平行四边形全章知识点-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII平行四边形全章知识点总结定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形平行四边形的性质：（1）：平行四边形对边相等 (即：AB=CD,AD=BC)；（2）：平行四边形对边平行 (即：AB//CD,AD//BC)；（3）：平行四边形对角相等 (即：∠A=∠C,∠B=∠D)；（4）：平行四边形对角线互相平分 (即：OA=OC，OB=OD)；平行四边形的判定方法：1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.对角线互相平分的四边形是平行四边形；5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；考点1 特殊的平行四边形的性质与判定1．矩形的定义、性质与判定（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
（2）矩形的性质：矩形的对角线_________；矩形的四个角都是________角。
矩形具有________的一切性质。
矩形是轴对称图形，对称轴有_____________条，矩形也是中心对称图形，对称中心为_____________的交点。
矩形被对角线分成了____________个等腰三角形。
（3）矩形的判定有一个是直角的平行四边形是矩形；有三个角是_____________的四边形是矩形；对角线_____的平行四边形是矩形。
温馨提示：矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再请一个角为直角或对角线相等。
很多同学容易忽视这个问题。
2．菱形的定义、性质与判定（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）菱形的性质菱形的_______都相等；菱形的对角线互相_______，并且每一条对角线______一组对角；菱形也具有平行四边形的一切性质。
菱形即是轴对称图形，对称轴有____条。
（3）菱形的面积菱形的面积=底×高，菱形的面积=21ab ，其中a ，b 分别为菱形两条对角线的长。
菱形被对角线分成了4个全等的直角三角形。
（4）菱形的判定：______________都相等的四边形是菱形；对角线____________的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
温馨提示：在利用菱形的判定时，也要注意所要证明的四边形是不是平行四边形，而你用的判定定理需不需要证明它是平行四边形，有对角线时，通常考虑利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来证明，否则一般不利用此定理。
3．正方形的性质及判定方法（1）正方形的性质：正方形的四个角都是_____________，四条边都_____________；正方形的两条对角线____________，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形即是轴对称图形也是中心对称图形。
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（2）正方形的判定方法：有一组邻边相等的____是正方形；对角线互相____的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线________的菱形是正方形。
温馨提示：无论是正方形的性质还是正方形的判定，它的中心思想就是正方形即是矩形，又是菱形，如果都从这个出发，则一切的性质与判定就都有了。
但要注意在利用对角线判定正方形时，“平分”这个前提，因为只有对角线平分了，此四边形才是平行四边形了，然后再证明是矩形又是菱形。
一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2）表示方法：用“ABCD 记作，读作“平行四边形ABCD ”．2．熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线 三个方面的特征进行简述的． （1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等； （2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等； （3）对角线：平行四边形的 对角线互相平分； （4）面积：①S ==⨯底高ah ；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 ⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形 二、．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角 的平行四边形 是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形； ② 一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等 的平行四边形 是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形；② 一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行；②另一组对边不平行（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形．2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；④对称性：轴对称图形（4条）．（4）等腰梯形：①边：上下底平行但不相等，两腰相等；②角：同一底边上的两个角相等；对角互补③对角线：对角线相等；④对称性：轴对称图形（上下底中点所在直线）．3．几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形；③对角线互相垂直的矩形．④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形；（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形①同一底两个底角相等的梯形；②对角线相等的梯形．4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．③说明四边形ABCD的三个角是直角．（2）识别菱形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直． ③ 说明四边形ABCD 的四条相等． （3）识别正方形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③ 先说明四边形ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等． ④ 先说明四边形ABCD 为菱形，再说明菱形ABCD 的一个角为直角． （4）识别等腰梯形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明两腰相等．② 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明同一底上的两个内角相等． ③ 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明对角线相等． 5．几种特殊四边形的面积问题① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ．② 设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则S 菱形=12ab ．③ 设正方形ABCD 的一边长为a ，则S 正方形=2a ；若正方形的对角线的长为a ，则S 正方形=212a ． ④ 设梯形ABCD 的上底为a ，下底为b ，高为h ，则S 梯形=1()2a b h ．平行四边形 矩形 菱形 正方形图形性质1．对边且 ； 2．对角 ；邻角 ；3．对角线；1．对边且 ； 2．对角且四个角都是 ； 3．对角线； 1．对边 且四条边都 ； 2．对角 ； 3．对角线 且每 条对角线；1．对边 且四条边都 ； 2．对角 且四个角都是 ； 3．对角线 且每条对角线 ； 面积例1：如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ， 则△AEF 的周长为（ ）A ．32B ．33C ．34D ．3例2：如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=，则AEF ∠=（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．130°一、选择题（每题3分，共30分）1．如图，在菱形ABCD 中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线AC 等于（ ）A ．20B ．15C ． 10D ．52．如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开， 得到的菱形的面积为（ ）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cmBACDAB CD3．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（）A．△AOM和△AON都是等边三角形B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形第5题图4.如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）A．35° B．45° C．50° D．55°5. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为( )A．1 B．2 C．2 D．37．正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）A．8 B．82 C．217 D．108．如图，□ABCD的周长是28㎝，△ABC的周长是22㎝，则AC的长为( )A．6㎝B．12㎝C．4㎝D．8㎝9．如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，DE=6，则这个菱形的面积= cm2．ADE PCB F第4题图DBCANMO第3题图第10题第8题图第9题BD FOBD10.如图，四边形ABCD 是平行四边形，使它为矩形的条件可以是 ．三、解答题11．如图 ，ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，306ACD BD ∠==°，．（1）求证：△ABD 是正三角形； （2）求 AC 的长（结果可保留根号）．12.已知：如图，四边形ABCD 是菱形，过AB 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AD 于点M ，交CD 的延长线于点F .（1）求证：AM =DM ；（2）若DF =2，求菱形ABCD 的周长 ．13．如图：已知在ABC △中，AB AC =，D 为BC 边的中点，过点D 作DE AB DF AC ⊥，⊥，垂足分别为E F ，.（1）求证：BED CFD △≌△；（2）若90A ∠=°，求证：四边形DFAE 是正方形.BA CDFM第12题图EO DBA第13题图D CB EAF11。