北京市朝阳区2020-2021学年高二第一学期期末质量检测试题数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．不等式(2)0x x -<的解集是( ) A ．{}02x x << B ．{}0x x >C ．{}2x x < D ．{|0x x <或}2x <2．已知1≥x ，则当4x x+取得最小值时，x 的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．43．已知双曲线2221(0)16x y a a -=>的一个焦点为(5,0)，则a 的值为( )A ．9B ．6C ．5D ．34．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，则椭圆C 的方程为( )A ．22184x y +=B ．221164x y +=C ．221816x y +=D ．221168x y +=5．若a ，b ，c 向量不共面，则下列选项中三个向量不共面的是( ) A ．b c -，b ，b c + B ．a b +，c ，a b c ++ C ．a b +，-a c ，cD ．a b -，a b +，a6．已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出m l ⊥的所有序号是( )①,,αβαβ⊥⊥⊥m l ；②,//,//m l αβαβ⊥；③,,//m l αβαβ⊂⊥；④,//,m l αβαβ⊂⊥A ．①②③B ．①②C ．②③④D ．③④7．已知0mn >，21+=m n ，则12+m n的最小值是( ) A ．4B ．6C ．8D ．168．已知数列{}n a 和{}n b 满足n n b a =，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n b 为等比数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．[2018·亳州一模]经过双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的左焦点作倾斜角为60︒的直线l ，若l 交双曲线M 的左支于,A B ，则双曲线M 离心率的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．()1,2C ．(D ．)+∞10．已知球O 的直径为3，,,,A B C D 是球O 上四个不同的点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0⋅=AD AB ，分别用123,,S S S 表示,,ABC ACD ABD 的面积，则123S S S 的最大值是( )A ．14B ．92C ．9D ．18二、填空题11．双曲线2214x y -=的渐近线方程________．12．抛物线y 2=2x 的焦点坐标是___________，准线方程是___________. 13．已知公比不为1的等比数列{}n a 满足12=a ，234+=a a ，则4a =_________. 14．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的17是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为_________.15．若不等式222()x y cx y x -≤-对任意满足0x y >>的实数x ，y 恒成立，则实数c 的最大值为__________．三、双空题16．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________；面积最大的侧面的面积为_________.四、解答题17．已知数列{}n a 是递增的等差数列，23a =，且125,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）若12n n n c a a +=，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足2425>n T 的n 的最小值. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD .已知PA PD AB ==，90APD ∠=.（1）证明：//AD 平面PBC ； （2）证明：AB PD ⊥；（3）求二面角A PB C --的余弦值.19．已知抛物线22(0)y px p =>经过点(1,2). （1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）过抛物线C 的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，设O 为原点. （ⅰ）当直线l 的斜率为1时，求AOB ∆的面积；（ⅱ）当3FA FB =时，求直线l 的方程.20．已知椭圆2222:10)+=>>（x y C a b a b 的离心率为2，直线20x y ++=经过椭圆C 的左顶点A .（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+（0k ≠）交椭圆C 于,M N 两点（,M N 不同于点A ）.过原点O 的一条直线与直线l 交于点P ，与直线,AM AN 分别交于点,D E .（ⅰ）当k =MN 的最大值；（ⅱ）若=OD OE ，求证：点P 在一条定直线上.参考答案1．A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法直接求解得到结果. 【详解】根据一元二次不等式的解法可知不等式()20x x -<的解集为{}02x x << 故选：A 【点睛】本题考查一元二次不等式的求解问题，属于基础题. 2．B 【分析】根据基本不等式的取等条件可求得结果. 【详解】44x x +≥=（当且仅当4x x =，即2x =时取等号）∴当4x x+取得最小值时，2x =故选：B 【点睛】本题考查基本不等式取等条件的确定问题，关键是明确可利用基本不等式求解函数最值. 3．D 【分析】根据双曲线中222+=a b c 可构造方程求得结果. 【详解】双曲线焦点为()5,0 21625a ∴+=，解得：3a = 故选：D 【点睛】本题考查根据焦点坐标求解双曲线方程的问题，关键是明确双曲线,,a b c 之间的关系.4．