课题：图形的分割与剪拼
图形操作型的问题可分为两大类：一类是围绕“图形变换”展开的，一类是围绕图形的分割与剪拼展开的。
图形分割与剪拼应注意以下几下方面的思考途径和解决方法： 1、图形的剪拼问题考虑图形的变换性质和如何利用变换； 2、考虑相似三角形面积比与相似比的关系； 3、考虑“勾股定理”对应的图形面积关系； 4、考虑特定数量的构成形式。
一、图形的分割
按分割的要求分为：
（1）借助于“边、角”计算的分割； （2）依“面积等分”为要求的分割；
例1 （1）已知ABC ∆中，︒=∠︒=∠5.67,90B A ，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形。
（2）已知ABC ∆中，C ∠是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC ∠与C ∠之间的关系。
例2 如图（1），在ABC ∆和DEF ∆中，︒=∠=∠90D A ，42,3====DF AC DE AB 。
（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？
（2）能否分别过D A ,在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC ∆分割成的两个三角形与DEF ∆ 分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论。
（1）
A
B
C
E
F
A B
C
例3 我们能把平分四边形面积的直线称为“好线”，利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD 中，取对角线BD 的中点O ，连结OC OA ,，显然，折线AOC 能把四边形ABCD 的面积平分，再过点O 作
AC OE //，交CD 于E ，则直线AE 即为一条“好线”。
（如图（1）
（1）试证明：AE 确为一条“好线”；
（2）如图（2），若AE 为四边形ABCD 的一条“好线”，F 为CD 上一点，请作出过F 的一条“好线”，并说明理由。
（1） （2）
二、将原图形剪拼成新图形
例1 下列各图中，沿着虚线将正方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形，又能拼成三角形和梯形的是（ ）
（中点） （中点）
A
B
C
D
例2 如图（1），现有两个边长之比为1：2的正方形ABCD 与''''D C B A ，已知点',',,C B C B 在同一直线上，且点'B C 与 重合，请你利用这两个正方形，通过裁割、平移、旋转的方法，拼出两个相似比为1；3的三角形。
B A
B C
O
D
E M A
B
C D
)'(B
'C
'D
'A
例4 在图（1）至（5）中，正方形ABCD 的边长为a ，等腰直角三角形FAE 的斜边b AE 2=，且边AD 和AE 在同一直线上。
操作示例
当a b <2时，如图（1），在BA 上选取点G ，使b BG =，连结FG 和CG ，裁掉FAG ∆和CGB ∆并分别拼接到FEH ∆和CHD ∆的位置构成四边形FGCH 。
思考发现
小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将FAG ∆绕点F 逆时针旋转 90°到FEH ∆的位置，易知EH 与AD 在同一直线上。
连结CH ，由 剪拼方法可得BG DH =，故CHD ∆CGB ∆≅，从而又可将CGB ∆
绕点C 顺时针旋转90°到CHD ∆的位置。
这样，对于剪拼得到的四
边形FGCH （如图（1），过点F 作AE FM ⊥于点M （图略），利用
SAS 公理可判断CHD HFM ∆≅∆，易得FG GC HC FH ===， )2(a b < （1）
︒=∠90FHC ，进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形 FGCH 是正方形。
)2(a b = （2） )22(a b a << （3）
)(a b =（4）
实践探究
（1）正方形FGCH 的面积是 ；（用含b a ,的式子表示）
（2）类比图（1）的剪拼方法，请你就图（2）至（4）的三种情形分别画出剪拼在成一个正方形的示意图。
联想拓展 小明通过探究后发现：当a b ≤时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G 的位置在BA 方向上随着b 的增大而不断上移。
当a b >时，如图（5）的图形能否剪能一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由。
C
H D
C
C
C
E
E
例5 蓝天希望学校正准备建一个多媒体教室，计划做长120cm ，宽30cm 的长条形桌面，现只有长80cm ，宽45cm 的木板，请你为该校设计不同的拼接方案，使拼起来的桌面符合要求。
（只要求画出裁剪，拼接图形，并标上尺寸。
）
（1）
（2）
6、在ABC ∆中，沿着中位线EF 一刀剪切后，用得到的AEF ∆和四边形EBCF 可以拼成平行四边形EBCP ，剪切线与拼图如图示，仿上述的方法，按要求完成下列操作设计，并画出图示。
（1）在ABC ∆中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成矩形； （2）在ABC ∆中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成菱形； （3）在ABC ∆中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成正方形； （4）在AB C ∆)(AC AB ≠中，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要确定剪切线，其操作过程（剪切线的作法）是： 。
A
B
P F
E
（E ）。