2016年全国初中数学联合竞赛试题 第一试(3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题(本题满分42分,每小题7分) (本题共有6个小题,每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.) 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数,把[]x x -称为x 的小数部分.已知t =,a 是t 的小数部分,b 是t -的小数部分,则112b a-= ( ).A 12.B .C 1.D 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元,某学校计划恰好用500元购买上述图书30本,那么不同的购书方案有 ( ).A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差,则称这个正整数为“和谐数”.如:333321(1),2631,=--=-2和26均为“和谐数”.那么,不超过2016的正整数中,所有的“和谐数”之和为 ( ).A 6858.B 6860.C 9260.D 9262 3(B ).已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限,且过点(1,0).当a b -为整数时,ab = ( ).A 0.B 14.C 34-.D 2-4.已知O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ,连接AO 并延长交O 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为 ( ) .A 12.B 15.C 16.D 185.如图,在四边形ABCD 中,090BAC BDC ∠=∠=,AB AC =1CD =,对角线的交点为M ,则DM = ( ).A .B.C 2.D 12 6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++=则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12.B 23.C 34.D 1 二、填空题(本题满分28分,每小题7分)(本题共有4个小题,要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2(B )】已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数y x=(0x >)的图象上,090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴,点B 在点A 的上方,且6,AB =则点C 的坐标为.1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分,AD =则AM =.2(A).在四边形ABCD 中,BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点,,CD AO =,BC OD =则ABC ∠=.3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号,得到一个六位数,这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍,这个六位数是.3(B).若质数p 、q 满足:340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为.4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内(每格填入一个数),使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和,设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为.第二试(3月20日上午9:50 — 11:20)一、(本题满分20分)已知,a b 为正整数,求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.二、(本题满分25分)(A ).如图,点C 在以AB 为直径的O 上,CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上,,AE AC =四边形DEFM 是正方形,AM 的延长线与O 交于点N .证明:FN DE =.(B ).已知:5,a b c ++=22215,a b c ++=33347.a b c ++= 求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值.三、(本题满分25分)(A ).已知正实数,,x y z 满足:1xy yz zx ++≠,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=.(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.(B ).如图,在等腰ABC ∆中,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点,点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试(3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题(本题满分42分,每小题7分) (本题共有6个小题,每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.)1.用[]x 表示不超过x 的最大整数,把[]x x -称为x 的小数部分.已知t =,a 是t 的小数部分,b 是t -的小数部分,则112b a-= ( ).A 12.B .C 1.D 【答案】A .【解析】22,t ==<< 324,∴<即34,t <<3 1.a t ∴=-=又221,t -=--<-423,∴-<-<-(4)2b t ∴=---=111,22b a ∴-===故选A . 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元,某学校计划恰好用500元购买上述图书30本,那么不同的购书方案有 ( ).A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 【答案】C .【解析】设购买三种图书的数量分别为,,,x y z 则30101520500x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩,即30341002y z x y z x +=-⎧⎨+=-⎩,解得20210y xz x=-⎧⎨=+⎩ 依题意得,,,x y z 为自然数(非负整数),故010,x ≤≤x 有11种可能的取值(分别为0,1,2,,9,10) ,对于每一个x 值,y 和z 都有唯一的值(自然数)相对应. 即不同的购书方案共有11种,故选C . 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差,则称这个正整数为“和谐数”.如:333321(1),2631,=--=-2和26均为“和谐数”.那么,不超过2016的正整数中,所有的“和谐数”之和为 ( ) .A 6858.B 6860.C 9260.D 9262【答案】B .【解析】[]3322(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)k k k k k k k k ⎡⎤+--=+--+++-+-⎣⎦22(121)k =+ (其中k 为非负整数),由22(121)2016k +≤得,9k ≤ 0,1,2,,8,9k ∴= ,即得所有不超过2016的“和谐数”,它们的和为333333333331(1)(31)(53)(1715)(1917)1916860.⎡⎤--+-+-++-+-=+=⎣⎦故选B . 3(B ).已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限,且过点(1,0).