 M 必在曲线2C 的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点C 、D ，求1CDF ∆面积的最 大值。

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.数列{}n a 各项均不为0，前n 项和为n S ，3n n b a =，n b 的前n 项和为n T ，且2n n T S =若数列{}n a 共3项，求所有满足要求的数列； 求证：()*n a n n N =∈是满足已知条件的一个数列；请构造出一个满足已知条件的无穷数列{}n a ，并使得20152014a =-；若还能构造其他符合要求的数列，请一并写出（不超过四个）。

理科评分参考 填空题 1.566ππ或2．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3．()*10n n N-∈4．10x y ++=5. )1x >- 6．384x - 7．1a ≥ 8．12-9．30 10．161511．()2log 3,+∞ 12．3π13．16 14．二、选择题 15．B 16．D 17．D 18．C三、解答题 19．（本题12分） 解：（1）//AD BC ，∴1CBC ∠为异面直线AD 与1BC 所成角，∴160CBC ∠=︒ …………2分正四棱柱1111ABCD A B C D -，111//A B ABCDBB ABCD ∴⊥面，面 1BB ∴线段的长为线段1A 1B 到底面ABCD 的距离， …………4分1RT BCC ∆中，1BC =，160CBC ∠=︒，11BB CC ∴== 线段1A 1B 到底面ABCD…………6分 （2）1111--=B ABC A BB C V V …………8分111132⎛=⋅⋅⋅ ⎝ …………10分=…………12分 20．（本题14分，第一小题6分，第二小题8分）（1）解：如图，作OH AB ⊥于点H ，交线段CD 于点E ，连接OA 、OB ，6AOB π∴∠=， …………2分2sin,cos1212AB R OH R ππ∴==，1sin 212OE DE AB R π===cos sin 1212EH OH OE R ππ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭ …………4分222sincos sin 2sin cos 2sin 121212121212S AB EH R R R ππππππ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221sincos1662R R ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ …………6分 （2）设02AOB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭…………7分 则2sin,cos22AB R OH R θθ∴==，1sin 22OE AB R θ== c o s s i n 22EH OH OE R θθ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭…………9分222sincos sin 2sin cos 2sin 222222S AB EH R R R θθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()22sin cos 114RR πθθθ⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎥⎝⎭⎦ …………11分0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,444πππθ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭…………12分42ππθ∴+=即4πθ=时， …………13分)2m a x 1S R =，此时A 在弧MN的四等分点处答：当A 在弧MN 的四等分点处时，)2max 1S R =…………14分21．（本题14分，第一小题3分，第二小题5分，第三小题6分） （1）()()f x f x -=-，2211ax ax bx c bx c++∴=--++…………1分b xc b x c ∴-+=--…………2分 0c ∴= …………3分（2）()()12,23f f =<-， 124132a b a b+⎧=⎪⎪∴⎨+⎪<⎪⎩ …………4分124131241132a ba a a a b⎧⎪⎨⎪⎩∴+=+⇒<⇒-<<++< …………5分,01a Z a ∈∴=或 …………6分 当0a =时，12b =（舍） …………7分 当1a =时，1b =，()21x f x x+∴= …………8分（3）()1f x x x=+1123x m x m x x x∴+≥-⇒≤+对()0,x ∈+∞恒成立13x x +≥x =即x =min 13⎛⎫+= ⎪⎝⎭x xm ∴≤22．（本题16分，第一小题3分，第二小题7分，第三小题6分）（1）2222223620416a b a a b b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩ …………2分 则曲线Γ的方程为()22102016x y y +=≤和()22102016x y y -=>。