D 【分析】结合椭圆定义可知2ABF ∆的周长为4a ，由此求得a ；利用离心率可求得c ；根据椭圆222b a c =-可求得2b ，进而得到椭圆方程.【详解】设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>由椭圆定义知：12122AF AF BF BF a +=+= 2ABF ∴∆的周长为4a 即416a =，解得：4a =c e a ==c ∴= 2221688b a c ∴=-=-= ∴椭圆C 的方程为221168x y +=故选：D 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，涉及到椭圆定义和离心率的应用问题. 5．C 【分析】根据空间向量基本定理，结合向量共面的充要条件，依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】A 中，()2b c b b c -=-+ b c ∴-，b ，b c +三个向量共面，A 错误；B 中，()a b c a b c ++=++ a b ∴+，c ，a b c ++三个向量共面，B 错误；C 中，不存在实数,λμ，使得()a b a c c λμ+=-+成立a b ∴+，-a c ，c 三个向量不共面，C 正确； D 中，()()12a ab a b ⎡⎤=-++⎣⎦ a b ∴-，a b +，a 三个向量共面，D 错误. 故选：C 【点睛】本题考查向量共面的判断，涉及到空间向量基本定理的应用，关键是明确三个向量,,a b c 共面，则必然满足(),a b c R λμλμ=+∈. 6．A 【分析】根据直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】m α⊥，αβ⊥ //m β∴或m β⊂，又l β⊥ m l ∴⊥，①正确； m α⊥，//αβ m β∴⊥，又//l β m l ∴⊥，②正确；l β⊥，//αβ l α∴⊥，又m α⊂ m l ∴⊥，③正确；在如图所示的正方体中：11//A D 平面ABCD ，平面11ADD A ⊥平面ABCD ，1AD ⊂平面11ADD A ，此时1AD 与11A D 不垂直，④错误. 故选：A 【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中直线与平面、平面与平面位置关系的相关定理. 7．C 【分析】 利用()12122m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式即可求得结果. 【详解】()12124244448n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭（当且仅当4n m m n =，即2n m =时取等号）12m n∴+的最小值为8 故选：C 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活应用“1”，配凑出符合基本不等式的形式. 8．A 【分析】根据等比数列定义可证得11n n n na b q b a ++==，可知充分性成立；通过反例可确定必要性不成立，从而得到结果. 【详解】若数列{}n a 为等比数列，公比为q ，则11n n n na b q b a ++== {}n b ∴为等比数列，充分性成立设数列{}n b 的通项公式为2nn b = {}n b ∴为等比数列，公比2q若数列{}n a 为：2,4,8,16,32,--⋅⋅⋅，满足12n na a +=，但{}n a 不是等比数列必要性不成立∴“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n b 为等比数列”的充分而不必要条件故选：A 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到等比数列定义的应用；关键是能够明确数列成等比数列需满足的条件. 9．B 【解析】由题意b a <，得22223bc a a =-<，所以2c a<，即离心率的范围是()1,2， 故选B.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 10．B 【分析】根据向量数量积为零可确定,,AC AB AD 两两互相垂直，从而将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球，根据长方体外接球直径为体对角线长可得2229a b c ++=，利用基本不等式可求得9ab bc ac ++≤，进而求得面积之和的最值. 【详解】0,0,0AB AC AC AD AD AB ⋅=⋅=⋅= ,,AC AB AD ∴两两互相垂直 ∴三棱锥A BCD -的外接球即为如下图所示的长方体的外接球设AD a =，AC b =，AB c = 3=，即2229a b c ++=22222218222a b c ab bc ac ∴++=≥++（当且仅当a b c ==时取等号）9ab bc ac ∴++≤ ()1231922S S S ab bc ac ∴++≤++= 即123S S S 的最大值为92故选：B 【点睛】本题考查几何体外接球相关问题的求解，关键是能够利用平面向量数量积等于零得到垂直关系，进而将问题转化为长方体外接球的问题，涉及到利用基本不等式求解最值；需明确长方体外接球的半径为体对角线长度的一半. 11．12y x =± 【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程． 【详解】∵双曲线2214x y -=的a=2，b=1，焦点在x 轴上而双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为y=±b x a∴双曲线2214x y -=的渐近线方程为y=±12x故答案为y=±12x 【点睛】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想 12．(12,0)，x =−12.【解析】试题分析：由题意得，焦点坐标是(12,0)，准线方程是x =−12，故填：(12,0)，x =−12. 考点：抛物线的标准方程及其性质. 13．16- 【分析】利用1a 和q 表示出234+=a a ，从而构造方程求得q ，利用等比数列通项公式可求得结果. 【详解】设等比数列{}n a 公比为()1q q ≠，则222311224a a a q a q q q +=+=+=，解得：2q =-34116a a q ∴==-故答案为：16- 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，属于基础题. 