第十讲 组合恒等式
、 知 识概要
数学竞赛中组合数计算和组合恒等式的证明，是以高中排列、组合、二项式定理为基础，
并加以推广和补充而形成的一类习题，它往往会具有一定的难度且灵活性较强。
解决这类问 题常常对学生良好的运算能力和思维的灵活性都有较高的要求。
同时，此类问题的解决也有 着自身特殊的解题技巧。
因此，在各类数学竞赛中经常被采用。
1，基本的组合恒等式
简单的组合恒等式的化简和证明，可以直接运用课本所学的基本组合恒等式。
事实上， 许多竞赛中出现的较复杂的组合数记算或恒等式证明，也往往运用这些基本组合恒等式，通 分解为若干个简单的组合恒等式而加以解决。
课本中的组合恒等式有：
n
n
n
C n n 0.
2，解题中常用方法
① 运用基本组合恒等式进行变换；
② 运用二项展开式作为辅助函数，通过比较某项的系数进行计算或证明； ③ 运用数学归纳法； ④ 变换求和指标； ⑤ 运用赋值法进行证明；
⑥ 建立递推公式，由初始条件及递推关系进行计算和证明； ⑦ 构造合理的模型。
① C n r
nr
C n
；
②c ni C n r 1 C n r ；
③ kC n k
k1
nC
n 1 ；
④ C n r C r m C n m C n r m m ； ⑤ C n 0 C 1n
C n 2
C n n
2n ；
过转化，
⑥ C n
C n 1
C n 2
、运用举例
12 3 n
例1，求证：C n 2C n 3C n L nC n n
2n1
证明：根据前面提到的基本的组合恒等式第三条, 可得:
左边nC； 1 1 2
nC n 1 nC n 1
n 1
nC n 1
—n 1 , f
n 2 右边
例2,求和式n
k2C n k的值。
k 1
基本思路：将k2C^改写为k kCn
k
先将kC n用恒等式3提取公因式
k
n，然后再将kC n 1变形
成为k 1 C： 1 V；，而
k 1
C n 1又可以继续运用上述恒等变形, 这样就使得各项系数
中均不含有变动指标k 了。
n
解：k2c n；
k 1
2004 例3，求
2004
解：
例4,设
n2n
k
2005
k
2005
的
值。
C；004 C；004 C；
004 C；004
m,n N，求证:
n
Cn
k 2
n
C k 1
C n 1
1
2n
2004
C 2004
2005
2004
2003
C2004 2004
C2004
3mn n2 1。
基本思路：由两个连续自然数m k与m k 1的积，联想到可化为2C；k1，进一步运用
说明：变换求和指标是解决较复杂的组合记数的一种常见技巧，它可以起到简化计算的目的。
变换求和指标时，要注意求和指标的上、下限需要同时变换。
例6,
n
求证：
k
Un
22n 12n!。
n!
2 n!
n2n2n2n
证明：C k
C2n C k
C2n
C k
C2n
22n C k
C2n
22n C n 1
C2n C2n
2L C2n
C2n
k 0k 0k n
1
k n 1
n 1n
22n C n 1
C2n C2n n2L C0
C2n
22n C k
C2n
22n C k C n
C2n C2n
C f C；
1 L
C r r k C r r1
n1
证明: m k m k1
k
2
C2
2
' 2
C3L
C2
C m
2c m C3
n 1 m 1
n
3
n 例5, 当m n时，求证
r m
c；
2
1 L
C2
m 1
c；k
C m 2
，反复运用基本的组合恒等式2即可化简。
L C m n
C；1 L C2
C m n C l C3L C m
3m
2
3mn 2 n1
r r m
C n C r
m
1m n
1
0m n
基本思路：利用基本组合恒等式4化简原式左边各项，使得化简后仅有c n m中含有变动指标
证明: 显然，当m n时，原式左边
n时，利用基本组合恒等式4可得:
左边
r C m C r m
C n C n m
n
C
m
C n
r i
1 r C；。
只要令原式即可变为: n
c m
r m
n
C n m
k
n
m m
1 C m k k
1 Vm 0。
即原式成立。
建立适当的组合记数模型来加以证明。
证明：设袋子中有n 个白球，n 个红球，现从这2n 个小球中随机抽取n 个小球，其方法种数
2n !
为：C 2n n。
另一方面，可以看成 n 1次如下的取球活动：从 n 个白球中取出r 个，再
n! n!
r nr
r
2
从n 个红球中取出n r 个，其取法种数为：C n C n
C n ,r 0,1,2,L , n ，所以符合题意
0 2 1 2 2
的取球方法种数是：
c ：
C ： L C ：。
因此原式成立。
n n
所以，2 C ；n 2
2n
C 2n , C ；n
k 0
k 0
?2n
?2n 1
2n ! 2 n! n!
右边。
0 2 i 2
例7,求证：C° C 1 L
2n ! n! n!
基本思路1：此题若考虑用基本组合恒等式来证明是比较困难的, 展开式中各项系数的平方，考虑构造两个二项展开式。
注意到左端各项恰好是二项
证明：因为:
C C ：x L
C ：x n
, 1
x
n
1
C n 0
Cn- L
x
显然，1
n
的展开式中，常数项即为所求证等式的左端。
不妨设
x 0，将原式
变形为:
2n
将上式展开，其中常数项为
C 2n
，由此可知，原式成立。
基本思路2：注意到恒等式c n
n r
C n ，要证的等式的左边可变形为:
W C ：C n n1
L
c ：c n° ；而等式右边即为:
2n ! 2n !
n!n! n! 2n n !
c ；n ，因此可以考虑
说明：本题的两种证明方法均采用了构造思想。
构造法是解决竞赛问题的一种常用方法。
三、巩固练习
1,求证：c m L^c m 1。
m
n 1
4,求
C n 1 的值。
（22n 2 ）
k 0
n
6,求证：
d c^1.（利用 1 x 2n 1 x n 1 x n ）
k 1
2,求证：当n 是偶数时，1 2C n C ： 2C ： C ： L 2c n 1 c ：
1 J 1—
2 1^3
.
3,求证：C n
C n C n C n L 2 3 4
_X C n C n
n 1
1
（利用——Cn
k 1
1 k 1
C n 1 n
1
2n k
7,求证：
1 c m c m n k
1n c m .（利用 1
5, 求证:
C n'x 。
(利用
c j c n
8，求证: c m c m C k c m c；c m C k 2CmCn。
9，求证:
k
C2m 曰吞
1是奇
其中k 2n 1
10, 计算:
C
；n
11, 求证: C
；
n 1 C2n 1
12, 求证: Cn Cn n 1C；n。
13, 求证: 2k C k
C n。