23.2中心对称23.2.1中心对称(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1．了解中心对称、对称中心的概念．2．掌握中心对称图形的性质．3．能根据中心对称的性质，作出一个图形关于某点成中心对称的对称图形．【过程与方法】通过研究旋转及其性质，转化到一类特殊的旋转——中心对称及其性质．【情感态度与价值观】通过对旋转及其性质的了解，体会“中心对称”的基本思想，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标【教学重点】中心对称的概念及性质．【教学难点】中心对称性质的推导及理解．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P64～P66的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．2．两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点．3．对称中心的性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．(2)关于中心对称的两个图形是全等图形．4．如图，四边形ABCD绕点D旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．(1)这两个图形是中心对称图形吗？如果是，对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由；(2)如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心对称的对称点是哪些点．解：如图，(1)根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是点D.(2)点A、B、C、D关于中心D的对称点分别是A′、B′、C′、D′，这里的D′与D重合．环节2合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生对学)【例1】如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABC成中心对称的三角形．【互动探索】(引发学生思考)作出某个图形关于某个点成中心对称图形的关键是什么？按照怎样的步骤作图？【解答】(1)延长AD，且使AD＝DA′.因为点C关于点D的中心对称点是B(C′)，点B 关于中心点D的对称点为C(B′)；(2)连结A′B′、A′C′.则△A′B′C′为所求作的三角形，如图所示．【互动总结】(学生总结，老师点评)作一个图形关于某点的中心对称图形，关键是正确作出特殊点(关键点)的对称点．【活动2】巩固练习(学生独学)1．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有(C)A．1组B．2组C．3组D．4组2．如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是(A)A．O1B．O2C．O3D．O43．已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是(D)A．AO＝BOB．BO＝EOC．点A关于点O的对称点是点DD．点D在BO的延长线上4．如图，△ABC和△DEF是成中心对称的两个三角形，请找出它的对称中心．解：如图所示，点O即为所求作的对称中心．【活动3】拓展延伸(学生对学)【例2】如图，D是△ABC边BC的中点，连结AD并延长到点E，使DE＝AD，连结BE.(1)哪两个图形成中心对称？(2)已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；(3)已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．【互动探索】(引发学生思考)(1)两个图形成中心对称，满足什么样的条件？(2)成中心对称的两个图形有什么性质？(3)要求线段的取值范围，一般是根据三角形三边关系解题．【解答】(1)图中△ADC 和△EDB 成中心对称．(2)∵△ADC 和△EDB 成中心对称，△ADC 的面积为4，∴△EDB 的面积也为4. ∵D 为BC 的中点，∴△ABD 的面积也为4， ∴△ABE 的面积为8.(3)连结CE .在△ABD 和△ECD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝DE ，∠ADB ＝∠EDC ，BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ECD (SAS)，∴AB ＝CE . ∵△ACE 中，AB －AC ＜AE ＜AC ＋AB ， ∴2＜AE ＜8，∵AD ＝DE ，∴1＜AD ＜4.【互动总结】(1)直接利用中心对称的定义写出答案即可；(2)根据成中心对称的两个图形全等确定△BDE 的面积，根据等底同高确定△ABD 的面积，从而确定△ABE 的面积；(3)可证△ABD ≌△ECD ，可得AB ＝CE ，在△ACE 中，根据三角形三边关系即可求得AE 的取值范围，即可解题．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)中心对称⎩⎪⎨⎪⎧中心对称和对称中心的概念中心对称的两条基本性质⎩⎪⎨⎪⎧ 中心对称的两个图形对称点所连所段都经过对称中心，并且被对称中心所平分成中心对称的两个图形是全等图形请完成本课时对应练习！23.2.2 中心对称图形(第2课时)一、基本目标 【知识与技能】1．掌握中心对称图形的定义．2．能准确判断某图形是否为中心对称图形． 【过程与方法】通过研究旋转及其性质，转化到中心对称图形的判断及其性质． 【情感态度与价值观】通过对中心对称图形的了解，能够判断某个图形是否为中心对称图形，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标 【教学重点】 中心对称图形的判断． 【教学难点】两个图形成中心对称和中心对称图形的关系，以及中心对称图形的判定．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P66～P67的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．把一个图形绕着某一个点旋转180° ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．中心对称图形具有匀称、美观、平稳的特点．2．将下面左图的四张扑克牌中的一张旋转180°后得到右图，你知道旋转了哪一张扑克吗？议一议．略环节2合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学)【例1】下列图形中是中心对称图形的是()【互动探索】(引发学生思考)中心对称图形的特点是什么？【分析】A.是中心对称图形，此选项正确；B.不是中心对称图形，此选项错误；C.是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项错误；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项错误．【答案】A【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个图形是不是中心对称图形，就是看是否存在一个点，把图形绕着它旋转180°后能与原图形完全重合．【活动2】巩固练习(学生独学)1．下列图形中，不是中心对称图形的是(B)2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(C)A．等腰三角形B．平行四边形C．矩形D．