14．556【分析】利用1a 和d 表示出已知的等量关系，从而构造出方程组求得结果. 【详解】设5个数从小到大排列所成的等差数列为{}n a ，公差为d则()3451217a a a a a ++=+，5100S = ()111139275451002a d a d a d ⎧⨯+=+⎪⎪∴⎨⨯⎪+=⎪⎩，解得：153556a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故答案为：556【点睛】本题考查等差数列的实际应用问题，关键是能够利用首项和公差表示出已知的等量关系. 15．4 【解析】试题分析：因为0x y >>，所以由222()x y cx y x -≤-得222()22()(1)x x y y c x x x y x y y --≤=--，令1x t y =>，则22()22()(1)(1)xt y g t x x t t y y--==--，由22242()0,1(1)t t g t t t t =-'+-=>得2t =()g t取最小值4，又min c ()g t ≤，所以c的最大值为4 考点：利用导数求函数最值，不等式恒成立 16．16 10【分析】由三视图还原几何体得到四棱锥的直观图，从而确定几何体的高和最大侧面；利用棱锥体积公式和三角形面积公式求解即可得到结果. 【详解】由三视图可得四棱锥直观图如下图所示：其中四边形ABCD 为矩形，4AB PE ==，3AD =，PE ⊥平面ABCD∴四棱锥P ABCD -的体积113441633P ABCD ABCDV SPE -=⋅=⨯⨯⨯=由直观图可知侧面中最大的为PAB ∆，又PAB ∆中AB 5=145102PAB S ∆∴=⨯⨯=故答案为：16；10 【点睛】本题考查由三视图还原几何体、棱锥体积和侧面面积的求解问题；关键是能够根据三视图准确还原几何体，从而确定几何体的高和最大侧面.17．（1）21n a n =-，*n N ∈；（2）2122n n S n +=+-；（3）13.【分析】（1）利用1a 和d 表示出已知的等量关系，从而构造出方程组求得1a 和d ，根据等差数列通项公式得到结果；（2）由（1）可得n b ，采用分组求和的方式，分别对两组利用等差数列和等比数列求和公式，合并得到最终结果；（3）由（1）可得n c ，采用裂项相消的方法求得n T ，从而构造出关于n 的不等式，结合n *∈N 可求得结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d >由222153a a a a =⎧⎨=⎩得：()()1211134a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得：112a d =⎧⎨=⎩ ()1121n a a n d n ∴=+-=-（2）由（1）得：2212n nn n b a n =+=-+则123n n S b b b b =+++⋅⋅⋅+()23135212222nn =+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+()1211212222212n n n n n +++--=+=+--2122n n S n +=+-∴（3）由（1）得：()()1222121n n n c a a n n +==-+112121n n =--+1111121335212121n nT n n n ∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-++由2242125n n >+得：12n > n N *∈ ∴满足2425>n T 的n 的最小值为13 【点睛】本题考查等差数列通项公式基本量的计算、分组求和法和裂项相消法求解数列的前n 项和的问题，涉及到等差数列和等比数列前n 项和公式的应用；数列求和的关键是能够根据通项公式的具体形式，针对性的选择对应的方法. 18．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【分析】（1）根据//AD BC 及线面平行判定定理可证得结论；（2）由面面垂直性质可证得AB ⊥平面PAD ，由线面垂直性质可证得结论；（3）取,AD BC 的中点为,O E ，根据垂直关系可以O 为原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】 （1）四边形ABCD 为矩形 //AD BC ∴BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC //AD ∴平面PBC（2）平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =， AB平面ABCD ，AB AD ⊥AB ∴⊥平面PADPD ⊂平面PAD AB PD ∴⊥（3）取AD 的中点为O ，取BC 的中点为E ，连接,OP OE ，则OE AD ⊥PA PD = PO AD ∴⊥ PO ∴⊥平面ABCD以O 为坐标原点，分别以,,OA OE OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如下图所示不妨设AB =PA PD AB ==，90APD ∠= PA PD ∴==2AD =，1OP =()1,0,0A ∴，()B ，()C -，()0,0,1P ，()1,0,0D -则()1,1PB =-，()2,0,0BC =-，()1,0,1PD =-- 由（2）可知：AB PD ⊥90APD ∠= PA PD ∴⊥,AB PA ⊂平面PAB ，AB PA A ⋂= PD ∴⊥平面PAB PD ∴为平面PAB 的一个法向量设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =则020n PB x z n BC x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1y =，解得：0x =，z = (0,1,2n ∴=cos ,32PD n PD n PD n⋅∴<>===-⋅二面角A PB C --为钝角 ∴二面角A PB C --的余弦值是3-【点睛】本题考查立体几何中线面平行和线线垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理、面面垂直的性质定理等知识的应用，属于常考题型.19．