a11 a1n
ai1 ai1 Aj1 ain Ajn
ai1
ain , ain
当 i j 时,
an1 ann
第i行 第 j行
相同
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
xn x1 xn(xn x1)
M xnn2(xn x1 )
按第1列展开，并把每列的公因子 ( xi x1 ) 提出， 就有
1 1 1
( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 )
x2
x3
xn
n-1阶范德蒙德行列式
x
n2 2
x3n2
x
n n
2
Dn ( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 ) ( xi x j )
四、按行按列展开定理
1.余子式与代数余子式
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
记 Aij 1i j Mij，叫做元素 a ij 的代数余子式．
3 6 4 例1:求行列式 5 1 3 中元素2和 2的代数余子式
Def2:k阶子式的余子式M 划去k阶子式所在的行、列 后余下的元素按原位置构成的n-k阶行列式
Def3:k阶子式的代数余子式为 (1)i1i2 L ik j1 j2L jk M 其中i1i2 L ik为k阶子式所在的行号, j1 j2 L jk为k阶 子式所在的列号
定理 (拉普拉斯定理)设n阶方阵A (aij),在det A中 任选定k行(1 k n),由这k行的所有k阶子式与之对应 的代数余子式乘积之和等与det A
ni j2
( xi x j ).
ni j1
例 计算
11 1 1
12 3 4
D x x 4 14
9
()
16
i 4i j1
j
1 8 27 64
(4 1)(3 1)(2 1)(4 2)(3 2)(4 3) 12
例4 计算下列行列式
3.按行按列第二展开定理
Def1:k阶子式N n阶行列式中任选k行k列,位于交叉处 的元素按原位置所构成的k阶行列式
用提取公因子法计算
1111
10 0 0
2 D 10
3
3 4
4 1
1 c j c1
2
2
10 3 j 2 , 3 , 4
1 1
2 1 2 1
4123
4 3 2 1
1 2 1
1 2 1
c2 c3
10 1 2 1 20 1 0 1 160
3 2 1
3 0 1
1 1 1 x 1 1 1 1 x 1 (2) 1 x 1 1 1 1 x 1 1 1
n
aki Akj
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
n aik Ajk
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
其中
1 ,当 i j， ij 0 ,当 i j.
思考题
设n阶行列式 123 n 120 0
Dn 1 0 3 0 100 n
求第一行各元素的代数余子式之和
行列式计算方法：
一般行列式:按行(列)展开;化成上(下)三角形
特殊行列式
行(列)和相同 带形 爪形 逐行加减 按行(列)展开
加边法
数学归纳法
递推法
例3 计算(1)
1234
2341
D4 3
4
1
. 2
4123
解
1234
2341
D4 3
4
1
. 2
4123
将 D4的第2、3、4行都加到第1行，并从第1行中 提取公因子10，得
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij外都为零，那末这行列式等于aij与它的 代数余子式的乘积，即 D aij A．ij
例如
a11 a12 a13 a14
0 0 a33 0
D a21 0
a22 0
a23 a33
a24 (1)31 a11
0
a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a41 a42 a43 a44
a41 a42 a43 a44
a33 0 0 0
a11 a12 a14
(1)3131 a13 a23
a11 a21
a12 a22
a14 1 33 a33 a21
a24
a41
a22 a42
a24 a44
a43 a41 a42 a44 a33A33
2、行列式按行（列）展开法则
b11
b1n
cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
D1 det(aij )
, D2 det(bij )
,
ak1 akk
bn1 bnn
证明 D D1D2 .
三、小结
1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列 式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.
2.
a11 a12 a1n
ai1 0 0 0 ai2 0
an1 an2 ann
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
0 an1
0 an2
ain ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
i 1,2, ,n
ann
例如
a11 a21 a31
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，
ri ri1
Dn
i n ,n 1,L
2
1
1
1
L
1
0
x2 x1
x3 x1
L
0 x2(x2 x1) x3(x3 x1) L
M
M
M
0 xn22 (x2 x1 ) xn32(x3 x1 ) L
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
Hale Waihona Puke a23 a33a13
a21 a31
a23 a33
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
例1 计算行列式 a 0 1 0a 0 0 0 1 0 a
例2 计算行列式 a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 0 0 0 a41 a42 0 0 0 a51 a52 0 0 0
a11 a1k
0
例3
设
D
ak1 c11
akk c1k
1x3 例1 1) 已知行列式D= x 2 0 中,(1,2)元素的代数
5 1 4 余子式A12 8,求D 2)已知四阶行列式D中第三列元素依此为1,2,0,-1, 对应的余子式分别为3,-2,4,5,求D的值
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
关于代数余子式的重要性质
n aki Akj
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
n aik Ajk
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
其中
1 ,当 i j， ij 0 ,当 i j.
例2
3 5 2 1
设行列式D 1 1 0 5 ,求
1 3 1 3
2 4 1 3
A11+A12 +A13 +A14及M11+M21+M31+M41
2 1 0 00 1 2 1 00 (3) 0 1 2 1 0 0 0 1 21 00012
例3 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1 1 1
x1 Dn x12
x2 x22
xn
x
2 n
( xi x j ). (1)
ni j1
x1n1 x2n1 xnn1
证 用数学归纳法
11
D2 x1
定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain i 1,2, , n
证
a11
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1
an2
ann
a11 a12 a1n
A11 A12 A1n .
思考题解答
解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
11 1 1 2 0 A11 A12 A1n 1 0 3 1 0 0
1
0
0
n!1
n j2
1 j
.
n
2 2 1
A31
(1)31
6 1
4 14
3
A32
(1)32
3 5
4 (29)
3
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij外都为零，那末这行列式等于aij与它的 代数余子式的乘积，即 D aij A．ij