25 B = {(x , y ) y = x } AB - y - y - y - y 2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国3卷）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

A = {(x , y ) x 2 + y 2 = 1}1. 已知集合 ，，则 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数 z 满足(1+ i )z = 2i ，则| z |=1A. 22 B. 2C. D ．23. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4.(x + y )(2x - y )5 的展开式中 x 3 y 3 的系数为（）A ．-80B ．-40C ．40D ．80C : x 2 y 21(a 0, b 0) y = x x 2 y 2 - = > > + = 1 5.已知双曲线 a 2 b 2的一条渐近线方程为 2 ，且与椭圆12 3 有公共焦点．则C 的方程为（）22 = 1 2 2 = 1 2 2= 12 2= 1 A ． 8 10B. 4 5C. 5 4D. 4 3f (x ) = cos(x +)6.设函数3 ，则下列结论错误的是（） xx x x52A. f (x ) 的一个周期为-2x =B. y = f (x ) 的图像关于直线x =8 3 对称f (x +)6f (x )( 2 ,)C.的一个零点为D ．在 单调递减7. 执行右图的程序框图，为使输出 S 的值小于91，则输入的正整小值为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．28. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球则该圆柱的体积为（）数 N 的最的球面上，A.3 B. 4C. 2D ． 49. 等差数列{a n }的首项为1，公差不为0．若 a 2 , a 3 , a 6 成等比数列，则{a n }前6项的和为A ．-24B ．-3C ．3D ．8x 2 y 210. 已知椭圆 C : + = 1 a 2 b 2 （ a > b > 0 ）的左、右顶点分别为 A 1, A 2 ，且以线段 A 1A 2为直径的圆与直线bx - ay + 2ab = 0 相切，则C 的离心率为（）6A. 33 B. 3C. ３1 D. 311. 已知函数 f (x ) = x 2 - 2x + a (e x -1 + e -x +1) 有唯一零点，则 a = （）- 1 A. 2 1 B. 3 1 C. 2 D ．1 12.在矩形 ABCD 中， AB = 1, AD = 2 ，动点 P 在以点C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若AP = AB + AD ，则+ 的最大值为 A ．3B ． 2C ．D ．2二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）⎧x - y ≥ 0, ⎪x + y - 2 ≤ 0, x , y ⎪⎨ y ≥ 0 z = 3x - 4 y 13.若 满足约束条件⎩ 则 的最小值为．214．设等比数列{a n }满足a 1 + a 2 = -1, a 1 - a 3 = -3 ，则 a 4 = ．f (x ) = ⎧x +1, x ≤ 0,1 15. 设函数 ⎩⎨2x ,x > 0则满足 f (x ) + f (x - ) > 12 的 x 的取值范围是 ．16.a ,b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a , b 都垂直，斜边AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线 AB 与 a 成60 角时， AB 与b 成30 角； ②当直线 AB 与 a 成60 角时， AB 与b 成60 角； ③直线 AB 与 a 所成角的最小值为45 ； ④直线 AB 与 a 所成角的最大值为60 ． 其中正确的是（填写所有正确结论的编号）三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分． 17．（12分）∆ABC 的c 内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，已知sin A + cos A = 0, a = 2 7, b = 2（1） 求； （2） 设 D 为 BC 边上一点，且 AD ⊥ AC ，求△ABD 的面积．18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20, 25) ，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10 ，15) [15 ，20) [20 ，25) [25 ，30) [30 ，35) [35 ，40) 天数216362574（1） 求六月份这种酸奶一天的需求量 X （单位：瓶）的分布列；（2） 设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时， Y 的数学期望达到最大值？19．（12分）如图，四面体 ABCD 中， △ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形． ÐABD = ÐCBD ， AB = BD ．（1） 证明：平面 ACD ^ 平面 ABC ； （2） 过 AC 的平面交 BD 于点 E ，若平面 AEC 把四面体3 DCEBA2 ⎨ ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角 D - AE - C 的余弦值．20．（12分）已知抛物线C : y 2= 2x ，过点（2，0）的直线l 交C 于 A ， B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆．（1） 证明：坐标原点O 在圆 M 上；（2） 设圆 M 过点 P （4，- 2 ），求直线l 与圆 M 的方程．21．（12分）已知函数 f (x ) = x - 1 - a ln x ．（1） 若f (x ) ≥ 0 ，求 a 的值；1 1 1+ )( 1+ ) ×××( 1+ ) < m（2） 设 m 为整数，且对于任意正整数 n ， 2 22 2n，求m 的最小值． （二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）xOy l ⎧x = 2 + t , y = kt l在直角坐标系 中，直线 1 的参数方程为⎩ ⎧x = -2 + m , ⎨ y = m （t 为参数），直线 2 的参数方程为 ⎪ k（ m 为参数），设l 1 与l 2 的交点为 P ，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线C ．