速度0＝0，下摆到竖直位置时的角速度为 ，按 力矩的功和转动动能增量的关系式得
定轴转动的动能定理
mg l 1 J 2
22
由此得 mgl
J
因 J 1 ml 2 代入上式得 3g
3
J
所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度
分别为
vA l 3gl
vC
l
2
1 2
3gl
刚体的平面平行运动
c.若系统内既有平动也有转动现象 发生，若对某一定轴的合外力矩为 零,则系统对该轴的角动量守恒。
定轴转动刚体的角动量守恒定律
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
v dx dt
dv d2 x a dt dt2
P mv F
EK
1 mv2 2
m
dA Fdx Fdt
刚体的定轴转动
d
dt
d
dt
Mz
dLz dt
t2 Mdt t1
L2 L1
dL
L2
L1
角动量定理的微分形式：
t2 t1
M
d
t
J
J0
t2 M d t为t t2 t1时间内力矩M 对给定轴的冲量矩
t1
。
2. 定轴转动刚体的角动量守恒定律
角动量守恒定律：若一个系统一段时间内
所受合外力矩M 恒为零，则此系统的总角 动量L 为一恒量。
解 先对细棒OA所受的力
作一分析；重力G 作用在 O
棒的中心点C，方向竖直向
下；轴和棒之间没有摩擦
力，轴对棒作用的支承力N
垂直于棒和轴的接触面且
通过O点，在棒的下摆过
G
程中，此力的方向和大小
是随时改变的。
A
A
定轴转动的动能定理
在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支撑力N通过
O点，所以支撑力N的力矩等于零，重力G的力矩则
则物体在 d时t 间内转过角位移 d 时 dt
外力矩所做元功为：
dA Md d J d Jd d Jd
dt
dt
总外力矩对刚体所作的功为：
A
2 Md
1
2 1
Jd
1 2
J22
1 2
J12
定轴转动的动能定理
A
2
1
Md
1 2
J
2 2
1 2
J12
刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对 刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。
为
2Ek
J
而飞轮的转速变为
n飞
60
2
60
2
240006r / min 325
149.8r / min
定轴转动的动能定理
例题 一根质量为m、长为 l 的均匀细棒OA（如图 ），可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动 ，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖 直位置时其中点C和端点A的速度。
0
A
M
d
M
0
d
根据功率的定义，力矩的功率为:
p dA Md M 0‘
dt dt
F
d r
dr
P
二. 刚体定轴转动的动能
Ek
Eki
1 2
mivi
2
因 vi ri
则
Ek
1 2
mi
ri
2
2
1 2
(mi
ri
2
)
2
Ek
1 2
J2
刚体转动动能
三.定轴转动的动能定理
根据定轴转动定理
M d J
dt
是变力矩，大小等于mg(l /2) cos ，棒转过一极
小的角位移d 时，重力矩所作的元功是
dA mg l cosd
2
在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中，重力
矩所作的功是
A dA
02
mg
l 2
cosd
mg l 2
应该指出：重力矩作的功就是重力作的功，也可
用重力势能的差值来表示。棒在水平位置时的角
1 5000 2
0.32 0.22 kg m2
325kg m2
皮带传动机构中，电动机的传动轴是主动轮，
飞轮是从动轮。两轮的转速与轮的直径成反比，即
飞轮的转速为
n飞
n电
d电 d飞
定轴转动的动能定理
由此得飞轮的角速度
2n飞 2n电 d电
60
这样飞轮的转动动能是
60 d飞
Ek
1 J 2
2
1 2
325
2
3.14 60
900 60
10
2
40055J
（2）在冲断钢片过程中，冲力F 所作的功为
A Fd 9.80 104 0.5 103 J
49J
定轴转动的动能定理
这就是飞轮消耗的能量，此后飞轮的能量变为
Ek 40055 49J 40006J
由
Ek
1 2
J 2 求得此时间的角速度’‘
例题 讨论一匀质实
y
N
心的圆柱体在斜面上
O
x
的运动。
fr r
解 圆柱体所受的力共有三个： 重力G ，斜面的支承力N 和
aCx
G=mg
摩擦力f r，如图所示。设圆柱体的质量为m，半径
为r，那么，它对其几何的转动惯量
J 1 mr 2 2
四.刚体的重力势能
对于一个不太大的质量为 m的物体，它的重力
势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和。
即：
质心高度为：
hc
mihi
m
Ep mghc
表明：一个不太大的刚体的重力势能与它的质量集 中在质心时所具有的势能一样。
刚体角动量和角动量守恒定律
五.刚体角动量和角动量守恒定律
1. 定轴转动刚体的角动量定理
（2）若冲床冲断0.5mm厚
的薄钢片需用冲力9.80104 2r1 2r2 N，所消耗的能量全部由飞
轮提供，问冲断钢片后飞轮
的转速变为多大？
d
定轴转动的动能定理
解 （1）先求出它的转动惯量和转速。因飞轮质量 大部分分别布在轮缘上，由图示尺寸并近似用圆筒 的转动惯量公式，得
J m
2
r12 r22
§3-3 刚体转动的守恒定律
一.力矩的功
力矩的功：当刚体在外力矩作用下绕定轴转动
而发生 角位移时，就称力矩对刚体做功。
力F对P 点作功 ：
0
d A F dr
F d s cos 2
F
d r
dr
F d s sin
0‘
P
d s r d
力矩的功
因 Fr sin M
d A M d
力矩作功：
d2
dt2
L J
EK
1 2
J 2
M
J
d A M d d t P P0
F
d
x
1 2
mv2
1 2
mv02
M d t L L0
M
d
1 J 2
2
1 2
J02
定轴转动的动能定理
例题 如图，冲床上配置一质量为5000kg的飞轮， r1=0.3m, r2=0.2m.今用转速为900r/min的电动机借皮带 传动来驱动飞轮，已知电动机的传动轴直径为d=10cm。 （1）求飞轮的转动动能。
当M z 0时， L J 恒量
讨论：
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J 保持不变，
当合外力矩为零时，其角速度恒定。
当M z 0时， J =恒量 =恒量
定轴转动刚体的角动量守恒定律
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系
统的角动量依然守恒。J 大→ 小,J 小→ 大。
当M z 0时， Lz J11 J22 恒量