第一章部分习题及参考答案1设p、q的真值为0; r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。

(1) p V (q A r)(2) ( p?r )A (「q V s)(3) ( — p A 一q A r) ?(p A q A「r)(4) ( 一r A s) T (p A 一q)2 .判断下面一段论述是否为真：“是无理数。

并且，如果3是无理数，则2也是无理数。

另外6能被2整除，6才能被4整除。

”屬慫润厲钐瘗睞枥庑赖。

矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃。

3. 用真值表判断下列公式的类型：(1)(pq) T(q T一p)(2)(p A ry(一p A 一q)(3)((p T q) A (q T r)) T (p T r)4•用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值⑴一(p A q T q)⑵(p T (V q)) V (p T r)(3)(p V q) T (pA r)5.用等值演算法证明下面等值式：(1) (p T q A (p T r)二(p T (qA r))(2) (p A 一q) V (一p A q)二(p V q) A _ (p A q)6•求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1) ( —p T q) T (- q V p)(2) 一(p T q)A q A r(3) (p V (q A r)) T (V q V r)7.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(1)前提:p—；q, — (q r),r结论:_P⑵前提:q— p,qi s,si t,t r结论：p q8•在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理：前提：p > (q > r),s—；p,q结论：S r r9.在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：前提：| q, - r q,r _s结论：—p参考答案：1.(1) p V (q A r)u 0V (0A 1)：= 0(2) ( p?r )A (「q V s)二(0?1 )A (1 V 1)= 0 A 1= 0(3) (— p A 一q A r) ?(p A q A「r)= (1 A 1 A 1) ? (0 A 0 A 0)：= 0(4) (—r A s) T (p A 一q)二(0A 1) (1 A 0)：= OF u 12. p:二是无理数 1q: 3是无理数0r: -2是无理数 1 s:6能被2整除1t: 6能被4整除0命题符号化为：p A (q T r)A (t T s的真值为1,所以这一段的论述为真。

3. (1)p q p T q -1 -1 -1 -1q p q T p (p T q) T(q T p)0 0 1111 1聞創沟燴鐺險爱氇谴净。

聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸。

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残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭。

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酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧。

1 1 1 0 0 1 1 彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。

彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒。

所以公式类型为永真式(2) 公式类型为可满足式(方法如上例)(3) 公式类型为永真式(方法如上例)4. (2) ( p T (p V q) )V (p T r)二(一p V (p V q)) V (一p V r)= - p V p V q V r= 1 所以公式类型为永真式⑶P q r p V q p A r (p V q)T (p A r)謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。

謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點。

0 0 0 0 0 1厦礴恳蹒骈時盡继價骚。

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0 0 1 0 0 1茕桢广鳓鯡选块网羈泪。

茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀。

0 1 0 1 0 0鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。

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0 1 1 1 0 0籟丛妈羥为贍债蛏练淨。

籟丛妈羥为贍债蛏练淨槠。

1 0 0 1 0 0預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。

預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買。

1 0 1 1 1 1渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。

渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇。

1 1 0 1 0 0铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。

铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡缝。

1 1 1 1 1 1擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。

擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報。

所以公式类型为可满足式5•证明(1) (p T q)A (p T r)二(一p V q) A Cp V r)二p T (q A r)(2) (p A 一q) V Cp A q)二(p V (一p A q)) A (一q V (一p A q)=(p V 一p) A (p V q) A (一q V 一p) A (一q V q)1 A (p V q) A 一(p A q) A 1二(p V q) A _ (p A q)6.(1) 主析取范式(—p T q) T(一q p)=一(p q) ( 一q p)=(一p _q) (一q p)=(一p _q) (一q p) (一q _ p) (p q) (p _q)=(—p _q) (p _q) (p q)：=m0m2 m3-刀(0,2,3)主合取范式：(一p T q) T(一q p)=一(p q)厂q p)=(一p _q) C q p)1-1 _I _I _I(p ( q p)) ( q ( q p))=1 (p - q)=(p q)u M1=n (1)(2) 主合取范式为：(p T q) q r= ( p q) q r=(p _ q) q 产0所以该式为矛盾式•主合取范式为n (0,123,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为0(3) 主合取范式为：(p (q r)) T (p q r)= 一(p (q r)) T (p q r)：=(—p (p q r)) (( — q — r)) (p q r)) ：=1 1二 1所以该式为永真式•永真式的主合取范式为1主析取范式为刀（0,123,4,5,6,7）7.证明：（1）①一(q r) 前提引入②—q 一r ①置换③q》一r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤一q ③④拒取式⑥Pr q 前提引入p (3)⑤⑥拒取式证明（2）:①t r 前提引入②t ①化简律③qi s 前提引入④Si t 前提引入⑤q— t ③④等价三段论⑥(qr t)（t「q）⑤置换⑦(q > t)⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨qr p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p q ⑧⑩合取8.证明①s 附加前提引入②Sr p 前提引入③p ①②假言推理④p—；（q—；r）前提引入⑤q—；r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理9•证明：①p 结论的否定引入②p—；「q 前提引入q ①②假言推理r q 前提引入r ④化简律⑥r 「s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r 「r ⑤⑦合取由于最后一步r 「r是矛盾式,所以推理正确•第二章部分习题及参考答案(a),(b)条件时命题的真值1. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(1) 对于任意x,均有•2=(x+' )(x -).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合•(b) 个体域为实数集合•2. 在一阶逻辑中将下列命题符号化：(1) 没有不能表示成分数的有理数•(2) 在合肥卖菜的人不全是外地人•3. 在一阶逻辑将下列命题符号化：(1)火车都比轮船快•(3) 不存在比所有火车都快的汽车•4•给定解释I如下：(a) 个体域D为实数集合R.(b) D中特定元素*：=0.(c) 特定函数'(x,y)=x y,x,y • D .(d) 特定谓词(x,y):x=y, (x,y):x<y,x,y D .说明下列公式在I下的含义，并指出各公式的真值：(1) —x — y(G(x,y) —F(x,y))(2) 一x-y(F(f(x, y),a) > G(x, y))5. 给定解释I如下:(a)个体域D=N(N为自然数集合).(b)D中特定元素'=2.(c) D 上函数=x+y, (x,y)=xy.(d) D 上谓词I (x,y):x=y.说明下列各式在I下的含义，并讨论其真值.(1) xF(g(x,a),x)(2) x y(F(f(x,a),y)宀F(f(y,a),x)6. 判断下列各式的类型：(1) I- 八：-I ■■- ■'-⑵Ci -?/yF(x,y).7. 给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。

(1)(F(x)(2)1x(F(x) G(x) H(x))8. 给定解释I如下：(a) 个体域D={3,4};(b) f(x)为f(3) =4,f(4) =3(c) F(x,y)为F(3,3^F (4,4^0, F(3,4)」F(4,3) = 1.试求下列公式在I下的真值.⑴-x yF(x,y)(3)-x-y(F(x,y) > F(f(x), f(y)))9. 求下列各式的前束范式。

⑴-xF (x) —yG(x, y)(2) x1F(x1)x2H;(H (x j—；10. 在自然数推理系统F中,构造下面推理的证明：(1) 前提：xF(x)—，y((F(y) G(y)) > R(y)) , xF (x)结论：T xR(x)(2) 前提：一x(F(x) T (G(a) R(x))),： xF(x)结论：2(F(x)人R(x))参考答案：1. 解:F(x)G(x): x+5=9.(1) 在两个个体域中都解释为-xF (x)，在(a)中为假命题，在(b)中为真命题。

(2) 在两个个体域中都解释为TxG(x)，在(a) (b)中均为真命题。

2. 解：(1) F(x):x能表示成分数H(x): x是有理数命题符号化为：—x(—F(x) H(x))(2) F(x):x是合肥卖菜的人H(x): x是外地人命题符号化为：一-x(F(x) > H(x))3. 解：(1) F(x):x 是火车；G(x): x 是轮船；H(x,y):x 比y 快命题符号化为：-x-y((F(x) G(y)) > H (x, y))(2) (1)F(x):x 是火车；G(x): x 是汽车；H(x,y):x 比y 快命题符号化为：—y(G(y) -x(F(x) > H (x, y)))4. 答:(1)对于任意两个实数x,y,如果x<y,那么x y.真值1.(2)对于任意两个实数x,y,如果x-y=0,那么x<y.真值0.5. 答:(1)对于任意自然数x,都有2x=x,真值0.(2)对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y,那么y+2=x.真值0.6. 解:(1)因为p—；(q—；p)：= —p (一q p) 1 为永真式；所以F 」为永真式；(2)取解释I个体域为全体实数F(x,y) : x+y=5所以，前件为任意实数x存在实数y使x+y=5，前件真；后件为存在实数x对任意实数y都有x+y=5，后件假，］此时为假命题再取解释I个体域为自然数N,F(x,y) : :x+y=5所以，前件为任意自然数x存在自然数y使x+y=5，前件假。