自控习题及解答第二章2-2 若某系统在阶跃输入r(t)=1(t)时，零初始条件下的输出响应c(t)=1-e -2t +e -t ，试求系统的传递函数和脉冲响应。

【解】根据传递函数的定义，其传递函数为零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号拉氏变换之比，即()1111()()/()21C s G s R s s s s s==-+++ 242(1)(2)s s s s ++=++2-3 设系统传递函数为342)(2++=s s s G初始条件0/)0(,1)0(=-=dt dc c 。

求单位阶跃输入r (t)=1(t)时，系统的输出响应c (t)。

【解】系统传递函数与微分方程是一一对应的，故通过传递函数先求出微分方程，然后通过拉氏变换的方法求解微分方程。

系统对应的微分方程为 4()3()2()c c t c t r t ++=&&&在给定的非零初始条件下，进行拉氏变换22(43)()(0)(0)4(0)s s C s sc c c s++---=& 整理后2221()(43)(43)s C s s s s s s +=-++++部分分式展开后，拉氏反变换111223242/35/25/6()[()][][](43)(43)13255326t t s c t L C s L L s s s s s s s s e e -----+==-=-+++++++=-+2-4 在图2-48中，已知G (s) 和H (s)两方框对应的微分方程分别为()2()5()4()3()6()c t c t e t b t b t c t +=+=&&图2-48 习题2-4系统结构框图且初始条件为零，试求传递函数C (s)/R (s)。

【解】求出每个方框的传递函数，利用反馈等效的方法求C(s)/R(s)。

根据定义可得5()2G s s =+，6()43H s s =+ 255()5()25(43)10075(2)56()1()()(2)(43)30411361(2)(43)C s G s s s s R s G s H s s s s s s s +++====+++++++++2-5 图2-49是由电阻、电容和运算法放大器组成的无源网络和有源网络，试列写以V in (t)为输入量，V out (t)为输出量的传递函数。

(a) （b ）(c) (d)图2-49 习题2-5电路图【解】(a) 1211211,1R Z R Z C s RC s C s===+P 22112121211()1()11Z C s RC s G s R Z Z R C C s RC s C s +===+++++（b ） 21122211R Z R Z R Cs R Cs ===+P 2222111211()1R Z R Cs R G s Z R R R Cs +=-==-+gRC(c) 32321123232321()(1)1()1()1R R R R Cs Cs Z R Z R R Cs R R Cs R R Cs++==+==++++P 323232211132(1)()11()()1R R Cs R R Cs R Z R Cs G s Z R R R R Cs ++++=-=-=-++g(d) 本题和(b)、(c)做法图通，因为反馈通路有接地的部分。

根据理想运放的假定，负端输入为虚地和虚开。

设R 2和R 3中间节点的电压为V ，则有122301/in out V V R R V V V V R R Cs ⎧=-⎪⎪⎨--⎪=+⎪⎩ 由此，得2123311()in out R V V R V V Cs R R R ⎧=-⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ 在两式中消去V ，可得到V in 与V out 的关系式232311()out in V R R R R Cs V R =-++ 2-6设弹簧特性由下式描述1.165.12y F =其中，F 是弹簧力，y 是变性位移。

若弹簧在变性位移0.25附近做微小变化，试推导△F 的线性化方程。

【解】001.1,,12.65 1.1(0.25)12.11y y y y y F F F dF F y F y ydy=∆=-∆=-∆=∆∆=⨯⨯∆=∆2-7 试简化图2-50中的系统结构图，并求传递函数C (s)/R (s)和C (s)/N (s)。

图2-50 习题2-7结构图【解】 （1）求C(s)/R(s)， 由于N(s)=0，所以很简单1212122()()1G GC sR s G G H G H=++(2) 求C(s)/N(s)，等效反馈内回路和相关串联通路，有下列图化简移动相加点后，1223121221()()1G G G GC sN s G G H G H++=++2-8 已知系统结构图如图2- 51所示，试通过结构图等效变换求系统的传递函数C(s)/R(s)。

(c) (d))(sC)(sN11222()()()1()()G s H s G sG s H s+2322()()1()()G s G sG s H s+11()()G s H s)(3sG)(sC)(sN222()1()()G sG s H s+)(2sG)(sH)(sR)(sC)(1sG)(sG)(sH)(sR)(sC)(sB10(e)(f)(g)图2-51 习题2-8 结构图【解】(a)121234()()1()()G G C s R s G G G G +=++-, (b) 122212()()1()G G G C s R s G H H +=+-)(2s G )(s H )(s R )(s C )(1s G )(s G )(s H )(s R )(s C )(s B 10)(3s G )(1s H )(s R )(s C )(1s G )(2s H )(2s G )(2s H )(3s G )(1s H )(s R )(s C )(1s G )(2s G )(3s G )(s H )(s (s C )(1s G )(2s G©()10(1)()1C s GH R s H GH-=+-,(d)122()()1G G C s R s G H-=+(e)1323133()()1G G G G C s R s G G G H+=++ 2-9 图2-52介绍了一种非常灵活的电路结构，它的传递函数可以化为两个二阶或一个四阶系统。

通过选择R a , R b , R c , R d 的不同值，电路可以实现低通、高通或带阻滤波器功能。

（a ） 证明如果R a =R ，R b =R c =R d =∞,则从V in , 到V out 的传递函数可以写成以下的低通滤波器的形式1222++=Ts s T AV V in out ξ 其中，212,,R RRC T R R A out ===ξ)(s C)(b) 若R a=R，R d=R1，R b=R c=∞，求出电路描述的传递函数inoutVV。

图2-52 习题2-9电路图2-10 画出图2-53中各系统结构图对应的信号流图，并用梅逊增益公式求各系统的传递函数C(s)/R(s)和C(s)/N(s)。

【解】(a) 信号流图如下132314241323()()1G G G G G G G GC sR s G G G G+++=++()1()C sN s=(b) 信号流图如下11G2G1R C1N3G41-1)(tuoC1R2RbRcRCRRinVdRRRoutVRaR112233441234112212343434,1,,,1,,1,i p G G p p G G p G G G G L G G L G G G G L L G G =-=-==-∆==-===-12341234121234341()()G G G G G G G G C s R s G G G G G G G G -+-=++ (c) 信号流图如下`求C(s)/R(s)112225345112,,L G G H L G G L G G p G G =-=-==,1231314511L L L L L G G ∆=---+∆=-12451225451245(1)()()1G G G G C s R s G G H G G G G G G HG G -=++-- 求C(s)/N(s)1122253451322145245,,,,1,1L G G H L G G L G G p G p G G G G G =-=-===∆=-∆=-23451225451245()(1)()()1G G G G C s N s G G H G G G G G G HG G +-=++-- 11G 2G 1R C1N3G 4G H-1-5G 134G G 1R C1E1-G G 1-111-1-2-11 试用梅逊增益公式求图2-54中各系统信号流图的的传递函数C (s)/R (s)。

【解】 (a) 四条回路，3,4不接触，两条前向通路，第二余项1+G 3123453123421231352352(1)()()1G G G G G G C s R s G G G G H G G G H G G H G G H ++=+++++(b) 三条回路，两条回路不接触，两条前向通路，两个余项匀不为112341232331223312312313(1)1(1)()()1G G G G f G G f G f C s R s G G f G f f G G f f G f f -+⨯-+=-+-+-© ()(1)()1C s abcd f ch agdR s ae ch aech+-+=--+)s)s)s。