当a b -为整数时,ab = ( ).A 0.B 14.C 34-.D 2- 【答案】B .【解析】依题意知0,0,10,2ba ab a<-<++=故0,b <且1b a =--, (1)21a b a a a -=---=+,于是10,a -<<1211a ∴-<+<又a b -为整数,210,a ∴+=故1,2a b =-=14ab =,故选B .4.已知O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ,连接AO 并延长交O 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为( ).A 12.B 15.C 16.D 18【解析】设,OC x =则2,OA OD x ==+OD AB ⊥ 于,C 14,2AC CB AB ∴=== 在Rt OAC ∆中,222,OC AC OA +=即2224(2),x x +=+解得3x =,即3OC = (第4题答案图)OC 为ABE ∆的中位线,2 6.BE OC ∴==AE 是O 的直径,90,B ∴∠=114612.22BCE S CB BE ∆∴=⋅=⨯⨯=故选A .5.如图,在四边形ABCD 中,090BAC BDC ∠=∠=,AB AC =1CD =,对角线的交点为M ,则DM = ( ).A 2.B 3.C 2.D 12(第5题答案图)【答案】D . 【解析】过点A 作AH BD ⊥于点,H 则AMH ∆~,CMD ∆,AH AMCD CM∴=1,CD =,AM AHCM ∴=设,AM x =则,CM x AH =∴=在Rt ABM ∆中,BM ==则AB AMAH BM⋅===显然0x ≠,化简整理得22100x -+=解得2x =(x =,故CM =在Rt CDM ∆中,12DM ==,故选D .6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++=则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12.B 23.C 34.D 1 【答案】C .【解析】22(23)(23)(1)34232M xy y x z xy y x x y x xy y x y =++=++--=---++222211122332222y x y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+--++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦222211113322222244y x x x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--++=-+---+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当1,02x y ==时,M 取等号,故max 34M =,故选C . 二、填空题(本题满分28分,每小题7分)(本题共有4个小题,要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2(B )】已知ABC ∆的顶点A 、C在反比例函数y x=(0x >)的图象上,090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴,点B 在点A 的上方,且6,AB =则点C 的坐标为.【答案】22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 【解析】如图,过点C 作CD AB ⊥于点D . 在Rt ACB ∆中,cos BC AB ABC =⋅∠=在Rt BCD ∆中,sin CD BC B =⋅=(第1题答案图) 9cos ,2BD BC B =⋅=32AD AB BD ∴=-=,设,C m A n ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭, 依题意知0,n m >>故,CD n m AD m n=-=-,于是32n m mn ⎧-=⎪⎪⎪-=⎪⎩解得2m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩,故点C的坐标为2⎫⎪⎪⎝⎭.1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分,AD =则AM =.【答案】2.【解析】(第1题答案图1 ) ( 第1题答案图2)依题意得BAD DAM MAC ∠=∠=∠,090,ADB ADC ∠=∠=故ABC ACB ∠≠∠.(1)若ABC ACB ∠>∠时,如答案图1所示,ADM ∆≌,ADB ∆1,2BD DM CM ∴== 又AM 平分,DAC ∠1,2AD DM AC CM ∴==在Rt DAC ∆中,即1cos ,2DAC ∠= 060,DAC ∴∠=从而0090,30BAC ACD ∠=∠=.在Rt ADC ∆中,tan tan603,CD AD DAC =⋅∠= 1.DM =在Rt ADM ∆中,2AM ==.(2)若ABC ACB ∠<∠时,如答案图2所示.同理可得2AM =.综上所述,2AM =. 2(A).在四边形ABCD 中,BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点,,CD AO =,BC OD =则ABC ∠=.【答案】126.【解析】设,OCD ADO αβ∠=∠=,CA 平分BCD ∠,OCD OCB α∴∠=∠=,BC ∥AD ,,ADO OBC DAO OCB βα∴∠=∠=∠=∠=, (第2题答案图)OCD DAO α∴∠=∠=,AD CD ∴=, ,CD AO =AD AO ∴=,ADO AOD BOC OBC β∴∠=∠=∠=∠=,OC BC ∴=,,BC OD =,OC OD ∴=ODC OCD α∴∠=∠=,180BOC ODC OCD BOC OBC OCB ∠=∠+∠∠+∠+∠=2,2180,βααβ∴=+= 解得36,72αβ== ,72DBC BCD ∴∠=∠= ,,BD CD AD ∴==18054,2ABD BAD β-∴∠=∠== 故126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=.3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号,得到一个六位数,这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍,这个六位数是. 【答案】167334.【解析】设两个三位数分别为,x y ,则10003x y xy +=,①31000(31000),y xy x y x ∴=-=-故y 是x 的正整数倍,不妨设y tx =(t 为正整数),代入①得10003,t tx +=1000,3t x t +∴=x 是三位数,10001003tx t+∴=≥,解得 1000,299t ≤t 为正整数,t ∴的可能取值为1,2,3.验证可知,只有2t =符合,此时 167,334.x y == 故所求的六位数为167334.3(B).若质数p 、q 满足:340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为. 【答案】1007.【解析】由340q p --=得,34,p q =-2224(34)343,33pq q q q q q ⎛⎫∴=-=-=-- ⎪⎝⎭因q 为质数,故pq 的值随着质数q 的增大而增大,当且仅当q 取得最大值时,pq 取得最大值.又111p q +<,34111,q q ∴-+<3284q ∴<,因q 为质数,故q 的可能取值为 23,19,17,13,11,7,5,3,2,但23q =时,3465513p q =-==⨯不是质数,舍去.当19q =时,3453p q =-=恰为质数.故max max 19,()53191007q pq ==⨯=.4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内(每格填入一个数),使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和,设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为. 