（1）24y x =，1x =-；（2）（ⅰ）（ⅱ）)1y x =-.【分析】（1）将点()1,2代入抛物线方程可求得p ，进而得到结果； （2）设()11,A x y ，()22,B x y（i ）设直线:1l y x =-，与抛物线方程联立得到韦达定理的形式；由OB OFA A OFB S S S ∆∆∆=+，整理得到AOB S ∆=（ii ）设直线():1l y k x =-，与抛物线方程联立得到韦达定理的形式；由3FA FB =，结合抛物线定义得到1232x x =+，与韦达定理的结论联立后可求得k ，进而得到结果. 【详解】 （1）抛物线22y px =过点()1,2 24p ∴=，解得：2p =∴抛物线的方程为24y x =，准线方程为1x =-（2）由（1）知：()1,0F 设()11,A x y ，()22,B x y（i ）由题意得：直线l 的方程为1y x =-联立241y x y x ⎧=⎨=-⎩得：2440y y --= 121244y y y y +=⎧∴⎨=-⎩1OF =，1212y y y y +=- ()1212111222OB OFA OFB A OF y OF y OF S y y S S ∆∆∆=⋅+⋅=⋅++∴=121122OF y y =⋅-===AOB ∴∆的面积为.（ii ）易知直线l 的斜率存在且不为0 设直线():1l y k x =-联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得：()2222240k x k x k -++= 12212421x x kx x ⎧+=+⋅⋅⋅⎪∴⎨⎪=⋅⋅⋅⎩①②3FA FB = ()12131x x ∴+=+，即1232x x =+…③联立②③，解得：12313x x =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入①得：23k = k ∴=∴直线l 的方程为)1y x =-【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到抛物线方程的求解、抛物线中三角形面积的求解、焦点分弦成比例问题的求解；求解焦点分弦成比例问题的关键是能够根据向量共线的关系得到横坐标之间的关系，进而与韦达定理构造方程组求得结果.20．（1）2214x y +=；（2）（ⅰ）3；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）将点()0,0A x 代入直线方程可求得a ，结合离心率和椭圆,,a b c 关系可求得2b ，进而得到椭圆方程；（2）设()11,M x y ，()22,N x y（i ）将直线l 与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式表示出MN ，由二次函数最大值可求得MN 的最大值；（ii ）设直线0:DE y k x =，直线()11:22y AM y x x =++，两式联立可求得D x ，同理可得E x ，根据=OD OE 得到0D E x x +=，整理得()00120122120k mk y y k y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将直线l 与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，代入上式得()()02220k m k k k m ---=，从而得到0220k k m --=，将直线l 与直线DE 联立可求得2P x =，进而得到结果. 【详解】（1）设()0,0A x点A 在直线20x y ++=上 020x ∴+=，解得：02x =- ()2,0A ∴- 2a ∴=离心率c e a ==c ∴=2223b a c =-= ∴椭圆C 的方程为2214x y += （2）设()11,M x y ，()22,N x y（i ）2k = ∴由2214y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y可得：)2214xm++=即229440x m ++-=，由2161440m ∆=-+>得：29m <129x x ∴+=-，212449m x x -=MN ∴===216144144m -+≤MN ∴=≤=当且仅当0m =时，MN（ii ）若=OD OE ，则O 为DE 的中点 0D E x x ∴+= 设直线0:DE y k x =，直线()11:22y AM y x x =++ 两个方程联立可得：()10122y x k x x +=+，解得：()101122Dy x k x y =+- 同理可得：()202222E y x k x y =+-()()1201102222022D E y y x x k x y k x y ∴+=+=+-+-即()()0121202112220k y x y y k y x y y +-++-=()21010201212220y m y mk y k y k y y y y k k--∴⋅+⋅++-= 化简得：()00120122120k mk y y k y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…①由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222244y m k y k -+=，即()222214240k y my m k +-+-= 由()()2222441440m kmk ∆=-+->得：2214m k <+122214m y y k ∴+=+，22122414m k y y k-=+ 代入①得：22000224221201414k mk m k m k k k k k -⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()2200420k k m k mk m k ∴----=，即()()02220k m k k k m ---=若2m k =，则直线l 过点A ，与已知不符合 又0k ≠ 0220k k m ∴--=又由0:DE y k x =，联立:l y kx m =+消去y 得：02P mx k k==-∴点P在定直线2x=上【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、弦长公式的应用和椭圆中的定直线问题的求解；求解点在定直线问题的关键是能够通过已知等量关系得到变量之间的关系，从而将所求点的横坐标进行化简整理为定值，从而确定定直线.。