等腰梯形3．顺次连结正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图所示的图形，该图形(B)A．既是轴对称图形也是中心对称图形B．是轴对称图形但不是中心对称图形C．是中心对称图形但不是轴对称图形D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形4．如图，下列汉字或字母中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有(B) A．1个B．2个C．3个D．4个【活动3】拓展延伸(学生对学)【例2】知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．(1)如图1，直线l经过▱ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB______S四边形DEFC(填“＞”“＜”或“＝”)；(2)如图2，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；(3)八个大小相同的正方形如图3所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分(用三种方法分分割)．【互动探索】(引发学生思考)(1)要判断两个四边形面积的大小，根据知识背景即可求解；(2)先找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可；(3)先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可．【解答】(1)＝(2)如图4所示．(3)如图5所示．图4图5【互动总结】(1)直接根据知识背景即可求解；(2)先找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可；(3)先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)中心对称图形⎩⎪⎨⎪⎧中心对称图形的有关概念应用中心对称图形解决有关问题请完成本课时对应练习！23.2.3 关于原点对称的点的坐标(第3课时)一、基本目标 【知识与技能】1．理解点P 与点P ′关于原点对称时它们的横、纵坐标的关系． 2．掌握点P (x ，y )关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )的运用． 【过程与方法】通过研究两个点关于原点对称时它们的横、纵坐标的关系，掌握其坐标变化的规律． 【情感态度与价值观】通过对关于原点对称的点的坐标的探索，掌握点P (x ，y )关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )的运用，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标 【教学重点】关于原点对称的点的坐标的关系． 【教学难点】关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P68～P69的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．关于原点对称的两个点：(1)它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？(2)坐标与坐标之间的符号又有什么特点？解：(1)横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．(2)坐标符号相反，即P(x，y)关于原点O的对称点P′(－x，－y)．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点O的对称点为P′(－x，－y)．2．点P(－4，－3)关于原点对称的点的坐标是(A)A．(4,3) B．(－4,3)C．(－4，－3) D．(4，－3)环节2合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生对学)【例1】如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1并写出A1、B1、C1的坐标．【互动探索】(引发学生思考)找关于原点对称的点，本质上是对称中心为原点的中心对称作图，故也可以采用中心对称作图的方法确定对称点．【解答】如图所示：根据图形可知：A 1(2，－2)、B 1(3,0)、C 1(1,1)．【互动总结】(学生总结，老师点评)在直角坐标系中，关于原点对称的两个点的坐标特点是：横坐标、纵坐标都互为相反数，根据点的坐标就可确定原图形的顶点的对应点，进而即可作出所求图形．【活动2】 巩固练习(学生独学) 1．点P (3,2)关于原点对称的点在( C ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．已知点P (a ＋1,2a －3)关于原点的对称点在第二象限，则a 的取值范围是( B ) A ．a ＜－1 B ．－1＜a ＜32C ．－32＜a ＜1D ．a ＞323．若点A (a －1，－4)与点B (－3,1－b )关于原点对称，则(a ＋b )2018的值为1. 4．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A (1,1)、B (4,2)、C (3,4)． (1)请画出△ABC 向左平移5个单位长度后得到的△A 1B 1C 1； (2)请画出△ABC 关于原点对称的△A 2B 2C 2；(3)在x 轴上求作一点P ，使△P AB 周长最小，请画出△P AB ，并直接写出点P 的坐标．解：(1)点A、B、C向左平移5个单位后的坐标分别为(－4,1)，(－1,2)，(－2,4)，连结这三个点，得△A1B1C1，如图所示．(2)如图，点A、B、C关于原点的对称点的坐标分别为(－1，－1)，(－4，－2)，(－3，－4)，连结这三个点，得△A2B2C2.(3)如图，P(2,0)．作点A关于x轴的对称点A′，连结A′B交x轴于点P，则点P即为所求作的点．【活动3】拓展延伸(学生对学)【例2】如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下：(1)分别写出点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标；(2)从中你发现了什么特征？请你用文字语言表达出来；(3)根据你发现的特征，解答下列问题：若△ABC内有一个点M(2a＋5,1－3b)经过变换后，在△PRQ 内的坐标称为N (－3－a ，－b ＋3)，求关于x 的方程bx －32－2＋ax3的解．【互动探索】(引发学生思考)(1)要求点的坐标，结合直角坐标系可得出各点的坐标；(2)根据(1)的坐标特征可得△ABC 与△PQR 关于原点对称；(3)要求解题中的这个一元一次方程，先根据关于原点对称的点的坐标，横坐标、纵坐标互为相反数可得出a 、b 的值，代入解方程即可得出答案．【解答】(1)点A 的坐标为(4,3)，点P 的坐标为(－4，－3)；点B 的坐标为(3,1)，点Q 的坐标为(－3，－1)；点C 的坐标为(1,2)，点R 的坐标为(－1，－2)．(2)△ABC 与△PQR 关于原点对称． (3)由题意，得2a ＋5＝3＋a,1－3b ＝b －3. 解得a ＝－2，b ＝1.则方程可化为x ＋32－2－2x 3＝1，解得x ＝17.【互动总结】(学生总结，老师点评)关于原点对称的点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P (x ，y )关于原点的对称点P ′(－x ，－y )，及利用这些特点解决一些实际问题．请完成本课时对应练习！。