【答案】10.【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定M 的最大值.(1)若5个1分布在同一列,则5M =;(2)若5个1分布在两列中,则由题意知这两列中出现的最大数至多为3,故 2515320M ≤⨯+⨯=,故10M ≤;(3) 若5个1分布在三列中,则由题意知这三列中出现的最大数至多为3,故 351525330M ≤⨯+⨯+⨯=,故10M ≤;(4) 若5个1分布在至少四列中,则其中某一列至少有一个数大于3,这与已知矛盾. 综上所述,10.M ≤另一方面,如下表的例子说明M 可以取到10.故M 的最大值为10.第二试(3月20日上午9:50 — 11:20)一、(本题满分20分)已知,a b 为正整数,求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.【解析】解:因,a b 为正整数,要使得22324M a ab b =---的值为正整数,则有2a ≥.当2a =时,b 只能为1,此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4.当3a =时,b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =,则7M =.当4a =时,b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =. (下面考虑:22324M a ab b =---的值能否为1?)(反证法)假设1M =,则223241a ab b ---=,即22325a ab b -=+, 2(3)25a a b b -=+ ①因b 为正整数,故25b +为奇数,从而a 为奇数,b 为偶数,不妨设21,2a m b n =+=,其中,m n 均为正整数,则22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦即2(3)a a b -被4除所得余数为3,而25(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1,故①式不可能成立,故1M ≠.因此,M 能取到的最小正整数值为2.二、(本题满分25分)(A ).如图,点C 在以AB 为直径的O 上,CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上,,AE AC =四边形DEFM 是正方形,AM 的延长线与O 交于点N .证明:FN DE =.(第2(A)题答案图)【证明】:连接BC 、.BN AB 为O 的直径,CD AB ⊥于点D90ACB ANB ADC ∴∠=∠=∠=,,CAB DAC ACB ADC ∠=∠∠=∠ ,ACB ADC ∴∆∆∽,AC AB AD AC∴=2AC AD AB ∴=⋅ 由四边形DEFM 是正方形及CD AB ⊥于点D 可知:点M 在CD 上,DE DM EF MF ===,,NAB DAM ANB ADM ∠=∠∠=∠ ,ANB ADM ∴∆∆∽,AN AB AD AM∴=,AD AB AM AN ∴⋅=⋅2,AC AM AN ∴=⋅ ,AE AC = 2AE AM AN ∴=⋅以点F 为圆心、FE 为半径作,F 与直线AM 交于另一点P ,则F 与AB 切于点E ,即AE 是F 的切线,直线AMP 是F 的割线,故由切割线定理得2AE AM AP =⋅AN AP ∴=,即点N 与点P 重合,点N 在F 上,FN FE DE ∴==.(注:上述最后一段得证明用了“同一法”)(B ).已知:5,a b c ++=22215,a b c ++=33347.a b c ++=求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值. 【解析】由已知得22221()()52ab bc ca a b c a b c ⎡⎤++=++-++=⎣⎦ 由恒等式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---得, 4735(155),abc -=⨯-1abc ∴=-又22()()()5(5)55(1)a ab b a b c a b ab bc ca c c ++=+++-++=--=- 同理可得22225(4),5(4)b bc c a c ca a b ++=-++=-∴原式=[]35(4)(4)(4)1256416()4()a b c a b c ab bc ca abc ---=-+++++- 125[6416545(1)]625.=⨯-⨯+⨯--=【注:恒等式32()()()()()t a t b t c t a b c t ab bc ca t abc ---=-+++++-】三、(本题满分25分)(A ).已知正实数,,x y z 满足:1xy yz zx ++≠,且 222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=. (3) 求111xy yz zx++的值. (4) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.【解析】(1)解:由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=,去分母得222222(1)(1)(1((1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=,222222222222()()()3()0,x y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ⎡⎤++-+++++++++-=⎣⎦()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=,∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=,1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠ , ()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++,∴原式= 1.x y z xyz++= (2)证明:由(1)得计算过程知xyz x y z ∴=++,又 ,,x y z 为正实数,9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++-222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.【注:222222()()()2x y y z z x x y xy y z yz z x zx xyz +++=++++++222222()()()2x y z y z x z x y xyz =++++++222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz ++++=++++++222222()()()3x y z y z x z x y xyz =++++++】(B ).如图,在等腰ABC ∆中,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点,点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.(第3(B )题答案图)【解析】如图,连接,,AE ED CF ,则,AB AC = ABD ACB ∴∠=∠点C 关于直线AD 的对称点为点E ,,BED BCF AED ACD ACB ∴∠=∠∠=∠=∠ ,ABD AED ∴∠=∠,,,A E B D ∴四点共圆,BED BAD ∴∠=∠(同弧所对得圆周角相等) BAD BCF ∴∠=∠,,,,A B F C ∴四点共圆,AFB ACB ABD ∴∠=∠=∠,AFB ABD ∴∆∆∽,AB AF AD AB ∴=22 5.AD AF AB ∴⋅===(注:若共底边的两个三角形顶角相等,且在底边的同侧,则四个顶点共圆,也可以说成:若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等,那么这两点和线段两端点四点共圆)。