人教版数学必修①
3.2 函数模型及其应用
【课时安排】第4 课时
【教学对象】高一学生
【教材分析】数学建模是高中数学新课程的新增内容，但《标准》中没有对数学建模的课时和内容作具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中。
而"3.2 函数模型及其应用"一节只是通过六个例子介绍一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数在解决实际问题中的作用，为以后的数学建摸实践打基础，还未能使学生真正理解数学建模的真实全过程。
本节课通过一个较为真实的数学建模案例，以弥补教材的这一不足。
【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的二次函数与三角函数的相关性质。
【教学目标】
知识与技能
（1）初步理解数学模型、数学建模两个概念；
（2）掌握框图2——数学建模的过程。
过程与方法
（1）经历解决实际问题的全过程，初步掌握函数模型的思想与方法；
情感态度价值观
（1）体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程；
（2）感受数学的实用价值，增强应用意识；
（3）体会数学以不变应万变的魅力。
【教学重点】框图2——数学建模的过程。
【教学难点、关键】方案二中答案的探究；关键是运用合情推理。
【教学方法】引导探究、讨论交流。
教学手段】计算机、PPT、几何画板。
教学过程设计】、教学流程设计
1：
教学节环教学内容教活师动学活生动设意计图
（五）最优解的探究：预计时间7 分钟
我们前面的设计是将横截面设计成矩形，将深
度、宽度分别设计为a/4 和a/2 时，可得到最大的
横截面积。
如果将水槽的横截面分别按照下图中的五种方
案进行设计，结果又如何呢？
教
师将
学生
分成
五个
小
组，
并巡
视指
导学
生解
决问
题。
由于
缺少
导数
工
学生
动手探
究各自
的设计
方案
1、让
学生经
历数学
建模中
的优化
过程；
2、培
养学生
的探究
意识。
数学建模过程：预计时间2 分钟引导
分析
讲解
听讲
思考
这一实
际问题
的解决
过程，
概括出
数学建
模的基
本过
程，以
实现由
具体到
抽象的
升华。
下面，我们将全班分成 5 个小组，分别探 究五个方案的设计。
最后派代表报告本小组的 探究结果。
方案一： S=1/2x(a-x)sin θ≤
1/2x(a-x)=a 2/8-1/2(x-1/2a) 2≤ 22 a 2/8=0.125a 2。
当θ=90°且 x=1/2a 时， Smax=0.125a 2
(五)
方案二： S=1/2(2/3a+2 ×a/3 ×sin θ)a/3cos 教 学 1、让 最优解
2
θ)=a 2/9(1+sin θ)cos θ 师将 生 学生 的探
当θ=30°时， Smax ≈ 0.144a 2
学生 动 经历 究：预 方案三： (四个底角为 67.5 °的等腰三角形 )
分成 手 数学
具， 教师 应引 导学 生运 用观 察、 试 算、 估算 来探 究方 案二 的答 案。
、教学过程设计
计时间7 分钟
2
S=4×1/2 ×a/4 ×a/8tan67.5 °≈0.151a 2 方案四：（五个底
角为72°的等腰三角形） S=5×1/2 ×a/5 ×a/10tan72 °≈
0.154a 2 方案五：πr=a, ∴S=1/2r π2=a2/2 π ≈0.159a 2 通
过比较以上五种方案和横截面设计为矩形时的情况可以得
出，方案五是这个实际问题的最优解，即：将水槽的横截面
设计为半径为的半圆形时，从而可获得最大的流水量。
五个
小
组，
并巡
视指
导学
生解
决问
题。
由于
缺少
导数
工
具，
教师
应引
导学
生运
用观
察、
试
算、
估算
来探
究方
案二
的答
案。
探
究
各
自
的
设
计
方
案
建模
中的
优化
过
程；
2、培
养学
生的
探究
意
识。
（六）
什么是
数学建模：预
计时间6 分钟以上我们进行了六种设计方案的探究后，才找到了该问题的
最优解。
这就表明，数学建模需要对所得到的结果进行检验
评价，以确认结果是否合理，是否是较好的结果。
如果结果
不满意，就需要重新回到" 理想化问题"这一环节。
于是，
我们就可以概括出一个较为完善的数学建模过程的框图。
框
图2：
教师
讲解
概括
学
生
听
讲
思
考
1、使
学生
获得
科学
的数
学建
模理
论：
数学
建模
与数
学模
、教学过程设计
根据这个框图，我们就可以来回答什么是数学建模？数学建模(Mathematical Modelling) ：就是运用数学化的手段从实际问题中提炼、抽象出一个数学模型，求出模型的解，检验模型的合理性，从而使这一实际问题得以解决的过程。
数学模型就是用数学语言符号来描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
例如，各种函数、方程、不等式、不等式组等等都是比较常见的数学模型。
示的是一个变量：可大可小；可正可负；可以是有理数也可以使无理数。
由于数学模型具有高度的抽象性、概括性和结构的确定性，所以数学模型能以不变应万变。
不管是中文还是英文，一个字所能表达的意义十分有限，但我们的数学模型"" 却可以表示无穷无尽的对象——流动的世界。
又比如说勾股定理，这一模型可以用来处理数以亿计的实际问题。
从小到斜边长为一微米的直角三角形到大至斜边长为十万八千里的直角三角形，只要是直角三角形，它们居然都满足同样的结构模型：
斜边的平方等于两条直角边的平方之和。
我不知道，这个世界上还有什么学科象数学这样
如此简洁，如此概括，如此统一。
我只知道：" 数学的魅力在于，她能以稳定的模式驾驭流动的世界！"
教学节环教学内容
教师动活学生动活设计图意
（小八结）与1、小结
这节课，我们通过解决一个实际问题，
教师讲
解点
学生内
化数学
1、小结
意在强
（七）牛刀小试预计时间14 分钟
如下图，某房地产公司拥有一块" 缺角矩
形"荒地ABCD，E 边长和方向如图所示，欲
在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公
寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积。
教师解
释说明
问题，
最后演
示数学
实验。
学生动
手解决
问题
1、根据
练习律
和强化
原理，
强化刚
刚获得
的数学
建模理
论；
2、培养
学生的
问题解
决能
力。