)2
v0Asin
k
mx
A O
A
例6-1. 一质点沿x 轴作简谐振动，振幅A= 0.12 m，周期 T= 2 s， 当t = 0 时，质点对平衡位置的位移 x0 = 0.06 m, 此时刻质点向x 正向运动。求此简谐振动的表达式。
解 取平衡位置为坐标原点。
设简谐振动的表达式为 xA cots()
由题设T= 2 s，则 2 , A= 0.12 m
机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。
F
mx
A O A
广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一
数值附近反复变化。
K
i
q
C
L
q
6-1 简谐振动（simple harmonic motion)
一、简谐振动的基本特征
1、简谐振动的定义
动力学定义: Fkx
弹簧振子
kF
mx
运动学定义:
A O xA
A ct o ) s A c ( ( o t T ) s T2T
2
•频率 单位时间内振动的次数. 1
•角频率 2 2
T 2
T
相位 t
决定谐振动物体的运动状态
初相位
3.振动速度及加速度
xA cots()
v dx dt
A si nt (), vmaxA
ad2x2Acost(),
由初条件 x0 = 0.06 m，Tv0 0
简谐v得0振动xA 的0 表sA 达ic式n o 为s0 ,co,sxsinxA00.10212c, ost(33)
3
例6-2. 如图所示，倔强系数为 8×103N·m-1的轻
质弹簧一端固定于A，另一端系一质量为
M=4.99kg的木块静止于水平光滑桌面上。 质量 m=0.01kg的子弹以水平速度v =103 m·s-1 射入
木块使其作简谐振动。若在木块经过平衡位置且 向右运动时开始计时。取平衡位置为坐标原点、
向右为x轴正方向，求其振动方程。 M
m A
v
解：mv=(m+M)V
0.01×103=(4.99+0.01)V
V=2m.s-1
1(mM)V21kA2
2
2
1(4.9 90.0)1 2218130 A2
2
2
A=0.05m
y
m
A
t +
x
O
P
2.简谐振动的旋转矢量表示法
A
O
x
3.两同频率简谐振动的相位差（phase difference）
两个谐振动
x 1A 1co ts (1) x 2A 2co t s(2)
相位差 (t2 ) (t1 )21
=2 1 两同频率的谐振动的相位
差等于它们的初相差。
A2
A1
x
k 810 3 40
mM
5
x0 .0c5o 4ts0 ()
t0 x0 .0c 5o s 0
v 2sin 0
2
振 动x 方 0 .0c 程 5o 4ts0 为 ( )
2
二、简谐振动的旋转矢量表示法
1.简谐振动与匀速圆周运动
匀速圆周运动在x轴上的投影 （或分运动）为简谐振动：
xA cots()
O
A1
A2
x
O
A1
A2 O
x
0, x2超前x1 = 0, 同相
= ，反相
4.谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
x, v, a
x, v, a
av x
A
A
O
O
t
2A
T
v x A cA so is tn t( )()Acost().
a2Acost()2Acost(2).
例6-3. 以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线 如图所示，求此简谐振动的表达式。
a F k x mm
令 2 k
m
a2x
又a
d2x dt2
dd2t2x 2x 0
其简通谐振动微分方程 解为：
xAcots() 谐振动运动方程
2、描述简谐振动的特征量 运动方程
kF
mx
xA cots()
A O xA
•振幅A 物体离开平衡位置的最大距离,决定于初条件.
•周期T 物体完成一次全振动所需时间.
0 15.7
vmA3.1 4cm 1s 31.4
1
t(s)
v的旋转矢量
与v轴夹角表 示t 时刻相位
t
由图知
2
2
2
3
1 s1
Avm 31.410cm 3.14
t 0
2
o
6
v
x10co st( )cm 6
t 1s
三、简谐振动实例
1. 弹簧振子(blockspring system) 平衡位置：
kF
mx A O xA
弹簧为原长时，振动物体所处的位置. x=0 , F=0
位移为x处: Fkx
由牛顿第二定律
d2x dt2
15.7
31.4
v(cms1)
1
t(s)
6 2 a1 0,则 17或11cos( 1)
66 6
016Leabharlann 763.1s4 1 Avm3.141c0m 3.14
故振动方程为 x10co st()cm 6
方法2：用旋转矢量法辅助求解。 v(cms1)
xA cots()
31.4
vAsint()
15.7
vmcost (2)
d2t
amaxA2
a2x
简谐振动的加
x, v, a av x
速度和位移成 正比而反向.
O
t
T
4.振动初相及振幅由初始条件决定
初始条件：当t = 0时, x = x0 ，v = v0
代入 xAcots(), vA si nt()
得
x0Acos,
= arctan ( v 0 )
x0
A
x02
(v0
t4 3t =1s4 3 x0.0c2 o4s(t2)
33
例6-4.已知某简谐振动的
v(cms1)
速度与时间的关系曲线如 31.4
图所示，试求其振动方程。15.7
解：方法1 用解析法求解
0
15.7
1
t(s)
设x v0 振动A c 方A 程o s 为i tsn ( )1.7 5c3m 1.1 4 v a s A 2A sci o n t ts ()()
Avm3.1 4cm 1 ssin vA 0 1 3..5 1 7 41 2
或5
66
a02Aco s0
a00,则 co s0
6
t1 v11.5 7cm 1 s
a 2A co ts()
即 1 v1.7 5 A3s.1 i4sni(1 n 1 6( ))
得sin(1)1 6
31.4
15.7 0
解 设简谐振动方程为
xA cots()
x
t= 1s A
x (cm) 2
1
x0 = A/2，v0 0
O
A
x0Acos, t = 0
co sx0 A12
v0
1 O
2
1 t (s)
由旋转矢量表示法 2 v0 0 2
角频率的计算：t = 1s 时，对3 应图示的旋转3矢量。
旋转矢量以 匀角速由t = 0 到t = 1s 转过了4/3