（1） 写出C 的普通方程：（2） 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3 ： (cos + sin ) - = 0 ，M 为l 3 与C 的交点，求 M 的极径．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数 f (x ) =| x +1| - | x - 2 | ．（1） 求不等式f (x ) ≥1的解集；（2） 若不等式f (x ) ≥ x 2- x + m 的解集非空，求 m 的取值范围． ( 13 32017年普通高等学校招生全国统一考试（全国3）理科数学参考答案一、选择题1．B 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D7．D8．B9．A10．A 11．C 12．A二、填空题13． -1 三、解答题17．解：14．-8 15．(- 1, +∞) 4A =216．②③（1） 由已知可得tan A = -，所以328 = 4 + c 2 - 4c cos2在∆ABC 中，由余弦定理得 解得c = -6 （舍去）， c = 4∠CAD =3 ，即c 2 + 2c - 24 = 0∠BAD = ∠BAC - ∠CAD =（2） 由题设可得2 ，所以 6 1 AB AD sin故∆ABD面积与∆ACD 2面积的比值为 1 AC AD 26 = 1 1⨯ 4 ⨯ 2 sin ∠BAC = 2又∆ABC 的面积为 2 ，所以∆ABD 的面积为18. 解：（1） 由题意知， X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P (X = 200)= 2 + 16= 0.2 90 因此 X 的分布列为：P (X = 300)= 36 = 0.4 ， 90 ， P (X = 500)=25 + 7 + 4 = 0.4 90 .（2） 200，因此只需考虑200≤ n ≤ 500 当300 ≤ n ≤ 500 时，若最高气温不低于25，则Y = 6n - 4n = 2n ；3X 200 300 500 P0.20.40.43 z DC EOyBA x若最高气温位于区间[20,25），则Y = 6 ⨯ 300 + 2(n - 300) - 4n = 1200 - 2n ； 若最高气温低于20，则Y = 6 ⨯ 200 + 2(n - 200) - 4n = 800 - 2n因 此 EY = 2n ⨯ 0.4 + (1200 - 2n ) ⨯ 0.4 + (800 - 2n ) ⨯ 0.2 = 640 - 0.4n 当200 ≤ n < 300 时，若最高气温不低于20，则Y = 6n - 4n = 2n ；若最高气温低于20，则Y = 6 ⨯ 200 + 2(n - 200) - 4n = 800 - 2n 因 此 EY = 2n ⨯(0.4 + 0.4) + (800 - 2n ) ⨯ 0.2 = 160 +1.2n 所以 n = 300 时， Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元。

19. 解：（1） 由题设可得， ∆ABD ≅ ∆CBD ，从而 AD = DC又∆ACD 是直角三角形，所以∠ADC = 90 取 AC 的中点O ，连结 DO , BO ， 则 DO ⊥ AC , DO = AO又由于∆ABC 是正三角形，故 BO ⊥ AC 所以∠DOB 为二面角 D - AC - B 的平面角在 Rt ∆AOB 中 ，BO 2 + AO 2 = AB 2又 AB = BD ，所以BO 2 + DO 2 = BO 2 + AO 2 = AB 2 = BD 2 ，故∠DOB = 90 所以平面 ACD ⊥ 平面 ABCOA , OB , OD（2） 由题设及（1）知，两两垂直，以O 为坐标原点， OA 的方向为 x 轴正方向， | OA | 为单 位长，建立如图所示的空间直角坐标系O - xyz ，则A (1, 0, 0),B (0, 3, 0),C (-1, 0, 0),D (0, 0,1)由题设知，四面体 ABCE 的体积为四面体1ABCD 的体积的 2 ，从而 E 到平面 ABC 的距离1为 D 到平面 ABC 的距离的 2 ，即 E 为 DB 的中1 E (0, , )点，得2 2 ，故3 1AD = (-1, 0,1), AC = (-2, 0, 0), AE = (-1, , )2 2DCEOBA7设 n = (x , y , z )是平面DAE的法向量，则 ⎪⎨m ⋅ A C = 0, ⎩ m ⋅AE = 0 同理可取 m = (0, -1, 3)cos < n , m >= n m =则| n || m | 7 所以二面角 D - AE - C 的余弦值为 720. 解：（1）设 A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ), l : x = my + 2⎧x = my + 2, ⎨y 2 = 2xy 2 - 2my - 4 = 0由⎩可得，则y 1 y 2 = -4y 2 y 2 ( y y )2x 1 = 1 , x 2 = 2 又2 2 x 1 x 2 = 1 2 = 4，故 4 y 1 y 2 -4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为故坐标原点O 在圆 M 上 = = -1x 1 x 2 4 ，所以OA ⊥ OBy + y = 2m , x + x = m ( y + y ) + 4 = 2m 2 + 4（2）由（1）可得 121212故圆心 M 的坐标为(m 2+2, m ) ，圆 M 的半径 r = (m 2 +2)2 + m 2 P (4, -2)由于圆 M 过点 ，因此AP ⋅ BP = 0 ， 故(x 1 - 4)(x 2 - 4) + ( y 1 + 2)( y 2 + 2) = 0 ， 即 x 1 x 2 - 4(x 1 + x 2 ) + y 1 y 2 + 2( y 2 + y 2 ) + 20 = 0 由（1）可得 y 1 y 2 = -4, x 1 x 2 = 4所以2m 2- m -1 = 0 ，解得 m = 1或m = - 12 当 m = 1时，直线l 的方程为 x - y -1 = 0 ，圆心 M 的坐标为(3,1) ，圆 M 的半径为方程为(x - 3)2 + ( y -1)2= 10，圆 M 的m = - 19 1 85 2l 2x + y - 4 = 0M( 4 , - 2)M4当 时，直线 的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，(x - 9 )2 + ( y + 1 )2 = 85圆 M 的方程为21. 解：4 2 16 7102 （1） f (x ) 的定义域为(0, +∞)f ( 1 ) = - 1 + a ln 2 < 0① 若a ≤ 0 ，因为 2 2 ，所以不满足题意； f '(x ) = 1- a = x - a② 若 a > 0 ，由x x 知，当 x ∈(0, a ) 时， f '(x ) < 0 ；当 x ∈(a , +∞) 时， f '(x ) > 0 。